北京水资源短缺数学建模

1、竞赛队编号（参赛学生不填写）：_西北师范大学2011年数学建模竞赛参赛队员姓 名学 号所在学院郭林祥200871010410 数学与信息科学学院李 毅200871010416 数学与信息科学学院 苏红亮200871010429 数学与信息科学学院 指导教师： 竞赛题目（在ab上打勾）： a b 城市水资源的保护与利用摘 要：针对北京市水资源短缺的农业用水等九大主要因素，用熵权法得出人口数量和降水量的影响因素较大。本文选取区域水资源短缺风险程度的风险率、脆弱性、可恢复性、重现期和风险度作为评价指标，构建了模糊综合评价模型，结论表明北京市水资源短缺现处于高风险状态，并建立多元线性回归和灰色系统gm

2、模型，预测北京市未来五年水资源短缺仍将持续处于高风险状态。根据所建模型及预测结果向相关部门提出控制在京人口以及合理分配农业、工业、生态用水量来缓解北京水资源短缺现状。关键词：水资源短缺；熵权法；多元线性回归；gm模型一、问题重述1.1 问题的提出2010年西南地区百年一遇的特大旱灾刚刚过去，一场五十年或百年一遇的旱灾正在袭击长江中下游地区的湖北、湖南、江西、安徽、江苏五省。截止到五月三十一日，仅湖北省受灾人数就超过一千万人，长江中下游的洪湖、洞庭湖、鄱阳湖正在集体饱受史无前例的浩劫，其中的生物链也正在饱受毁灭性的打击。接连不断的旱情进一步加剧了全国特别是北方地区本来存在的水资源短缺，水资源已经

3、成为制约社会经济可持续发展的重要瓶颈。据国务院权威部门的消息：我国655个城市中近400个缺水，近200个严重缺水。以北京市为例，其人均水资源占有量不足300立方米，仅为世界人均占有量的1/30。从附表中给出的数据可以看出北京的用水总量和水资源存量之间存在着严重的缺口，北京已沦为全世界水资源严重匮乏的大都市之一。党中央国务院相继采取了一系列包括南水北调工程在内的重要举措来缓解首都水资源的短缺，相信这些举措在一定程度上能够缓解北京水资源短缺的问题。但是，由于全球气候的恶化以及经济社会的跨越式发展，水资源短缺的问题必将长期存在。因此如何有效保护水资源，降低水资源风险就成了一个长期的甚至永恒的话题，

4、这既是全面建设和谐社会的现实需求，也是实现社会经济可持续发展的客观需要。请你根据附表中给出的北京市水资源数据，利用包括北京统计年鉴在内的所有可以利用的资料，借助合法获取的一切信息，讨论下列问题：1.以北京市水资源资料为例，分析水资源短缺的风险因子，并对这些风险因子进行重要性分析；2.建立水资源短缺风险评价的数学模型； 3.从用水量、用水结构、水资源存量几个方面对北京市未来五年水资源进行预测；4. 给有关部门提交一份研究报告，至少从水资源短缺成因、水资源风险控制以及水资源保护几个方面提出建议和对策。1.2 问题简要分析 为了能客观准确评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子，首先找出可能造成北

5、京水资源短缺的多个平行因素，依据历年的耗水指标，根据熵值法确定各因素的权重系数，找出熵值最小（即权重最大）的指标就是水资源短缺风险最主要的风险因子。在实际解决北京水资源短缺的问题时就可以从该主要因素入手。要在风险识别和风险分析的基础上进行水资源短缺风险做综合评价和风险等级划分，把损失概率、损失程度以及其它因素综合起来考虑，分析该风险的影响，寻求风险对策并分析该对策的影响，为风险决策创造条件。通过对定义的风险率、脆弱性、可恢复性、重现期、风险度作为水资源短缺风险的评价指标的计算，采用模糊综合评判方法对水资源短缺风险进行评价，判断风险等级。接着用层次分析法作出评价指标的权重，通过加权平均型模型的建

6、立，计算出风险性的综合评分。对北京市未来五年水资源的短缺风险进行预测，分别建立灰色系统理论模型和多元线性回归模型这两种不同的模型对水资源短缺风险进行预测。在假设数据相同计算无误的基础上，该两种模型对未来五年北京水资源的短缺风险的预测结果应该是相同的。二、基本假设和符号说明2.1 基本假设 1、影响北京水资源短缺的多个因素在未来没有突变情况发生（政府政策的干预，自然灾害的影响等）。2、假设影响北京水资源短缺的多个因素相互独立，即这个指标对风险的影响与其他指标对风险的影响没有关系。3、降雨量、地下水量等一切水资源来源都看成可利用水资源，定义为可利用水总量。4、污水排放、生活用水量、农业用水量等一切

