2020届高考数学(理)一轮必刷题专题57二项式定理(解析版)

1、C. 20D. 21考点 57 二项式定理1 . (2-x)(1+2x) 5展开式中 ,含 x2 项的系数为 ()A.30B.70C.90D.-150【答案】 B【解析】T展开式的通项公式为Tr+1=展开式中，含X2项的系数为2XX22- X=70,故选B.2 . (1 3x)7的展开式的第4项的系数为()A . 27C37B . 81C47C. 27C73D. 81C473 X 3x)3= 27C7x3,其系数为27C7，选 A.答案】 A【解析】(1 3x)7的展开式的第4项为T3+13 .设n为正整数，展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.2【答案】 B【

2、解析】展开式的通项公式为=(-1)k，令=0,得 k=,. n可取10.4. (x y)(x+ 2y+ z)6的展开式中，x2y3z2的系数为()A. 30B. 120C. 240D. 420【答案】 B【解析】(x+ 2y) + z6的展开式中含z2的项为C2(x + 2y)4z2,(x+ 2y)4的展开式中xy3项的系数为C4x23,x2y2项的系数为 C2 X?2,- (x y)(x+ 2y + z)6 的展开式中 x2y3z2 的系数为 C2c4x23 C6c2X22= 480 360= 120,故 选 B.5 设a=sin xdx,则的展开式中常数项是 ()A.160B.-160C.

3、-20D.20【答案】 B【解析】由题意得 a=sin xdx=(-cos x)=2. -二项式为其展开式的通项为Tr+1= =(-1)r 26-r x3-r,令r=3,则得常数项为T4=-23 =-160.故选B.6. (x+ y + z)4的展开式的项数为()B. 15A. 10【答案】B【解析】(x+ y+ z)4= (x+ y) + z4= C0(x+ y)4+ C2(x + y)3z+ C4(x + y) 1 11)r忑r，易知当r = 4或r = 2时原式有常数项，令r=4,T5= C5( 1)4£ 4，令= 2,T3= C2( 1)2灵2,故所求常数项为 Ct 3>

4、;C5= 5 30= 25,故选C.10 .在二项式 x+ 3 n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+ B = 72,则展开X式中的常数项为()A . 6B . 9C . 12D . 18 【答案】B3z2 + C【解析】在二项式 x+ - n的展开式中，令 x= 1得各项系数之和为4n,.A = 4n，该二项展开式的二项式X(x+ y)z3+ Cz4,运用二项式定理 展开共有5 + 4 + 3+ 2+ 1 = 15项，选B.7. (x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为()A.7B.-7C.42D.-42【答案】B【解析】将(x2+3y-y2)7看作7个因式相

5、乘，要得到x12y2项，需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故 x12y2 的系数为 N-1)=-7.8. 1-90+902-903+(-1)k90k+9010 除以 88 的余数是()A.-1B.1C.-87D.87【答案】B【解析】1-90+902-903+(-1)k90k+9010=(1-90) 10=8910=(88+1) 10=8810+889+88+1. v 前 10 项均能被 88整除，余数是1.419. x2 3x + 4 1 眾§的展开式中常数项为()A . 30B . 30C . 25D . 25【答案】C4111411【解析】x2 3x+ 4 15

6、= x215 3x 1 5+ 4 17 5, 1 5的展开式的通项 Tr+1 = C5( XpxXXXpX珂 X'3 3系数之和为 2n,. B= 2n,. 4n+ 2n = 72,解得 n= 3,. X+ - n=运 + - 3 的展开式的通项 +1 = C3x)3xx33 3r3 3rr - r = 3rc3x，产，令3-23L = 0得r = 1,故展开式的常数项为T2= 3C1 = 9,故选B.11. (x-y)(x+2y+z) 6的展开式中，含x2y3z2的项的系数为()A.-30B.120C.240D.420【答案】B【解析】由(x-y)(x+2y+z) 6=(x-y)(x

