北交大激光原理 第4章 谐振腔部分

1、第三章第三章 光学谐振腔理论光学谐振腔理论一、一、学习要求与重点难点学习要求与重点难点学习要求学习要求1 了解光学谐振腔的构成、分类和模式等基本知识，及其研究方法。2 理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。3 掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。4 理解自再现模积分本征方程，了解针对平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。5 掌握等价共焦腔方法，掌握谐振腔的模式概念和光束特性。6 了解非稳腔的模式理论。重点重点1 谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系；2 传播矩阵分析方法；3 光学谐振腔的稳定条件；4 模自再现概念；5 自再现模积分本征方程的建立

2、，及其近似；6 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；7 谐振腔的横纵模式和光束特性；8 稳定谐振腔的等价共焦腔。难点难点1 传播矩阵的近似；2 非稳腔；3 模自再现概念；4 自再现模积分本征方程的建立5 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；6 谐振腔的横纵模式和光束特性；二、知识点总结二、知识点总结 ,mnqTEMm nq 驻波条件自再现模分立的本征态有限范围的电磁场形成驻波纵模光的频率（振荡频率，空间分布）模式的形成反映腔内光场的分布谐振腔的作用腔和模的联系衍射筛选横模光场横向能量分布腔内存在的电磁场激光模式模式的表示方法：横模指数，纵模指数衍射理论：不同模式按场分布，损

3、耗，谐振频率来区分，理论方法几何光学干涉仪理12121212()11)12()10101,1ADADADg gorggLLggRR 论：忽略镜边缘引起的衍射效应，不同模式按传输方向和谐振频率区分粗略但简单明了光腔的损耗光子的平均寿命无源腔的Q值无源腔的线宽1-1稳定腔2（非稳定腔适用任何形式的腔，只要列出往返矩阵就能判断其稳定与否1共轴球面腔的稳定条件：稳定判据临界腔2只使用于简单的共轴球面镜腔（直腔）1 谐振腔衍射积分方程推导 自再现模的概念求解方法引进复常数因子解析解：特殊腔（对称共焦腔）本征函数振幅和相位分布（等相位面）菲涅尔基尔霍夫积分公式推广到谐振腔自再现模积分方程数值求解（数值迭代

4、法）本征值模的损耗、相移和谐振频率22/0000(1)(1)2( , )N11 4( ,1)( ,1)arg(1)2xyLmnmnomonmnmnmnx yc eNRCRCkLmn 基模：角向长椭球函数；本征函数振幅和相位 高阶横模不是很小时，厄密高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面方形镜：对单程损耗：称本征值径向长椭球函数单程相移：共焦谐振频率：谐振条件2-腔的自再现模2/00002(1)4( , )Narg(21)2mnqrLmnmnmncqmnLx yc ekLmn q 2基模：超椭球函数；本征函数振幅和相位 高阶横模不是很小时，拉盖尔高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面圆形镜：单程损耗

5、：只有精确解能够给出。本征值单程相移：谐振频率：谐振条件22(21)4mnqcqmnL-q 22222( )00002( , , ( )(1)( )22 ( )limxywzzwLzx y zA Eew zw zfw zz000基模振幅： E模体积腔内行波场等相位面：腔轴线附近近似为球面远场发散角：一般稳定球面腔共焦腔与稳定球面腔的等价关系高斯光束22/0000(1)(1)2( , )N11 4( ,1)( ,1)arg(1)2xyLmnmnomonmnmnmnx yc eNRCRCkLmn 基模：角向长椭球函数；本征函数振幅和相位 高阶横模不是很小时，厄密高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面

6、方形镜：对单程损耗：称本征值径向长椭球函数单程相移：共焦谐振频率：谐振条件2-腔的自再现模2/00002(1)4( , )Narg(21)2mnqrLmnmnmncqmnLx yc ekLmn q 2基模：超椭球函数；本征函数振幅和相位 高阶横模不是很小时，拉盖尔高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面圆形镜：单程损耗：只有精确解能够给出。本征值单程相移：谐振频率：谐振条件22(21)4mnqcqmnL-q 22222( )00002( , , ( )(1)( )22 ( )limxywzzwLzx y zA Eew zw zfw zz000基模振幅： E模体积腔内行波场等相位面：腔轴线附近近似为

7、球面远场发散角：一般稳定球面腔共焦腔与稳定球面腔的等价关系高斯光束三、典型三、典型问题的分析思路问题的分析思路1纵模间隔问题根据纵模频率间隔的公式计算，问题还可以变为腔长如何选择，可获得单纵模2qcL=输出等。2分析某一谐振腔的稳定性问题这类问题分三种情况，第一种是只由两个球面镜组成的共轴球面镜腔，可以利用下面的稳定腔判据公式：121212120101,1g gorggLLggRR 第二种情况是两个球面镜组成的共轴球面镜腔中插入其它光学元件。这时要首先写出这个谐振腔的传输矩阵。利用下面的稳定判据公式：()11)12()1ADADAD1-1稳定腔2（非稳定腔1临界腔2分析谐振腔各参数所应满足的条

8、件。第三种情况是非共轴球面镜腔，如折叠腔和环形腔。求环形腔、折叠腔的往返矩阵时，要将其化为直腔，如果考虑象散，需要对往返矩阵的修正。对于共轴球面镜腔的近(傍)轴光线。而对于环形腔和折叠腔（非共轴球面腔） ，由于象散，球面镜在子午面和弧矢2Rf 面的焦距不共点。其中子午面为环形回路所在平面，弧矢面为包含回路一边长，垂直于子午面的平面。对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，。对于在与此cos2Rf子午垂直的平面内传输的弧矢光线，为光轴与球面镜法线的夹角。2cosRf弧矢3谐振腔损耗问题光学谐振腔积分方程的特征值，它的实部决定腔损耗，特征值的虚部决定光波e 的单程相移。将特征值代入中得：。即表示腔

