离散系统的频域分析

1、 nhnxnxtny zyzhzx zxzyzh nh表示 lti离散系统的输入输出对应的z变换为定义lti离散系统输出z变换与输入z变换之比为系统函数5.8 离散系统的频域分析离散系统的频域分析1、系统函数、系统函数复频域描述线性非移变系统的数学模型 nnx zhnhnhnntnyknxbknyakmkknk00式为 nh系统函数是系统单位脉冲响应的z变换。特别的2、系统函数与差分方程、系统函数与差分方程线性非移变系统的数学模型是常系数差分方程，一般形 zxzbzyzazykkmkkknk01 zxzbzyzakkmkkknk0010a令 zxzazbzykknkkkmk101解出两边取z变

2、换（零状态），可得： nkkmkkkknkkkmkzdzcazazbzxzyzh111110111（5-77） zhck zhdk zh由上式可见，除了系数a，可由其零、极点确定。与连续系统相似，系统函数由有理分式形式分解为零、极点形式，有时并不容易，而用matlba可以很方便的确定零、极点并作零、极点图。其中的零点；的极点；例5-23 已知某系统的系统函数为 432143213 . 07 . 05 . 11 . 112 . 01 . 03 . 01 . 02 . 0zzzzzzzzzh求其零、极点并绘出零、极点图。解 例5-23 matlba程序及结果如下b=0.2 0.1 0.3 0.1

3、0.2; %分子多项式系数a =1 -1.1 1.5 -0.7 0.3; %分母多项式系数r1=roots(a) % 求极点r2=roots(b) % 求零点zplane(b,a) % 画零、极点图答案r1 =0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045ir2 = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81real partim

4、aginary part zh0n zh 0nh zhzrh3、系统因果稳定性、系统因果稳定性(1)、因果系统由因果系统的时域条件时，以及只有z的 负幂项，其收敛区为 的定义，可知此时。所以的收敛区包含无穷时，必为因果系统。zrh1hr nhn zhhhrzrhhrr1收敛区必包含单位圆。其收敛。所以收敛区包综合上述(1)、(2)情况，当，且时，系统是因果稳定系统。(2)、稳定系统(3)、因果稳定系统含单位圆时，必为稳定系统。区为,且氏变换dtft存在，可知系统的傅由稳定系统的时域条件例5-24 已知某离散系统的系统函数为 432143213 . 07 . 05 . 11 . 112 . 01

5、 . 03 . 01 . 02 . 0zzzzzzzzzh 解 根据系统稳定的条件，将系统函数写成零极点形式判断该系统的稳定性。 212121213526. 06266. 018507. 04734. 015 . 0112 . 0zzzzzzzzzh 1121218915. 02367. 018915. 02367. 015 . 0112 . 0zjzjzzzz115045. 03133. 015045. 03133. 011zjzj式中极点的模 19225. 08915. 02367. 02221 zz 15939. 05045. 03133. 02243 zz 断系统的稳定性。对一个复杂系

6、统来说，求极点并不容所有极点均在单位圆内，所以是稳定系统。此例是通过求解系统极点，由其是否均在单位圆内，判易，有时是相当繁的（如本例）。所以判断连续系统是稳定往往是利用劳斯（jury）准则等。否稳定往往是利用罗斯(routh)准则，判断离散系统是否极点图所有极点在单位圆内，所以是稳定系统。程序可作出其零、极点图，直观作判断。 例5-23零、可以直接判断系统的稳定性，或如例5-23利用matlab圆外（上）。而利用matlab程序得到系统特征根，右半平面（包括虚轴），或是否有极点在z平面的单位基本思路是不直接求极点，而是判断是否有极点在s的 nkkjmkkjmnjjjdeceaeezzheh11

7、 mnnkkmkknkkmkkzdzczazdzcazh11111111的零、极点与系统频响应的零、极点与系统频响应 zh画出。4、系统频响的作图可利用零、极点，用矢量的方法定性 jjnkjkmkjkmnjnkkmkkmnjeehedecaedcaekk1111kjcekckjkkecckdkjdekjkkedd其中：零点指向单位圆的向量极坐标表示；极坐标表示；指向单位圆的向量：极点kckdkknkkmkkjdcaeh11 mnnkkmkk11 20jeh 当从变化一周时，各矢量延逆时针方向旋转一周。其矢量长度乘积的变化，反映频响振幅变化，其夹角之和的变化反映频响相位的变化。、零、极点矢量与正

8、实轴的夹角。零、极点矢量的模；1 zjim zre2d1d1d22dcc1 111azzh1aaz jehjeh azzzhaz 00z零点极点解：由已知条件可知系统是因果稳定系统并作并作、图。图。求求例例5-25已知acd zjim zre1acd zjim zre102/02/01 cc最大最小0dd0时从当从时从均匀直线变化从变化快，变化慢，变化为曲线。-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81real partimaginary part9 . 0axlabel(以pi为单位的频率);title(相位部分);ylabel(相位);w=0:1:

9、500*2*pi/500;%0,2pi区域分为501点x1=1;x2=1-0.9.*exp(-1*j*w);x=x1./x2;magx=abs(x);angx=angle(x).*180./pi;subplot(2,1,1);plot(w/pi,magx);title(幅度部分);ylabel(幅度);subplot(2,1,2);plot(w/pi,angx); line(0,2,0 0);00.511.520246810幅度部分幅度00.511.52-100-50050100以pi为单位的频率相位部分相位9 . 0a-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40

10、.60.81real partimaginary part1 . 0a00.511.520.90.9511.051.11.15幅度部分幅度00.511.52-10-50510以pi为单位的频率相位部分相位1 . 0ajehkdkdkdjehkckckcjeh0jehjeh(1)(2)(3)原点处的零、极点对相位分量。无影响，只有一线性(4) 在零、极点附近相位变化较快（与实轴夹角有的变化）。幅值为零。在单位圆上谷点越明显，在零点附近形成谷点，越靠近单位圆，值越明显，在单位圆上出现谐振。越靠近单位圆峰附近形成峰值，在极点 其它010mnanhn nnmnzazh10azzazazzammmmm1111kmjkaez201, 2 , 1 , 0mkaz102zaz 例例5-26、求横向结构