三垂线定理课件

1、9.4.3 三垂线定理三垂线定理南阳市二中数学组: 马明豹aaopa1b1c1a d d1bc 如图，在正方体如图，在正方体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中中（3）直线直线acac和和bdbd1 1有怎样的位置有怎样的位置关系？关系？因为因为 （1）d1d底面底面ac （2）acac射影射影bdbd所以所以 （3）acac斜斜线线bdbd1 1（1）找出平面找出平面acac的斜线的斜线bdbd1 1在平面在平面acac内的射影；内的射影；（2）射影）射影bdbd和直线和直线acac有怎样有怎样的位置关系？的位置关系？引例：a1b1c1a d d1bc若把正方

2、体若把正方体acac1 1中多余的线条去掉，中多余的线条去掉，则可得如下结论：则可得如下结论：如果（1 1）直线直线d d1 1d d 平面平面abcdabcd（2 2）直线直线ac ac 射影射影bdbd那么（3 3）直线）直线ac ac 斜线斜线bdbd1 1即由直线即由直线acac与射影与射影bdbd垂直垂直, ,得得到到acac与斜线与斜线bdbd1 1垂直垂直aaop已知已知 ：papa、popo分别是平面分别是平面 的垂线、斜的垂线、斜线，线，aoao是是popo在平面在平面 上的射影。上的射影。a a ，aaaoao。求证：求证：apoapo三垂线定理三垂线定理：pa a 证明：

3、证明：aoapaaa平面paopo平面paoapo说明：说明：aaop定理中需要定理中需要“四线四线一面一面、三垂直三垂直”三垂线定理的实质是平面内的一条直线与三垂线定理的实质是平面内的一条直线与平面的斜线垂直的判定定理（平面的斜线垂直的判定定理（思想的转化）思想的转化）线与射影线与射影垂直垂直线与斜线线与斜线垂直垂直 如图，使用三垂线定理判断在正方体ac1中，对角线db1 与面对角线ac是否垂直是否垂直？变式一：面对角线a1c1; bc1与db1垂直吗？变式二： db1与截面a1bc1垂直吗？巩固性练习巩固性练习一一：bacdbcd1111apmcab例例已知：已知：pa平面平面pbc，pb

4、=pc， m是是bc的中点，的中点，求证：求证：bcambcam证明证明:pb=pcm是是bc的中点的中点 pm bcpa平面平面pbc paoa 已知：pa，po分别是平面 的垂线和斜线，ao是po在平面 的射影,a ,a po求证：a ao三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理猜想猜想: :逆定理逆定理:三垂线定理三垂线定理：线与射影垂直线与射影垂直线与斜线垂直线与斜线垂直定定理理逆逆定定理理aaop 如图，如图，ab是是 o的直径，的直径，pa垂直圆所在垂直圆所在的平面，点的平面，点c是圆周上异于是圆周上异于a、b的一点。的一点。试说明：试说明： 图中有几个直角三角形？图中有几个直角三角形

5、？如果点如果点c在圆周上运动呢？在圆周上运动呢？巩固练习二：巩固练习二：poacb直角三角形，即直角三角形，即rtrtpacpac， rtrtpabpab ，rtrtabcabc , ,rtrtpacpac例例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：已知：bac在平面在平面 内，点内，点p，peab，pfac， po ，垂足分别是垂足分别是e、f、o，pe=pf求证：求证：bao=caop c b a o f e 证证 明：明：popeabpfacp

6、epfpooeabofacoeofbaocao 小结小结：三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理, 是对于平面的是对于平面的斜线斜线,斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影,以及平面内的以及平面内的直线三者之间判定垂直关系的命题直线三者之间判定垂直关系的命题.运用三垂线定理时运用三垂线定理时,应注意以下几点应注意以下几点:1.找到平面的垂线是关键2.作(找)出斜线在平面内的射影是前提3.正确区分定理. 逆定理,培养和应用三垂线定理的意识作作作作 业业业业p3434第第11,12,1311,12,13题题在四面体abcd中，已知abcd，acbdoadcb思考题思考题：求证：adbcpaoa问题问题：三垂线定理中