7、可以是水资源流失的因素都归类为用水总量中去。2.2 符号说明序号符号含义1评价指标的熵权2风险率性能衡量指标3脆弱性性能衡量指标4重现期性能衡量指标5可恢复性性能衡量指标6风险度性能衡量指标7风险性的综合评分值8水资源差值时间序列9水资源差值时间序列级比10模糊关系矩阵11相对于因素 而言属于的程度12残差13级比偏差值三、模型建立与求解3.1 问题一 问题一要求我们寻找到影响北京水资源严重短缺的主要风险因子。由于某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。显然，可以通过计算每个因子的权重来判断其对水资源短缺的影响程度，从而得到主要风险因子。在本题中，我们在提供的气候条件、水利工程设施

8、、工业用水、农业用水、第三产业及其他用水、人口规模几个影响因子基础上还增加了生态用水量、降水量、园林绿化覆盖率、废水治理设施数、工业排放总量等影响因素。通过对1979年至2009年各个因素数据的分析，构建模糊物元，我们采用了运用熵值法来确定权重系数的办法。由于熵值越小，表明指标值的变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所起的作用越大，其权重也越大，所以最后可以通过比较各个因素的熵值大小，得出各个因子的权重大小，从而可以得到影响北京市水资源短缺的主要风险因子。3.1.1 构建模糊物元模糊物元及复合模糊物元，在物元分析中所描述的事物及其特征和量值组成物元或者，同时把事物的名称、特征和量值称为

9、物元三要素。如果物元模型中的量值具有模糊性，便称其为模糊物元。事物有个特征及其相应的量值，则称为维模糊物元。个事物的维物元组合在一起便构成个事物的维复合模糊物元，即 式中为个事物的个模糊特征的复合物元；为第个事物；为第个特征；为第个事物第个特征对应的模糊量值。3.1.2 熵值法确定权重系数在确定评价指标的权重时，往往多采用主观确定权重的方法，如ahp方法等。这样就会造成评价结果可能由于人的主观因素而形成偏差。在信息论中，熵值反映了信息无序化程度，其值越小，系统无序度越小，故可用信息熵评价所获系统信息的有序度及其效用，即由评价指标值构成的判断矩阵来确定指标权重，它能尽量消除各指标权重计算的人为干

10、扰，使评价结果更符合实际。其计算步骤如下：（1）构建个事物个评价指标的判断矩阵；（2）将判断矩阵做一归化处理，得到归化矩阵，其中 其中、分别为同指标下不同事物中最满意者或最不满意者(越小越满意或越大越满意)；（3） 根据熵的定义，个评价事物个评价指标，可以确定评价指标的熵为：，其中.为使有意义，当时，根据风险评价的实际意义，可以理解为一较大的数值，与相乘趋于0，故可认为。但当时，也等于0，这显然与熵所反映的信息无序化程度相悖，不切合实际，故需对加以修正，将其定义为:；(4) 计算评价指标的熵权值，其中,且满足。3.1.3 权重的求解及主要风险因子的确定我们通过3.1.2中涉及的熵值求权重的方法

11、，运用matlab编程得到了各个因素的熵值，通过比较可以得到影响北京市水资源短缺的主要风险因子。熵值法的主要运算结果见下表：表一：各个风险因子归一化后的年份 农业用水 生态用水工业用水 其他用水人口数量降水量园林覆盖率治理设施工业污染20000.36370.25350.4110.24040.17210.19910.14360.37180.306820010.39350.25260.360.193280.18290.25680.14760.31980.296420020.33130.260.29430.15260.20220.2390.19310.30380.28520030.27550.261

12、90.3310.22720.2190.25640.22880.28040.280920040.26560.26190.30210.22040.23740.29770.23480.26790.266720050.25580.27130.26730.24080.26040.31910.25550.26380.272320060.24270.31810.24410.25090.28210.27880.25730.21790.195620070.22960.4210.22870.25770.30850.22740.26730.25580.165620080.21640.46780.20550.2848

13、0.340.31930.27720.18590.157920090.19680.50510.20550.30520.34420.39820.28720.20590.1534表二：各个风险因子的熵以及熵权农业用水生态用水工业用水其他用水人口数量降水量园林覆盖率治理设施工业污染h0.13890.14980.14120.15730.15940.15920.15560.14130.1249w0.11220.11080.11190.10980.10960.10960.11010.11190.1141 由上表可知：农业用水、生态用水、工业用水、其他用水、人口数量、降水量、园林覆盖率、治理设施、工业污染的熵