7、+2y)+z 6,得含 z2 的项为(x-y)(x+2y) 4z2=z2x(x+2y) 4-y(x+2y) 4, x(x+2y) 4-y(x+2y) 4 中含 x2y3 的项为 xx(2y) 3-yx2(2y)2=8x2y3,含x2y3z2的项的系数为8=15X8=120,故选B.12. 若 aox2 016+a1x2 015(1-x)+a2x2 014(1_x)2+a2 016(1-x)2 016=1,则 ao+a1+a2+a2 016 的值为()A.1B.0C.22 016D ?2 015x【答案】C【解析】1=x+(1-x) 2 016=x2 016+x2 015(1-x)+ +(1-x

8、)2 016, ao+a1+a2 016=+ +=22 016,故选 C.13.在二项式1ax2+jx 5的展开式中，若常数项为【答案】2【解析】ax +伍 的展开式的通项 Tr+1 = C5(ax )X血 =C5a x10 一2令1° 一2= °,得= 4,所以C4a5 4= 10,解得 a= 2.14. (1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为 .【答案】-6【解析】展开式中x2 项为 13(2x)0 1 2(-x) 2+1 2(2x)1 1 3(-x)1 +11(2x)2 1 4(-x)0,所求系数为 + 2 (-1)+ 2 =6-24+12=-6.15. 若(

9、x1)5= a5(x+ 1)5+ a4(x+ 1)4+ a3(x + 1)3+ a2(x+ 1)2 + a1 (x + 1) + a。，贝U a1 + a2 + a3+ a4 + a5 =.【答案】31【解析】 令 x= 1 可得 a°= 32.令 x= 0 可得 a0+ a1 + a2 + a3+ a4+ a5= 1,所以 a1+ a2+ a3+ a4 + a5= 1 a0= 1 + 32 = 31.116. x + _+ 2 5的展开式中x2的系数是 .【答案】120111【解析】在x+ 1 + 2 3.,的展开式中，含x2的项为2C5x+ 1,23c5x +12,所以在这几项的

10、展开式中X2的xxx系数和为 2C5C1 + 23C3C0= 40 + 80= 120.17在(1+x)6(1+y)4 的展开式中，记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= 【答案】120【解析】T (1+x)6展开式的通项公式为=xr,(1+y)4展开式的通项公式为=yh,/ (1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为Xryh. f(m,n)=. f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=+=20+60+36+4=120.118.若x+n(n4 n N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =.【答案】8【

11、解析】x+肝的展开式的通项Tr+1=c汶亍=Cn2-rxn-2r，则前三项的系数分别为1, n，r，由其依次成等差数列，得n=1 +n n 1 ，解得n= 8或n= 1(舍去)，故n= 8.8x2项的系数是219.二项式x2 6的展开式中，含x【答案】60 2 【解析】由二项展开式的通项公式得Tr+1 = C6x6 r 2r= C6x62r( 2)r，令 6 2r = 2，得 r= 2，所以 x2的x系数为 Ci( 2)2= 60.20.x+a10展开式中的常数项为180,则 a=【解析】x+ a 10展开式的通项为【答案】戈C10(、Jx)10 r x r= arC10x5 2，令 5 ?r

12、 = 0,得 r = 2,又 a2C1° = 180,故 a= ±.21 .设1 + x2 4的展开式中x2的系数为m,则直线y= 与曲线y= x2所围成的图形的面积为x3【答案】31 【解析】丄+ x2 4的展开式的通项为 Tr +1 = C4xr4x2r = C4x3r4，令3r 4 = 2，得r = 2,则m = C4= 6.又直线x1y = 2x与曲线y= x2的交点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积S= 20(2x x2)dx= x2 屮32=22. 已知二项式3 x +1 n的展开式中各项的系数和为256.丫 x(1) 求n的值；(2) 求展

13、开式中的常数项.【答案】(1) 8(2)8【解析】(1)由题意得CR+ CA+ &+ + Cn= 256, 2n= 256,解得 n = 8.(2)该二项展开式中的第r + 1项为3 l 18 4rTr+1= C8(Fx)8r： r = C8 x-, 令841 = 0,得r = 2，此时，常数项为T3= C2= 28.3123. 已知+ 2x n.(1) 若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2) 若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.【答案】(1) 3 432(2) 16 896x10【解析】(1) C4+ C = 2戊，.n2 21n+ 98 = 0. n = 7或n=14,当n = 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C7 ； 4 23=參1T5的系数为C7 2 3 24= 70,当n= 14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.1二 T8 的系数为 C74 2 7 27= 3 432.(2)