理论力学I第七版答案

1、第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理11-1 11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1质点的动量矩质点的动量矩对点对点o的动量矩的动量矩vmrvmmo)()()(vmmvmmzzo)(1iioniovmml)(1iiznizvmml对对 z 轴的动量矩轴的动量矩 单位：单位：kgm2/s 2质点系的动量矩质点系的动量矩 对点的动量矩对点的动量矩 对轴的动量矩对轴的动量矩)( vmmz 等于等于 对点对点o的矩。的矩。xyvm )( vmmz 是代数量，从是代数量，从 z 轴正向看，逆时针为正，顺轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。时针为负。iiiiizzrvmvmml)(2iiii

2、irmrrm2iizrmjzzjl （1） 刚体平移。可将全部质量集中于质心，刚体平移。可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算。作为一个质点来计算。)(czzvmml )(coovmml ，（2） 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 转动惯量转动惯量zzollkljlillzyxo 即即 )(dd)(ddvmrtvmmto)(ddddvmtrvmtr 11-2 动量矩定理动量矩定理 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理设设o为定点，有为定点，有0vmvfvmt)(dd其中：其中：vtrdd （o为定点）为定点）)()(ddfmvmmtxx)()(ddfmvmmtyy)()(ddfmvmmtzz投影

3、式：投影式：)()(ddfmvmmtoo因此因此 称为称为质点的动量矩定理质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。tlvmmtvmmtoiioiiodd)(dd)(dd)(dd)(eioofmtl得得称为称为质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理：质点系对某定点：质点系对某定点o的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。外力对于同一点的矩的矢量和。)()()(dd)()(eioiioiiofmfmvmmt)()()(dd)()(

4、eioiioiiofmfmvmmt2. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 由于由于 0)()(iiofm)(dd)(eixxfmtl)(dd)(eiyyfmtl投影式：投影式：)(dd)(eizzfmtl内力不能改变质点系的动量矩。内力不能改变质点系的动量矩。rmgmmeosin)(rmgmmvrjtsindd22sinmrjmgrmra例例11-1 已知：小车已知：小车 ，不计摩擦。，不计摩擦。,mjrma求小车的加速度求小车的加速度 。rvmjlo解：解：rvatvdd由由 ， ， 得得例例11-3：已知：已知 ， ， ， ， ， ，不计摩擦。，不计摩擦。moj1m2m1r2r求（求（

5、1）nf （2）o处约束力处约束力 （3）绳索张力）绳索张力 ，1tf2tf)(222211rmrmjogrmrmfmeo)()(2211)(2222112211)(ddrmrmjgrmrmto 由由 ，得，得)(dd)(eoofmtl解：解：222111rvmrvmjloo（1）cynammmgmmmf)()(2121212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiccy 111111rmamfgmt)(111rgmft)()(221121rmrmgmmmfn （2）由质心运动定理）由质心运动定理 （3） 研究研究1m222222rmamgmft)(222rgmft2

6、m（4）研究）研究3动量矩守恒定律动量矩守恒定律若若 ，则，则 常矢量；常矢量；0)()(eofmol若若 ，则，则 常量。常量。0)()(ezfmzl求：剪断绳后，求：剪断绳后， 角时的角时的 。例例11-4：两小球质量皆为：两小球质量皆为 ，初始角速度，初始角速度 。m0020221maamalz2)sin(22lamlz时，时，00 时，时，202)sin(laa由由 ，得，得21zzll解：解： 11-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程nfff,21主动力：主动力：21,nnff约束力约束力：)()()(ddinzizzfmfmjt)(izfm)(ddizzfmtj即

7、即：)(fmjzz或或)(dd22fmtjzz或或例例11-7：已知：已知 ，动滑动摩擦系数，动滑动摩擦系数 ，求制动所需时间求制动所需时间 。trfjno,0ftrffjtnoodd00rffjtnoorfffrtjnodd解：解：21iinizrmj11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 单位：单位：kgm2 1. 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算（1）均质细直杆对一端的转动惯量）均质细直杆对一端的转动惯量 3d320lxxjlllz231mljzlml由由 ，得，得42)d2(402rrrrjarao222mrmrrmjiiz（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量

8、）均质薄圆环对中心轴的转动惯量aiiirrmd2（3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量2rma式中：式中：221mrjo 或或2. 2. 回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径） mjzz2zzmj或或2mdjjzcz3平行轴定理平行轴定理czdzz 式中式中 轴为过质心且与轴为过质心且与 轴平行的轴，轴平行的轴， 为为cz与与 轴之间的距离。轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。上刚体的质量与两轴间距