14、权值分别为：0.1122、0.1108、0.1119、0.1098、0.1096、0.1096、0.1101、0.1119、0.1141。根据熵权值越小影响越大，其权重也越大的原则，我们可以很清楚的知道：在影响北京水资源短缺的众多因素中，北京市人口数量以及北京市降雨量对其影响程度较大，即北京市的人口数量和降雨量的影响更为重要。3.2 问题二 在问题二中我们要对北京市水资源短缺风险进行综合分析评价，并作出风险等级划分。水资源的短缺取决于供水和需水两方面影响，而这两方面都具有随机性和不确定性。因此水资源短缺风险也具有随机性和不确定性。我们在进行风险评价时，充分考虑风险特点以及水资源的复杂性，把存在

15、风险的概率、风险出现的时间、风险造成的损失多少、风险解除时间、缺水量的分布等一系列因素考虑在内。故我们从多方面的指标综合考虑评价北京市现水资源短缺风险等级。我们在评价指标选择中坚持的原则是：（1）能集中反映缺水的风险程度；（2）能集中反映水资源短缺风险发生后水资源系统的承受能力；（3）代表性好，针对性强，易于量化。依据上述原则，我们选取水资源的风险率、脆弱性、可恢复性、事故周期、风险度作为水资源系统水资源短缺风险的评价指标。在水资源短缺风险评价等级模型建立过程中，我们采用模糊概率理论，建立了模糊概率模型，通过模型我们可以清晰地看到北京市现水资源风险等级。3.2.1 水资源短缺风险评价指标1.

16、风险率 根据风险理论，荷载是使系统“失事”的驱动力，而抗力则是对象抵御“失事”的能力。如果把水资源系统的失事状态记为，正常状态记为 ，那么水资源系统的风险率为：式中为水资源系统状态变量。如果水资源系统的工作状态有长期的记录，风险率也可以定义为水资源系统不能正常工作的时间与整个工作历时之比，即其中为水资源系统工作的总历时；是水资源系统的状态变量。2. 脆弱性 脆弱性是描述水资源系统失事损失平均严重程度的重要指标。为了定量表示系统的脆弱性，假定系统第次失事的损失程度为 ，其相应的发生概率为，那么系统的脆弱性可表达为：其中为系统失事的总次数。例如，在供水系统的风险分析中，可以用缺水量来描述系统缺水失

17、事的损失程度。类似洪水分析，假定 ，即不同缺水量的缺水事件是同频率的，这样上式可写为:其中为第次缺水的缺水量。 上式说明干旱的期望缺水量可以用来表示供水系统的脆弱性。为了消除需水量不同的影响，一般采用相对值，即其中是第次干旱缺水期的需水量。3重现期 事故周期是两次进入失事模式之间的时间间隔，也叫平均重现期。用 表示第间隔时间的历时，则平均重现期为其中是到时段内属于模式的事故数目。4. 可恢复性恢复性是描述系统从事故状态返回到正常状态的可能性。系统的恢复性越高，表明该系统能更快地从事故状态转变为正常运行状态。它可以由如下的条件概率来定义：上式亦可用全概率公式改写为引入整数变量及这样，由全概率公式

18、可得记则有： 从上式可以看出，当，即水资源系统在整个历时一直处于正常工作状态，则；而当，即水资源系统一直处于失事状态()，则。一般来讲，。这表明水资源系统有时会处于失事状态，但有可能恢复正常状态，而且失事的历时越长，恢复性越小，也就是说水资源系统在经历了一个较长时期的失事之后，转为正常状态是比较困难的。5. 风险度用概率分布的数学特征，如标准差或半标准差，可以说明风险的大小。和越大，则风险越大，反之越小。这是因为概率分布越分散，实际结果远离期望值的概率就越大。用、比较风险大小虽简单，概念明确，但某一物理量的绝对量，当两个比较方案的期望值相差很大时，则可比性差，同时比较结果可能不准确。为了克服用

19、可比性差的不足，可用其相对量作为比较参数，该相对量定义为风险度，即标准差与期望值的比值(也称变差系数)。 这里值得说明的是：风险度不同于风险率，前者的值可大于1，而后者只能小于或等于1。3.2.2 水资源短缺风险的模糊综合评判模型的建立风险评价是在风险识别和风险分析的基础上，把损失概率、损失程度以及其它因素综合起来考虑，分析该风险的影响，寻求风险对策并分析该对策的影响，为风险决策创造条件。本文采用上述定义的风险率、脆弱性、可恢复性、重现期、风险度作为水资源短缺风险的评价指标，采用模糊综合评判方法对水资源短缺风险进行评价。设给定2个有限论域 和其中，代表综合评判的因素所组成的集合；代表评语所组成

