人教版高中数学必修五《等比数列前n项和》教案

1、等比数列的前 n 项和教案一、教学目的1、理解等比数列的前n 项和公式的推导方法； 掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题2、通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质3、通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美二、教学重点、难点、关键教学重点：等比数列的前n 项和公式的推导及其简单应用教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导。

2、教学关键：推导等比数列的前 n 项和公式的关键是通过情境的创设，发现错位相减求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等比数列模型，运用公式解决问题。三、教具、学具准备多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。四、教学方法数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然” ，还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受

3、。本节课将采用“多媒体优化组合激励发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。五、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔” 。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。根据二期课改的精神，转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容，数学作为基础教育的核心学科之一，转变学生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课堂结构

4、上我根据学生的认知层次，设计了创设情景观察归纳讨论研究即时训练总结反思任务延续，六个层次的学法，他们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。抓住学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；同时从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，获得解决问题的方法，帮助学生培养勇于探索、不断创新的思维品质。六、教学过程1、复习回顾，引旧导新（ 1）等比数列 an 的定义及通项公式anq( n2) ， an a1q n 1

5、。an 1（ 2）等比中项：如果 a,b,c成等比，则 bac 。（ 3）等比数列 an 的一些结论：anam q n mpqmn时，则 a p aqam an2、创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西萨说：请给我棋盘的64 个方格上，第一格放1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64 格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊为什么呢？师：同学们，你能解释这是为什么吗？本节课我们研究等比数列前n 项和，通过学习，我们就可以很容易解释这个问题了。（板书课题）2.5

6、等比数列的前 n 项和一般地，等比数列的前n 项和用 sn 表示，即：sna1a2an 。设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性故事内容紧扣本节课的主题与重点。此时我再问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数1+ 2 + 22 + 23 +263 。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和这时我对他们的这种思路给予肯定设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成

7、章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。3、师生互动，探究问题在肯定他们的思路后， 我接着问： 1+ 2 + 22 + 23 +263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探讨1：设1+ 2+22+ 23+263 ，记为（ 1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2 倍）探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2 则有2s64 =

8、2+ 22 + 23 + 263 + 264 ，记为（ 2）式比较（ 1）(2 ）两式，你有什么发现？设计意图：留出时间让学生充分地比较， 等比数列前 n 项和的公式推导关键是变 “加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。经过比较、研究，学生发现：（1）、（ 2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到： s642641。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观教师推导全过程。师：为什么（ 1）式两边要同乘以2 呢？生：乘以 2 后使得（ 1）式与（ 2）式出现相同的项，

9、从而可以实现两式相减，消去相同的项。设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。4、类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列 an ，首项为 a1 ，公比为 q ，如何求前 n 项和 sn 呢？在此让学生自主完成，并叫一名学生上黑板，然后对每个学生在自觉研究时遇到的难题进行指导点拔。设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。n在学生推导完成后，我再问：由(1- q)sn = a1

10、- a1qn 得sn = a1 - a1q ，对不对呢？这里 1 - q的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为1？ q=1 时是什么数列？此时sn?（这里引导学生对 q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础）a(1q n )1q1即： Sn1qna1q1再次追问：结合等比数列的通项公式 ana1 qn 1 ，如何把 sn 用 a1 、an 、q 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）a1anq1q即： Sn1qna1q1设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比

11、和综合的能力这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。5、讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前n 项和公式，还有其它方法吗？方法二：我们知道 ,sn = a1 +a 1q+a 1q2 +a 1qn-1 = a1 +q(a 1 +a 1q+a 1qn-2 ) 。那么我们能否利用这个关系而求出sn 呢？即：提取公比 q，有：S a a q a q2a qn 2a qn 1n11111a（qa a qa q n 2）1111a1q（Sna1qn 1）(1q)Sna1a1 q na1(1 qn )q1Sn1qna1q1aaaa方法三：根据等比数列的定

12、义又有2=3=4=n= q ，能否联想到等比定理从123n-1aaaa而求出 sn 呢？即：利用等比定理a2a3a4anqa1a2a3a n1a 2a3anqSna1a1a2an 1Snan(1q)Sna1anqa1an q1qSn1qna1q1设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围 .以上两种方法都可以化归到sna1qsn 1 ,这其实就是关于 sn 的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用。6、例题讲解，形成技能例 1、口答下列各题：(1) 求等比数列 1, 1