9、离平方的乘积。)(2121yxmjizc)(222yxmrmjiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(01iicmymy证明：证明：因为因为2mdjjzcz01ymi有有 ，得，得231mljzlm,例例11-9：均质细直杆，已知：均质细直杆，已知 。cz求：对过质心且垂直于杆的求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。轴的转动惯量。z对一端的对一端的 轴，有轴，有要求记住三个转动惯量要求记住三个转动惯量22mr（1） 均质圆盘对盘心轴的均质圆盘对盘心轴的转动惯量转动惯量32ml（2） 均质细直杆对一端的均质细直杆对一端的转动惯量转动惯量122ml（3） 均质细直杆对

10、中心轴均质细直杆对中心轴的转动惯量的转动惯量12)2(22mllmjjzzc则则解：解：4组合法组合法oj求：求： 。ld例例10：已知杆长为：已知杆长为 质量为质量为 ，圆盘半径为，圆盘半径为 质量为质量为 。1m2m盘杆ooojjj231mljo杆2222)2()2(21dlmdmjo盘)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmjo解：解：21jjjz2222112121rmrm)(214241rrljz21,rrm例例11-11：已知：已知： ， 解：解：lrm222lrm211其中其中mrrl)(2221由由 ，得，得)(212221rrmjz)(2122212221

11、rrrrlzj求求 。5实验法实验法o例：求对例：求对 轴的转动惯量。轴的转动惯量。将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴 o 上，作微幅摆动。上，作微幅摆动。mgljt2由由lm,tj其中其中 已知，已知， 可测得，从而求得可测得，从而求得 。解：解：6. 查表法查表法均质物体的转动惯量均质物体的转动惯量薄壁薄壁圆筒圆筒细直细直杆杆体积体积惯性半惯性半径径转动惯量转动惯量简简 图图物体物体的形的形状状212lmjcz23lmjz32lcz3lz2mrjzrzrlh2薄壁薄壁空心空心球球空心空心圆柱圆柱圆柱圆柱)3(1221222lrmjjmrjyxz)3(121222lrryxzlr2)(222rrm

12、jz)(2122rrz)(22rrl232mrjzrz32rh23圆环圆环圆锥圆锥体体实心实心球球252mrjzrz52343r)4(803103222lrmjjmrjyxz)4(80310322lrryxzlr23)43(22rrmjz2243rrzrr222矩形矩形薄板薄板长方长方体体椭圆椭圆形薄形薄板板222244)(4bmjamjbamjyyz222122babayxzabh)(12)(12)(12222222cbmjcamjbamjyyz)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc22221212)(12bmjamjbamjyyzbabayxz289. 0289

13、. 0)(12122abh11-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理1对质心的动量矩对质心的动量矩iiiiiccvmrvmml 由于由于ircivvv0mrmriic（因（因 ） 有有 iriicvmrl iriiciicvmrvmrl得得0)( ciiciivvmvmr其中其中即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。iiccovmrrl iiiiicvmrvmrciiiciilvmrvmvm,cccolvmrlccolvm

14、m对任一点对任一点o的动量矩：的动量矩： eiicccofrlvmrttldddd2 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 eiieicfrfr0dd,ddccccvmtrvtr由于由于tlvmtrvmtrcccccdddddd即即 eicccfrvmtrdd eiceicfrfr eiicfrtldd得得 )(ddeiccfmtl或或质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。的外力对质心的主矩。 )(eccecfmjfam )(dddd2222

15、eccecfmtjftrm或或11-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 )(ecceycyexcxfmjfmafma以上各组均称为刚体平面运动微分方程。以上各组均称为刚体平面运动微分方程。 )(eccenncettcfmjfmafma应用时一般用投影式：应用时一般用投影式： 例例11-12 半径为半径为r，质量为，质量为m的均质圆轮沿水平的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为 ，作用，作用于轮的力偶矩为于轮的力偶矩为m。求轮心的加速度。如果圆轮对。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为地面的滑动摩擦因数为f，问力偶，问力偶m必须符合什么条必须符合什么条件不致使圆轮滑动件不致使圆轮滑动?c解：解：frmmmgfmafmacncycx2其中其中raaaacccxcy, 0得得mgfmafrrfmrmmrancccc,2222纯滚动的条件：纯滚动的条件：nsfff 即即rrmgfmcs22 例例11-13 均质圆轮半径为均质圆轮半径为r质量为质量为m ， 受到轻受到轻微扰动后，在半径为微扰动后，在半径