20、的集合。则模糊综合评判即表示下列的模糊变换，式中为上的模糊子集。而评判结果是上的模糊子集，并且可表示为 ，01；，01。其中表示单因素在总评定因素中所起作用大小的变量，也在一定程度上代表根据单因素评定等级的能力；为等级对综合评定所得模糊子集的隶属度，它表示综合评判的结果。关系矩阵可表示为式中表示因素的评价对等级的隶属度，因而矩阵中的即为对第个因素的单因素评判结果。在评价计算中代表了各个因素对综合评判重要性的权系数，因此满足；同时，模糊变换也即退化为普通矩阵计算，即.上述权系数的确定可用层次分析法(ahp)得到。由上述分析可以看出，评价因素集对应评语集，而评判矩阵中即为某因素对应等级的隶属度，其

21、值可根据各评价因素的实际数值对照各因素的分级指标推求。我们将评语级分为5个级别，各评价因素分级指标见表3：表3 各评价因素分级指标水资源短缺风险(风险率)(脆弱性)(可恢复性)(重现期)(风险度) (低) 0.200 0.200 0.800 9.000 0.200 (较低)0.2000.4000.2000.4000.6010.8006.0019.0000.2010.600(中)0.4010.6000.4010.6000.4010.6003.0016.0000.6011.000(较高)0.6010.8000.6010.8000.2000.4001.0003.0001.0012.000(高) 0.

22、800 0.800 0.200 1 2.000由于水资源风险率、脆弱性、风险度是越小越优性指标，所以对于,各评语级可构造如下隶属函数： 由于水资源可恢复性和重现期是越大越优性指标，所以对于、各评语级可构造如下隶属函数： 对于水资源短缺风险评价的因素集u而言，对应一个测定指标向量。其中是相对于的测定值。这样便表示相对于因素而言属于的程度。对于因素集，便有下面的模糊关系矩阵： 水资源短缺风险评价各因素的权重确定采用层次分析法(ahp)，设权重计算结果为，于是可得出综合评判向量： 在综合评判中，我们选取“加权平均型”的模型，即。由于该模型实际上蜕化为一般的实数加法，即： 选取与对应的评语为区域水资源

23、短缺风险的评判结果。 为了比较直观的说明风险程度，我们将其分成5级，分别叫做低风险、较低风险、中风险、较高风险和高风险，风险各级别按综合分值评判，其评判标准和各级别风险的特征见下表4：表4 水资源系统水资源短缺风险级别评价水资源短缺风险评价等级风险级别水资源系统的风险特征低风险可以忽略的风险较低风险可以接受的风险中风险边缘风险较高风险不可接受风险高风险灾变风险，系统受到严重破坏3.2.3 模糊综合评价模型的求解 根据五种评价因素各自的定义，我们对北京市水资源总量和总用水量从1979年到2009年的数据进行分析，得到北京市这31年水资源综合的风险率、脆弱性、可恢复性、重现性、风险度的综合性能数值

24、，具体见下表5： 表5：北京市1979年至2009年水资源评价因素综合性能数值风险率脆弱性可恢复性重现性风险度87.1%0.3360.10710.15395.05从表中数据可知道：=0.871，=0.336，=0.1071，=0.1539，=5.05，从而得到测定指标向量。根据各个因素的隶属函数得到因素对应等级的隶属度，从而得到模糊关系矩阵：在计算水资源短缺风险评价各因素的权重时，我们采用层次分析法(ahp)，权重计算结果为：。 由模糊关系矩阵和风险评价各因素的权重，我们可以得到综合评价向量： 我们再根据“加权平均型”的模型，即，选取与对应的评语为区域水资源短缺风险的评判结果，具体评判结果见下

25、表6： 表6：北京市水资源短缺风险综合评价分值综合评价北京市0.062720.21000.10840.88820.9076高风险 由北京市水资源短缺风险综合评价分值可知道：北京市水资源短缺风险已经达到了高风险程度，需要采取及时有效的方法进行改善。3.2.4 对主要风险因子的调控 由熵值法判断权重知影响北京水资源短缺的主要因素为北京市人口，北京市降水量。人口因素为人为可控因素，降水量为自然因素为非可控因素，下面主要讨论改变可控因素的措施。 人口因素： 从历史和今后的走向看，虽然2002-2009一期南水北调等水利工程对京供水量的增加，但随着北京市人口的快速增加，2010年调查显示常驻人口十年内增

