利用极坐标计算二重积分PPT课件

1、.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,dyc ).()(21yxy Y型区域:)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D第1页/共30页xy 1例例 6 6 改变积分改变积分 xdyyxfdx1010),(的次序的次序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图 .10, 10 :xyxD也可表示为 .10, 10 :yxyD第2页/共30页 例7 计算由四个平面x0 y0 x1 y1所围成的柱体被平面z0及2x3yz6截得的立体的体积 四个平面所围成的立体如图 解: dxdyyxVD)326( 1010)326(dyyxdx 101

2、022326dxyxyy 1027)229(dxx所求体积为第3页/共30页281 02.|,:|,DIyxdxdyDxy例例 求求其其中中xy011 2解.|2中的绝对值符号去掉中的绝对值符号去掉必须将必须将xy 两两部部分分分分成成将将区区域域抛抛物物线线212、DDDxy 11,0:21 xxyD11, 2:22 xyxD 22122),( ),( |),(DyxxyDyxyxxyyxf 21)()(22DDdxdyxydxdyyxIdyxydxdyyxdxxx 2211021122)()(1546 2D1D第4页/共30页第三节第三节 二重积分计算方法（二）二重积分计算方法（二）利用极

3、坐标计算二重积分第5页/共30页AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分第6页/共30页.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r二重积分化为二次积分的公式(一)区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 第7页/共30页AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式

4、(二)区域特征如图(曲边扇形), ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(第8页/共30页 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式(三)区域特征如图(极点在区域内部).(0 rDoA)(r,2 0第9页/共30页例例 1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线

5、方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd第10页/共30页例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解在在极极坐坐标标系系下下 D：ar 0， 20. dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae xy0a第11页/共30页解D：bra ， 20 . dyxD 22 20bardrrd)(31233ab )(3233ab 第12页/共30页 xxdyyxdx2212210)(求求 解 积分区域D如图

6、所示 tan sec0 ,40| ),( D Dxxdddyyxdx 12122102)( dd tansec040112tansec40 d例4.第13页/共30页第四节 三重积分的概念及计算法（直角坐标系下计算法）第14页/共30页一、三重积分的定义一、三重积分的定义.,),(),(),(,:Mzyxzyxzyx物体的质量物体的质量试求该试求该为连续函数为连续函数且且处的密度为处的密度为上的点上的点它在它在域域设有一物体占据空间区设有一物体占据空间区例例 方法：分割,取近似,求和,取极限个小块个小块把物体任意分把物体任意分n.,21nVVV ),()(iiiiiVV 取取一一点点体体积积也

7、也记记在在每每一一小小块块 iiiiiVM ),( niiiiiniiVMM11),( 则 niiiiiVM10),(lim 第15页/共30页第16页/共30页.叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的的平平面面来来划划分分用用平平行行于于坐坐标标面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果.lkjizyxv 则则.积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中dxdydzV 第17页/共30页二、三重积分的计算二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影

8、为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直线线过过点点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz方法一(投影法）：直角坐标系中将三重积分化为三 次积分计算第18页/共30页函函数数，则则的的只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得：fx, y,z dv =.),()()(),(),(2121

9、baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意： 投影法是把三重积分化为二次积分和一次积分，且积分顺序为“先一后二”，因此也称为“先一后二”法.第19页/共30页解, 122 yxxyzo第20页/共30页.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI第21页/共30页 101010)(dzzyxdydxdxdydzM 1010)21(dyyxdx 101022121dxyyxy102)1(21 x 10)1(dxx23 例2 解 第22页/共30页221111122 =x,y,z | x + yz, - xy- x , -x 111112222),(yxxxdzzyxfd

10、ydxI积分区域可表示为:由曲面zx2y2及平面z1所化三重积分 dxdydzzyxfI),(积分，其中积分区域 xozy例 3解为三次围成.第23页/共30页 3)1(zyxdxdydz yxxdzzyxdydx1031010)1(1(x y z)| 0z1xy 0y1x 0 x1 解 xyxdyzyxdx1010210)1(21 xdyyxdx1021081)1(21例4xozy111积分区域可表示为:第24页/共30页dxyyxx 101081)1(21dxxx 108183)1(2110216183)1ln(21xxx )852(ln21 xozy111 xdyyxdx1021081)1(21第25页/共30页z方法二：用截面法计算三重积分.第26页/共30页z zDccdxdyzyxfdz),(21 dvzyxf),( 截面法是把三重积分化为一次积分和二次积分， 且积分顺序为“先二后一”，因此也称为“先二后一”法.说明:第27页/共30页解解（一）（一） zdxdydz,10