随机变量独立性PPT参考课件

1、2021/3/10授课：xxx1复习：复习： 基本概念基本概念：二维随机变量，联合分布函数；边缘分布；联合分布律；二维随机变量，联合分布函数；边缘分布；联合分布律；边缘分布律；联合概率密度；边缘概率密度边缘分布律；联合概率密度；边缘概率密度,),(yyxxpyxf )()(yyxxp )(,)(yypyfxxpxfyx fx(x)=pxx =f(x, +),(limyxfy fy(y)=f(+,y)2021/3/10授课：xxx2二维离散型随机变量二维离散型随机变量x x和和y y的联合分布律与边缘分布律的联合分布律与边缘分布律 y y1 y2 y3 pi x p11 p12 p13 p1 x

2、 p21 p22 p23 p2 p.j p. p.2 p.3 x关关于于x的的边边缘缘分分布布律律关于关于y的边缘分布律的边缘分布律2021/3/10授课：xxx3二维连续型随机变量二维连续型随机变量 xydudvvufyxf),(),( 1),()2dxdyyxf3）在）在f(x,y)连续点处，连续点处，),(),(2yxfyxyxf gdyxfgyxp ),(),()41）非负；）非负；f(f(x x, ,y y) )的性质：的性质：2021/3/10授课：xxx4由概率密度由概率密度f f ( (x x, , y y) )求边缘概率密度函数求边缘概率密度函数dyyxfxfx),()( d

3、xyxfyfy),()( 两个要点两个要点：明确公式；明确公式；会会固定参变量，求积分固定参变量，求积分! !求连续型求连续型 r.v r.v 的边缘密度时，若联合密度函数是的边缘密度时，若联合密度函数是分段函数，应特别注意分段函数，应特别注意取值范围和积分限取值范围和积分限 . .2021/3/10授课：xxx5dyrxrxr212222 ,2222xrr rxrxxrrxfx|,0|,2)(222 同理，同理，f fy y( (y)= )= 例例重要结论重要结论分段函数即二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布即二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 . .并且不依赖与并且不依赖与参数参数

4、，联合分布唯一确定边缘分布，但其逆不真。，联合分布唯一确定边缘分布，但其逆不真。),(),(),(),(222211222121 nynxyx则若 2021/3/10授课：xxx6p51例例2 设设r.v（x，y）的概率密度为）的概率密度为其它,00032yxkeyxfyx求求(1)常数常数k；解：解：(1)由概率密度函数的性质由概率密度函数的性质 ：dxdyyxf得得1, xy0 dxdyyxf ,1 dxdyyxf,dykedxyx0032661kkxyp (3)分布函数。分布函数。(2) 0, 0),( yxyx注：当我们积分时，主要注：当我们积分时，主要考虑被积函数的非零区域考虑被积函

5、数的非零区域与积分区域的公共部分。与积分区域的公共部分。先画出被积函数不为先画出被积函数不为0的区域的区域 dxdyy,xf0 2021/3/10授课：xxx7xyp 2）设）设 xyyxg ),( ggyxp, gdxdyyxf),( gyxdxdye)32(6 xyxdyedxe0302653 0, 0),( yxyx(3) dudvvufyxfxy ,xyvudvedu00326 其其它它, 00, 0,1132yxeeyx(x,y)(x,y) 0, 0 yx其其它它,0p51例例22021/3/10授课：xxx8： gyxgyxayxf),(,0),(,1),(其中其中a a是区域是区

6、域g g的面积的面积： ),(),(222121 nyx 常见的分布：常见的分布：其中其中均为常数均为常数,且且, 0, 021 1| ,2121211222)()1 ( 21exp121),( xyxf1)()(22222211 yyx2021/3/10授课：xxx9上次课回顾上次课回顾基本概念基本概念：二维随机变量二维随机变量二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布联合分布联合分布边缘分布边缘分布联合分布函数联合分布函数边缘分布函数边缘分布函数联合分布率联合分布率联合概率密度联合概率密度 边缘分布率边缘分布率边缘概率密度边缘概率密度独立独立2021/3/10授课：xxx10五、随机变量的相

7、互独立性五、随机变量的相互独立性即即 x,y , f(x,y) fx(x).fy(y)特别，对于离散型和连续型特别，对于离散型和连续型r.vr.v，该定义分别等价于，该定义分别等价于 f(x,y) fx(x).fy(y)px=xi,y=yj px= xi.py= yj3 3、相互独立的概念可以推广到相互独立的概念可以推广到n n个随机变量的情况个随机变量的情况. . 1 1、在实际应用中，若、在实际应用中，若x x与与y y的取值互不影响，则的取值互不影响，则认为认为x x与与y y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用. . 2 2、在在x x与与y

8、 y是相互独立的前提下，是相互独立的前提下，由联合分布可求边缘分布；由联合分布可求边缘分布； 由边缘分布也可求联合分布！由边缘分布也可求联合分布！,yyxxp yypxxp 定义定义, yx 若若则称则称r.vx与与y相互独立相互独立ryx , 2 , 1, ji两事件两事件a,b独立的定义是：独立的定义是：若若p(ab)=p(a)p(b)，则称事件，则称事件a,b独立独立 .2021/3/10授课：xxx11若若 );,;,(),(222121 nyx那么那么 x x与与y y是相互独立的是相互独立的 =0=0-反映出在正态分布中，参数反映出在正态分布中，参数 的意义。的意义。注：随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。注：随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。2021/3/10授课：xxx12 例例1 设设(x,y)的概率密度为的概率密度为其它, 00, 0,),()(yxxeyxfyx问问x和和y是否独立？是否独立？解：解：0)()(dyxexfyxx0)()(dxxeyfyxy,xxe,yex0 即即：其它, 00,)(xxexfxx其它, 00,)(yeyfyy)()(),(yfxfyxfyxy 0对一切对一切x, y, 均有均有 ：故故x,y 独立独立2021/3/10授课：xxx13 若若(x,y)的