26、加600余万远高于全国平均水平，加之高流动人口。水的承载力并不高，人口对水资源的承载压力是十分巨大，水利工程只能解决一时的问题，难以从根本上解决水资源紧张的问题。 解决方法一：适当控制人口增长1. 调整功能，北京是政治中心和文化中心,北京的多项城市功能高度叠加在这些节点和区域，由此造成北京地区人口高度集中, 要调控北京人口，一个重要的手段，就是要调整北京的功能定位，至少在人口规模上不能够进一步扩充，使市人口得到控制。 2.区域互动，推动北京周边城市和区域的均衡发展，将会在很大程度上分担区域流动人口的压力，通过自身功能作用的发挥，影响和辐射周边城市和区域，进而缩小与周边城市在经济发展上的差距，形

27、成有区域经济特点的发展模式，减弱周边地区人口进京的动力。3.高端发展，就是走科技创新之路，大力发展高端产业。通过调整经济结构和经济规模改变人口结构和人口规模，加大对高端人才引进力度的同时，减少对低端劳动力的需求，达到减少进京人口的目的。 4.产业转移，经济的高度密集是人口高度集中的根本原因。通过产业转移，调整经济结构在空间上的分布，引导人口形成合理的空间分布，是调控人口的重要手段。 解决方法二：采用资源集约型的经济增长方式和结构，提高水的利用率，大力推行节约用水，减少人均用水量。 降水量因素：通过人类活动如植树造林、修建水库、人工造湖等，一般都是通过改变人为条件而间接增加降水，以及必要时进行人

28、工降水作业增加北京市的降雨量。3.3 问题三 在对北京市未来五年水资源的短缺风险进行预测，我们建立了两个模型来进行预测多元线性回归模型和灰色系统模型。多元线性回归从多个方面考虑各种因素对水资源短缺风险的影响，通过线性拟合得到各个因素影响下供求差值的走势图；灰色系统模型直接通过水资源供求差值入手，对数据进行相关处理，从而得到我们所需的预测模型。最后还通过残差和级比偏差来对建立的模型进行检验。通过检验，所建模型均可用来对北京市未来五年的水资源短缺风险进行预测。3.3.1 多元线性回归模型（一）多元线性回归模型的概念在许多实际问题重中，我们所研究的因变量的变动可能不只与一个解释变量有关。因此，有必要

29、考虑线性模型的更一般形式，即多元线性回归模型： 在这个模型中，由所解释，有个未知参数。这里，“斜率”的含义是其他变量不变的情况下，改变一个单位对因变量所产生的影响。回到一般模型： 即对于n组观测值，有 其矩阵形式为：其中 （二）多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计与双变量线性模型类似，仍采用最小二乘法。当然，计算要复杂得多，通常要借助计算机。理论推导需借助矩阵代数。下面给出最小二乘法应用于多元线性回归模型的假设条件、估计结果及所得到的估计量的性质。1. 假设条件（1） ，；（2） ，；（3） ，；（4） 是非随机量，；. 除上面4条外，在多个解释变量的情况下，还有两个条件需要满足：（5

30、），即观测值的数目要大于带估计的参数的个数（要有足够数量的数据来拟合回归线）。（6）各解释变量之间不存在严格的线性关系。 上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件：（1）（2），事实上，由于显然，成立当且仅当（），()这两个条件都成立。因此，此条件相当于前面条件（2）、（3）两条，即各期扰动项互不相关，并具有常数方差。（3）是一个非随机元素矩阵。（4）rank（），相当于前面（5）、（6）两条即矩阵的秩，当然，为了后面区间估计和假设检验的需要，还要加上一条：（5）. 2.最小二乘估计我们的模型是：,问题是选择,使得残差平方和最小。而残差为：要使残差平方和为最小，则应有： ， ， 我们得到如下个方

31、程（即正规方程）：按矩阵形式，上述方程组可表示为： 即 . 上述结果，亦可从矩阵表示的模型出发，完全用矩阵代数推导出来。残差可用矩阵表示为：，其中.残差平方和 注意到上式中所有项都是标量，且，故. 令，用矩阵微分法，我们可得到，与采用标量式推导所得结果相同。由上述结果，我们有.（三）多元线性拟合 由20002009年北京农业用水，生态用水，工业用水，其他用水，人后数量，降水量，园林覆盖率，治理设施，工业污染九个影响因子的数据。如下表1：年份农业用水（亿立方米）生态用水（亿立方米）工业用水（亿立方米）其他用水（亿立方米）人口数量（万人）降水量（毫米）园林覆盖率（%）治理设施（套）工业污染（万吨）

