高斯公式课件

1、高斯公式1第六节green gauss 推广推广一、高斯公式一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度三、通量与散度 *通量与散度 第十一章 高斯公式2一、高斯一、高斯 ( gauss ) ( gauss ) 公公式式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzryqxpdddyxrxzqzypdddddd zyxzrdddyxrdd 下面先证:函数 p, q, r 在面 所围成, 则有 高斯 的方向取外侧, 高斯公式3231zyxyxdo) ,(yxryxyxrdd) ,(, ),(:11yxz

2、z 证明证明: : 设yxdyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzryxzyxzd),(),(21yxd),(2yxz),(1yxzyxrdd yxd2 zyxzrdddyxdd1 3yxrdd称为xy -型区域 , ),(:22yxzz 则yxyxrdd) ,(yxdyxd),(2yxzyxyxrdd) ,(),(1yxz定理1 高斯公式4所以zyxzrdddyxrdd 若 不是 xy型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 xy型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyqdddyxrxzqzypd dddddzyxzryqxp

3、dddxzqdd zyxxpdddzypdd 三式相加, 即得所证 gauss 公式：定理1 高斯公式5x3z1y例例1. 1. 用gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(29,)(xzyp, 0qyxr及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? zyxddd)230(利用质心公式, 注意23, 0zyo高斯公式6hzyxo例例2. 2. 利用gauss 公式计算积分szyxi

4、d)coscoscos(222其中 为锥面222zyx解解: 作辅助面,:1hz ,:),(222hyxdyxyx取上侧1(i1szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.1,记所围区域为 ,则 zyxzyxddd)(2yxhyxddd2h1高斯公式7yxz2yxz2ozyxzyxiddd)(2利用质心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxhyxddd2421hhz022zzd4h思考思考: : 计算曲面积分提示提示: 作取上侧的辅助面,dddd)(2yxzzyxz)(:2221yxz介于平面 z= 0 及

5、 z = 2之间部分的下侧. , 2:1z4:),(22yxdyxyx2hzyxoh1先二后一高斯公式8ozxy例例3.3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxi设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxdyxyxi11zyxdddyxxdd)(2xyd) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标2111yxd高斯公式9coscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( green )第一公式sd例例4.4. 设函数u

6、zyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整个 边界面的外侧. up xvuq yvur zv注意注意:zyxzryqxpdd dyxrxzqzypdddddd xv高斯公式222222zvyvxv高斯公式10注意注意:zyxzryqxpdd dyxrxzqzypdddddd 高斯公式证证:令up ,xvuq ,yvur ,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvusd移项即得所证公式.xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd高斯公式11* *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1

7、. 连通区域的类型连通区域的类型 设有空间区域 g , 若 g 内任一闭曲面所围成的区域全属于 g, 则称 g 为空间二维单连通域 ; 若 g 内任一闭曲线总可以张一片全属于 g 的曲面, 则称 g 为空间一维单连通域 .例如例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 .既是一维也是二维单连通区域 ;是二维但不是一维单连通区域 ;是一维但高斯公式122. 2. 闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件定理定理2. ),(),(),(zyxrzyxqzyxp设在空间二维单 连通域g内具有连续一阶偏导数, 为g内任一闭曲面, 则0ddddddyx

8、rxzqzypgzyxzryqxp),(,0证证: “充分性”. 根据高斯公式可知是的充分条件. 的充要条件是: “必要性”. 用反证法. 使假设存在,0gm 00mzryqxp已知成立,高斯公式13因p, q, r 在g内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 ,)(0gmu,)(0上使在mu0zryqxp的边界为设)(0mu则由 yxrxzqzypddddddzyxzryqxpmuddd)(00与矛盾, 故假设不真. 因此条件是必要的. 取外侧,得 高斯公式14* *三、通量与散度三、通量与散度引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为kzyxrjzyxqizyxpzyxv),

9、(),(),(),(理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, yxrxzqzypdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为srqpdcoscoscossnvd高斯公式15若 为方向向外的闭曲面, yxrxzqzypdddddd当 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为zyxzryqxpdddnn高斯公式16zyxzryqxpddd方向向外的任

10、一闭曲面 , 记 所围域为 , 设 是包含点 m 且为了揭示场内任意点m 处的特性, m在式两边同除以 的体积 v, 并令 以任意方式缩小至点 m 则有),(m记作vmlimzyxzryqxpvmddd1lim),(limzryqxpmmzryqxp此式反应了流速场在点m 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. ),(高斯公式17定义定义: : 设有向量场kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),(其中p, q, r 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, snad为向量场 a 通过有向曲面 的通

11、量(流量) .在场中点 m(x, y, z) 处 称为向量场 a 在点 m 的散度. 记作adivzryqxpadiv显然a高斯公式180diva表明该点处有正源, 0diva表明该点处有负源, 0diva表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.0diva若向量场 a 处处有 , 则称 a 为无源场. 例如例如, 匀速场 ),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0div v故它是无源场.说明说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且散度意义 高斯公式19yxydd112例例5.5.求向量场解解: 记kzjy22zy )0(122zzyffnkzjzya2穿过曲面

12、流向上侧的通量,其中 为柱面被平面10 xx及截下的有限部分.x122 zy1)0 , 1, 1 ( o)0 , 1 , 1 (zyn,),(22zyyxf则 上侧的法向量为kzjy在 上32zzyzzyz)(22na故所求通量为snadszdxydy212高斯公式20例例6.6. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为rrqe3.dive求解解: 3ryy3rzz5223rxrq5223ryr 5223rzr03rxx),(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. )0(r qediv高斯公式21内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:yxrxzqzypdddddd

13、zyxzryqxpddd应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 0ddddddyxrxzqzyp0zryqxp高斯公式222. *通量与散度 设向量场p, q, r, 在域g 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 g 内任意点处的散度为 ),(rqpasnadzryqxpaadiv( n 为 的单位法向量） 高斯公式23思考与练习思考与练习,:2222取外侧设rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrd324 r(2)yxrzxzryzyrx

14、ddddd333333dvrzzryyrxxd33333331ryxzxzyzyxddddd333d31rvzyxd)(3222 为2r高斯公式24作业作业p234 1 *(2), (4), (5); *2(2) ; *3 ; 4第七节 高斯公式25rncosrn备用题备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,222zyxr试证.dcos31vsr证证: 设 的单位外法向量为 则coscoscosrzryrxsrdcos31szyxdcoscoscos31vd331v的夹角,积为v, )cosr,cos,(cosn, ),(zyxr 高斯公式26高斯高斯