13、, 1, 1, 的前 10 项的和；248(2) 已知等比数列 an 中， a1 2 ， q 3，求 s3 ；(3) 请利用第 (2) 题的数据，自己编题，改求 a1 或求 q，并求解( 自己拟题能巩固和深化所学的知识)11 ( 1)10 1023生： ( 口答 ) （ 1） s1021151222(133 )（2） s32613(3) 生甲：已知： q=3， s326 求 a1 解：a1 (133 )a12 。s3326 ，1生乙：已知： a12 ， s326。求 q。解：s3 2(1q3 )26 ，q2q 12 0q 3或q=-4 。1q例 2、已知 an 为等比数列，且 sna ， s2

14、nb ， (ab 0) ，求 s3n 。师：要求 s3n ，需知 a1 ，q，而已知条件为sn 和 s2n 能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？生甲： sna1 (1qn )a(1)1qs2 na1 (1q2 n )a1 (1qn )(1qn )b(2)1q1 q（1）式除以（ 2）式得： 1qnb ，即 qnb1(3)aaa11( b1)a12将（ 3）式代入（ 1）式得： aa，则a，1 q1q2a bs3na1 (1 q3n )a21 ( b 1)3 1 q2aba以下再化简即可师：这位同学处理问题很巧妙他没有分别求得a1 与 q 的值，而改为求 qn 与 a1的1 q值，这

15、样使问题变得简单些，请问同学们，这样解这个题目是否有问题呢？生乙：我认为第（ 1）式就有问题，他附加了条件q 1 ，而对 q 1 情况没有考虑师：对！使用等比数列前 n 项和公式时， 要特别注意适用条件， 即 q 1时， sn na1 ；q 1时， sn a1 (1 qn ) a1an q 。1 q1q( 含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1 情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性 )( 学生演算习题，教师投影出正确答案)解：设数列的公比为q 。若 q1 ( 此时数列为常数列 ) ，则 snna 1 a，s2n2na1b ，此时， 2ab ，则 s3 nsna1 (1 qn

16、)1qs2 na1 (1q2n )1q3na13a(或 s3n3 b) 。若 q 1 ，即 2a b ，则由已知2a(1)b(2)又因为 ab0 ，所以由（ 2）式除以（ 1）式得：1q2 nb ，即 1 qnb ，所以1qnaaqn b 1(3)a将（1）式式变形后代入（ 3）式得： a1aa2，于是数列的前 3n 项的和1 q 1qn2ab为： s3na1(1 q3n )a2b3a2ab b2.1q1(1) xa2a ba师：( 小结 ) 这节课我们从已有的知识出发，用多种方法 ( 迭加法、运用等比性质、错位相减法 ) 推导出了等比数列的前 n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识如已知

17、 a1，n，q，则选择a1 (1 qn )1qSn1qna1q1已知 a1，q，an，则选择a1an q1qSn1qna1q1对含字母的题目一般要分别考虑q=1 和 q1 两种情况，不能附加条件，统一按sna1an qa1 (1 qn ) 去解题。1q1 q小结：等比数列的通项公式 ana1qn 1 和前 n 项和公式 sna1anqa1(1 qn ) 中，从1q1 qa1 , q, n, an , sn 这五个量中，只要知道任意三个量，均可求得其余两个量。7、加强练习，深化认识（1）求 11,21,31,41,51的前 n 项和2481632（2）求 1,2,3,4,5的前 n 项和2481

18、632（ 3）求数列 1aa 2a3an 1(a 0) 的前 n 项和。（ 4）画一个边长为2cm的正方形 ,再将这个正方形各边的中点相连得到第2 个正方形 ,依此类推 , 这样一共画了10 个正方形 ,求这 10 个正方形的面积的和。8、总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法方面总结：(1) 等比数列的前 n 项和公式(2) 公式的推导方法错位相减法(3) 求和思路构造常数列或部分常数列。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。9、故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84 ×1019 粒，大约7000 亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10 米、厚 8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459 倍，显然国王兑现不了他的承诺。设计