32、200016.490.9110.5213.391363.8266.936.3060714001200117.40.99.212.01385.1371.136.5058113643200215.50.987.510.81423.2338.938.7857313250200313.818.4131456.4370.440.5756813107200413.517.712.81492.7444.940.8755512617200513.21.16.813.41538.0483.541.9155312813200612.81.66.213.71581.0410.742.0053010170200712

33、.42.75.813.91633.0318.042.5054991342008123.25.214.71695.0483.943.005148867200911.43.65.215.31703.2626.343.505248713及20002009年水资源总量、总用水量数据，如下表2：2000200120022003200420052006200720082009水资源总量(亿立方米)16.8619.216.118.421.423.224.523.834.221.8总用水量(亿立方米)40.439.834.635.834.634.534.334.835.135.5 以以上9个因素为自变量，以北

34、京市“总用水量”和“水资源总量”的差y作为因变量，建立一个多元线性回归模型。由表2得到因变量y的数组：23.54，20.6，18.5，17.4，13.2，11.3，9.8，11，0.9，13.7.由表1得到自变量x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9的9个数组：x1=16.49，17.4，15.5，13.8，13.5，13.2，12.8，12.4，12，11.4；x2=0.91，0.9，0.98，1，1，1.1，1.6，2.7，3.2，3.6；x3=10.52，9.2，7.5，8.4，7.7，6.8，6.2，5.8，5.2，5.2；x4=13.39，12.0，10.8，13，12

35、.8，13.4，13.7，13.9，14.7，15.3；x5=1363.6,1385.1,1423.2,1456.4,1492.7,1538.0,1581.0,1633.0,1695.0，1703.2；x6=266.9，371.1，338.9，370.4，444.9，483.5，410.7，318.0，483.9，626.3；x7=36.30，36.50，38.78，40.57，40.87，41.91，42.00，42.50，43.00，43.50；x8=607，581，573，568，555，553，530，549，514，524；x9=14001，13643，13250，13107，126

36、17，12813，10170，9134，8867，8713；将y矩阵进行转置得到： 增添一组常数项x0=0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，将x=x0，x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9转置得到： 由模型，用矩阵微分法得到，则，所以通过matlab进行矩阵运算得到即得到多元拟合线性方程.（四）一元线性拟合回归将如表1所示的9个因子数据组成的是个向量组x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，与因变量y的一元线性拟合，得到以上9个因子与缺水量的一元线性关系。因为9个因子的单位各不相同，所以统一将各个自变量的进行归一化式中、分别表示为同因素下最大值和最小值。从而得

37、到9个行向量如下：b1=0.8483，1，0.6833，0.4，0.35，0.3，0.2333，0.1667，0；b2=0.0037，0，0.0296，0.037，0.037，0.0741，0.2593，0.6667，1；b3=1，0.7519，0.4323，0.6105，0.4699，0.3008，0.188，0.1128，0；b4=0.5756，0.2667，0，0.4889，0.4444，0.5778，0.6444，0.6889，1；b5=0，0.0627，0.1749，0.2727，0.3796，0.513，0.6396，0.7927，1；b6=0，0.2899，0.2003，0.28

38、8，0.4953，0.6027，0.4001，0.1422，1；b7=0，0.0278，0.3444，0.5931，0.6347，0.7792，0.7917，0.8611，1；b8=1，0.7204，0.6344，0.5086，0.4409，0.4194，0.172，0.3763，0.1075；b9=1，0.9323，0.858，0.8309，0.7383，0.7753，0.2755，0.0796，0；再由matlab程序：m=polyfit(x1，y，2);y1=m(1).*x1.2+m(2).*x1+m(3);holdplot(xi,y,'c*',xi,yi,'c&

39、#39;);得到9个因素与因变量y缺水量的一元线性关系，得到散点图以及一元线性拟合图。如下图所示：注：x1-x9颜色分别为：r-*红色-农业用水，y-*黄色-生态用水，g-*绿色-工业用水，b-*蓝色-第三产业用水，c-*青色-浅蓝色-人口数量，m-*品红-降水量，k-*黑色-园林绿化覆盖率， m-o红色-废水治理设施数， b-o蓝色-工业排放废水总量。*matlab程序在附录3.根据图形所示，得出如下结论：1. *红色上升曲线（农业用水）：农业用水增多，因变量y缺水量也随之成上升趋势，所以农业用水为其较主要的缺水主导因素。2. *黄色曲线（生态用水）：随着生态用水增加，缺水量减小，说明早年生

