线性代数含全部课后题详细答案

1、一、线性空间的基与维数已知：在n维实向量空间中，线性无关的向量组最多由n个向量组成，而任意n+1个向量都是线性相关的问题：线性空间的一个重要特征在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？v;, )1(21线线性性无无关关n ., , , 21维数维数的的称为线性空间称为线性空间基基的一个的一个就称为线性空间就称为线性空间那末那末vnvn , 2)( 21表表示示线线性性总总可可由由中中任任一一元元素素nv 定义 在线性空间 中，如果存在 个元素nn ,21满足：v.,nvnn记记作作维维线线性性空空间间的的线线性性空空间间称称为为维维数数为为可表示为可表示为则则的一个基的一个基为为若若nnn

2、vv,21 rxxxxxxvnnnn ,212211 当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 是无限维的vvn维线性空间中任意n个线性无关的向量都是一组基 ,2211nnxxx .,212121ntnnxxxxxx 并记作并记作基下的坐标基下的坐标这个这个在在称为元素称为元素有序数组有序数组使使数数总总有有且且仅仅有有一一组组有有序序于于任任一一元元素素对对的的一一个个基基是是线线性性空空间间设设, 2121nnnnxxxvv 定义二、元素在给定基下的坐标., 1, 453423214就是它的一个基就是它的一个基中中在线性空间在线性空间xpxpxpxppxp 例1例1axaxax

3、axap01223344 4 次的多项式次的多项式任一不超过任一不超过papapapapap5443322110 可表示为可表示为) , , , ,( 43210aaaaapt在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此注意则则若取另一基若取另一基,2,1, 1 45342321xqxqxqxqq qaqaqaqaqaap5443322111021)( ) , ,21 , ,( 432110aaaaaapt 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此线性空间 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的v 1000,0100,0010,00012221121

4、1eeee, 4321224213122111 kkkkekekekek有有例所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间对于 中的矩阵vvr,0000 224213122111 oekekekek因此因此, 22211211vaaaaa 对于任意二阶实矩阵对于任意二阶实矩阵, 0 3321 kkkk.,22211211线性无关线性无关即即eeee.,22211211的一组基的一组基为为因此因此veeeeeaeaeaeaa2222212112121111 有有.) , , ,( 22211211aaaaat在这组基下的坐标是在这组基下的坐标是而矩阵而矩阵.

5、)!1()( , ,! 2)( ),( ),( ,)( )1(t321 nafafafafxfnn下的坐标是下的坐标是在基在基因此因此 则由泰勒公式知则由泰勒公式知)(,)(),(, 1 , 1n2321axaxaxxrnn 取一组基取一组基中中在线性空间在线性空间例3例3)()!1()( )(! 2)( )( )()(1)1(2axnafaxafaxafafxfnn .,., 21的一个映射的一个映射到到的坐标之间的对应就是的坐标之间的对应就是因此向量与它因此向量与它中的元素中的元素而向量的坐标可以看作而向量的坐标可以看作确定的坐标确定的坐标中的每个向量都有唯一中的每个向量都有唯一这组基下这

6、组基下在在的一组基的一组基维线性空间维线性空间是是设设rvrvvnnnnnnn .11., 算的关系上算的关系上在它与运在它与运这个对应的重要性表现这个对应的重要性表现对应的映射对应的映射的一个的一个与与我们称这样的映射是我们称这样的映射是中的不同元素中的不同元素因而对应因而对应同同中不同的向量的坐标不中不同的向量的坐标不同时同时应应中的向量与之对中的向量与之对中的每个元素都有中的每个元素都有由于由于 rvrvvrnnnnnn三、线性空间的同构的坐标分别为的坐标分别为与与于是于是 k nnbbbaaann 21212121 设设则则和和下的坐标分别为下的坐标分别为在基在基即向量即向量,),()

7、,(,212121bbbaaavntntn nnnbababa)()()(222111 nnakakakk 2211),(),( ),(21212211bbbaaabababantntnnt ),(),(2121aaakakakakntnt . . ,: 点点下面更确切地说明这一下面更确切地说明这一的讨论的讨论归结为归结为的讨论就的讨论就因而线性空间因而线性空间就归结为坐标的运算就归结为坐标的运算它们的运算它们的运算在向量用坐标表示后在向量用坐标表示后上式表明上式表明rvnn定义设 是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间 与 同构

8、.uvvu、例如维维线线性性空空间间n rxxxxxxvnnnn ,212211 与 维数组向量空间 同构. nnr因为),( )1(21ntnnxxxrv中的元素中的元素与与中的元素中的元素 形成一一对应关系；vnnnxxx 2211) , , ,(21ntxxxx rn设设)2(则有),(),(2121ntntyyyxxx ),(21ntxxx ),(21ntyyy ),(21ntxxx 同维数的线性空间必同构同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性结论数域 上任意两个 维线性空间都同构np保持零向量和负向量、相关性、基、子空间等同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素

9、是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数线性空间的基与维数；线性空间的元素在给定基下的坐标；坐标：（）把抽象的向量与具体的数组向量联系起来；线性空间的同构四、小结（）把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来作业b 1 中元素中元素求由求由3xp, 142)(231 xxxxf, 1932)(232 xxxxf, 56)(33 xxxf5752)(234 xxxxf生成的子空间的基与维数.思考题思考题解答0)()()()( 44332211 xfkxfkxfkxfk令令解解. 0)55()7694()532()22(43214321242134321 kkkkxkkkkxkkkxkkkk则得则得.00005511769450322121 4321 kkkk因此因此则则系数矩阵为系数矩阵为设该齐次线性方程组的设该齐次线性方程组的,a 0000000012104301初等行变换初等行变换a有有且且该子空间的维数为该子空间的维数为所生成的子空间的基所生成的子空间的基是是线性无关线性无关因此因此, 2,)(),(),(),(,)(),(,432121xfxfxfxfxfxf).()(4)(),(2)(3)(214213