40、态用水不为起主导因素，但从07年往后，生态用水逐渐成为其缺水的主导因素之一 。3. *绿色曲线（工业用水）：随着工业用水逐渐增多，缺水量急剧增加，说明工业用水量逐渐成为北京缺水的主要因素。4. *蓝色曲线（第三产业用水）：随着第三产业用水增多，缺水量不断减少，所以第三产业用水不是北京缺水的主导因素。5. *青色曲线（人口数量）：在07年以前，人口数量对y的影响不大，但在07年以后，人口数量越多，缺水量越多，与缺水量y成正比，逐渐成为主导因素。6. *品红曲线（降水量）：降水量少的时候，缺水量y较大。降水量多的时候，缺水量y较小。x6-降水量与缺水量成反比。所以降水量为其主导因素。7. *黑色曲

41、线（园林覆盖绿化率）：随着园林覆盖绿化率逐渐增大，缺水量成下降趋势，所以，园林覆盖率不是北京缺水的主导因素。8. o品红曲线（废水治理设施数）：随着治理套数增多，缺水量增多，说明废水治理设施数的多少不为北京缺水的主导原因。9. o蓝色曲线（工业排放废水总量）:随着工业排放量增多，缺水量也增多，说明工业废水排放量是北京缺水的主导原因。由以上分析：影响北京缺水的主导因素分别为：农业用水，生态用水，工业用水，人口数量，降水量，工业排放废水总量。根据表1数据，从2000年-2009年，农业用水、工业用水、工业排放废水总量均成下降趋势，但是下降幅度不大，降水量逐渐增多，增多幅度较大，对于缺水有所缓解。但

42、是，生态用水和人口数量逐渐增大幅度较大，成为北京缺水最主要的原因。所以，由于北京市作为中国首都，既是经济中心也是政治中心，生态环境是必须要大面积发展的方面。生态用水必然继续成大幅度上升趋势，另外农民工进京，较多人才“北漂”现象，使外来人口增加，必然会导致北京市缺水持续高风险状态。3.3.2 灰色系统gm预测模型（一）灰色系统模型建立方法灰色预测是指利用gm模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”， “随机变量”当作“灰变量”，并主要

43、以灰色系统理论中的 gm(1,1)模型来进行处理。 灰色预测的方法： 设已知参考数据列，做1次累加（ago）生成数列：其中，（k=1，2,.,n）,求均值数列：则。于是建立灰微分方程为相应的白化微分方程为记，.则由最小二乘法，求使得达到最小值的。于是求解白化微分方程，得：.（二）灰色系统预测模型在本题中，我们主要根据北京市在2000年至2009年水资源总量与总用水量之间的供求差值来建立灰色系统预测模型，北京市水资源供求差值具体数字见下表：年份2000200120022003200420052006200720082009供求差值(亿立方米)23.5420.618.517.413.211.39.

44、8110.913.7 第一步：建立水资源差值时间序列。于2008年中供求差值偏离交大，故在建立预测模型时忽略其的影响作用，故得到的水资源差值时间序列： 根据序列求级比，并对其做级比比较：从而得到：. 但要求落在可容覆盖（）区间内，即（0.8187,1.1994）内。显然根据以上数据不能使得全部级比都落在可容覆盖区间内，故要对进行必要的修正，使其落入可容覆盖范围内。即取适当的c=8，对序列做平移，得到：.此时,全部落入可容覆盖区域内，故可对做较满意的gm(1,1)建模。 第二步：gm(1,1)模型建立。（1）对修正后的数据做一次性累加，得到：.（2）构造数据矩阵及数据向量:， 带入相关数据得到：

45、， （3）计算. 于是得到：a=0.0623,b=29.938.（4） 建立模型求解得到：.（5）求生成数列值以及模型还原值。令k=1,2,3,4,5,6,7,8,9由上面的时间响应函数可算得，取其中：由,可得.（6）模型检验1、残差检验：令残差为，计算： .如果<0.2,则可认为达到一般要求；如果<0.1,则可认为达到较高要求。2、 级比偏差值检验:首先由计算出级比，再用发展系数求出相应的级比偏差： 如果，则可认为达到一般要求；如果，则可认为达到较高要求。模型各种检验指标结果见下表：年份原始值修正值模型值残 差级比偏差200023.5431.5431.54 00200120.62

46、8.627.120.0517-0.0355200218.526.525.480.0384-0.0144200317.425.423.940.05740.0192200413.221.222.49-0.06080.1261200511.319.321.13-0.0948-0.032420069.817.81866-0.0483-0.01922007111919.86-0.4520.1194 经过验证，该模型的精度较高，可以用来预测。而且可以很容易了解到北京在未来五年内水资源短缺现象仍将处于一种高风险状态。3.3.3 预测结果从多元线性回归模型和灰色系统gm模型我们均可以清晰的知道在未来五年内北京

47、市水资源求仍远远大于供给：总的用水量远大于水资源总量，而且其数值仍可高达10几亿立方米。可见，未来五年北京市仍将处于一种高风险的水资源短缺现象。3.4 问题四针对我们所建立的北京水资源风险模糊概率模型、多元线性回归模型以及灰色系统预测模型，为了有效地缓解北京市水资源严重短缺现象，我们对北京市有关部门写了以下报告： 关于有效缓解北京市水资源短缺风险的报告 我们通过对北京市气候条件、水利工程设施、工业用水、农业用水、第三产业及其他用水、人口规模、生态用水量、降水量、园林绿化覆盖率、废水治理设施数、工业排放总量等影响因素的分析，通过模糊综合评判方法建立模型计算出缺水风险性的综合评分知道北京市处于高风

48、险的水资源短缺状况。在采取以往的水资源控制手段的条件下，经过对2000-2009年用水状况的数据分析，采用灰色系统理论模型和多元线性回归模型用不同的方式对北京市未来水资源短缺风险的分析， 较清晰地预测到北京市未来几年的水资源短缺仍会处于一种高风险状态。可见，解决水资源短缺问题依然严峻。 为了能更高效的解决水资源短缺问题，分析造成水资源短缺的风险因子，对熵权的判断得到主要因素为人口的高速聚集和年降水量的日益减少。在解决水资源短缺问题上市水行政主管部门应该侧重以上两个问题着手。但仅从这两个方面入手是远远不够的，为此我们提出了以下有效缓解北京市水资源短缺的有效措施：一、加强水资源的合理调度，完善相关

49、体制和机构建设。1加强地下水环境保护，建立完善的地下水动态监测系统。从区域上保护地下水，防止水质恶化，应从源头上即地下水补给区进行保护。水资源是“从水源地供水排水治污中水回用”这样一个封闭的系统，需要统一管理，才能优化配置，达到最佳效益。2继续开展污水资源化、雨洪利用的研究和应用。把城市污水排放规划管理、污水处理厂建设、再生污水利用三个环节综合起来，全面规划考虑，实现污水资源化。收集和利用城市雨洪，既可防治雨洪灾害，缓解城市雨洪压力；同时又增加了可用水资源，并可通过回灌补给蓄养地下水。3建立外来水源、本地水源相互协调的供水网络，实现本地地表水源与外来水源的联合调蓄、地下水与地表水的联合调蓄，提

50、高北京市供水安全保证程度，支持城市可持续发展。4为保证城市供水安全，应科学地适度增加地下水开采量，合理开发利用。对已确定的应急供水水源地应尽快投入勘探和开发工作，对其它地区继续开展调查工作，寻找新的后备应急水源。二、使有关单位及市民注意节约用水，提高用水效率。1通过宣传加强民众和单位的节水意识，另一方面有关部门需要采取一些有力的甚至是强制性的节水措施。例如，继续努力提高用水效率，缩小与世界平均用水水平的差距；鼓励清洁生产、节水生产，实行定额用水制度；还有，要根据各地的不同情况，适时、适度地提高水价，逐步改变水价格背离其价值的情况。2节约用水是当务之急也是长远发展战略方针，在优先保证城市生活和重

51、点工业供水的前提下，在无法满足需水时，适度压缩农业用水。加强工业、农业节水力度，调整产业结构，大力发展节水型工业、农业。把节约用水纳入城市发展规划，纳入产品结构调整计划和技术及企业改造计划，使在城市和工业部门中逐步做到计划用水、合理用水和科学用水。四、模型评价优点：1.在对数据进行处理以及模型建立过程中，我们主要运用matlab、visual c+、spass等软件，使得模型建立起来相对方便，而且更加准确可信。2.在计算风险因子的过程中，我们采用熵权值来衡量因子的权重，尽可能的避免了人为主观因素。3.在对北京市未来五年水资源短缺风险预测中，我们建立了两个数学模型多元线性回归模型和灰色系统gm预测模型，使得预测结果更加可信。4在确定北京市水资源短缺风险等级时，我们采用从5个评价指标入手，考虑了多方面的影响因素，通过