9、内经11qqUU1iqqUe U ee单程度越后自再现模的振幅衰减。即的实部决定腔损耗，表示每经一次度越的相位滞后，所以的虚部决定的单程相移。单程损耗:2221111mnmnmnmn 单程相移:1argargmnmnmn 共焦腔模的谐振条件22mnq 1(1)221(21)22mnqmnqcqmnLcqmnL方形镜共焦腔谐振频率圆形镜共焦腔谐振频率4共焦腔问题例如求方形镜或圆形镜共焦腔面上各阶（低阶）横模的节线位置。对于方形镜共焦腔，镜面上的高阶横模与基模光斑尺寸之比为0021,21msnssswwmnww而圆形镜共焦腔镜面上的高阶横模的光斑半径。只要求得了镜面上122plsoswplw 基模

10、光斑的大小，就可求出高阶横模的光斑半径。我们知道方形镜和圆形镜镜面上基模光斑的大小都为。 0sLw方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。基模场振幅分布 zwyxezwwEAzyxE222000000,基模光斑尺寸 20202211212fzwfzwfzLzws镜面上基模的光斑半径，高斯光束的基模的腰斑半径，坐标原点选在腔的中心。腰0sw0w斑尺寸： 镜面上光斑尺寸： 共0022swLfw 0sLw zwfw焦腔基模体积： 高阶模体积:202000122sLVL w (模阶次愈高模体积愈大)等相位面（共212122120Lnmww

11、LVnsmsmn焦场的等相位面近似为球面）的曲率半径： 200000zffR zzfzfz等相位面与共焦腔镜面重合。 0022LzfR zfL 等相位面为平面 00000;zR zzR z (共焦腔基模光束)远场发散角：弧度 2limzw zzfzfzLze2122lim221221 21ln20.9392eL5一般稳定球面腔问题可以借助于其等价共焦腔行波场的解析解的特性表达出来，此处可参考教科书。6非稳定谐振腔问题关于非稳定谐振腔的问题主要包括求出共轭像点和的位置；计算非稳腔的能量损耗率、1P2P几何放大率等。共轭像点和的位置分别为，由球面镜成像公式1P2P12,l l12221111211

12、2LllRLllR解得：2121211211212212L LRL LRLRLRRlRRL LRL LRLRLRRlRR（）+（）（）（）2L（）+（）（）（）2L几何放大率镜的单程放大率1M111ama镜的单程放大率2M222ama非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率12Mm m对望远镜非稳定腔（实共焦腔和虚共焦腔）2121212221111RRmmMRRaamaam 平均单程能量损耗1212111111m mM 单程往返能量损耗1222212111111m mM 往返四、思考题四、思考题1.光学谐振腔的作用是什么？2.光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？3.光学谐振腔有哪些

13、常用研究方法？4.什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？5.光学谐振腔的横模模斑形状是客观存在，还是有人为因素，为什么？6.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？稳定条件的导出根据何在？7.所谓“自洽”在光学谐振腔模式讨论中是如何应用的？8.谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对于光轴的偏折角小于 90 度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，为什么？9.共焦腔是什么腔？稳定性如何？10. 共焦腔是不是稳定腔？为什么？11. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？12. 试分析 ABCD 定律在光学谐振腔分析中的作用。13. 一般稳定球面镜谐振腔与

14、其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？14. 非稳腔的优点是什么？15. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？16. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？17. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？ 18. Fox-Li 的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？19. 分别由方形镜和圆形镜组成稳定谐振腔有没有区别，为什么？20. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的实部决定腔损耗？21. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的虚部决定光波的单程相移？22. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗 1-1/2，它与单程衍射损耗因子之间有何关系？23. 如

15、果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？24. 为什么说对称共焦腔非常重要？25. 试由行波场导出圆形镜共焦腔内的波前表示。26. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？27. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么？28. 若 A 激光器的激光束经透镜变换匹配地射入 B 激光器，B 激光器的激光束能不能匹配地射入 A 激光器，为什么？29. 能否得到稳定谐振腔横模的解析表示，为什么？四、练习题四、练习题1.光学谐振腔的作用。是什么？2.光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？3.CO2激光器的腔长 L1.5m，增益介质折射率 n1，腔镜反射系数分别为r1

16、0.985，r20.8，忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗，光子寿命，Q 值和R无源腔线宽。4.证明：下图所示的球面折射的传播矩阵为。折射率分别为的2121201R21,两介质分界球面半径为 R。5.证明：下图所示的直角全反射棱镜的传播矩阵为。折射率为 n 的棱1021d镜高 d。6.导出下图中 1、2、3 光线的传输矩阵。R 1 2 3 d 7.已知两平板的折射系数及厚度分别为 n1，d1，n2，d2。(1)两平板平行放置，相距l，(2)两平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵，是什么? 8.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线

17、相对于光轴的偏折角小于 90 度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，为什么？9.有两个反射镜，镜面曲率半径，R1=50cm，R2=100cm，试问：(1)构成介稳腔的两镜间距多大?(2)构成稳定腔的两镜间距在什么范围?(3)构成非稳腔的两镜间距在什么范围?10. 共焦腔是不是稳定腔，为什么？11. 腔内有其它元件的两镜腔中，除两腔镜外的其余部分所对应传输矩阵元为ABCD，腔镜曲率半径为、，证明：稳定性条件为，其中1R2R1201g g；。11/gDB R22/gAB R12. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。13. 激光器谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半

18、径为 2m 的凹面镜组成，工作物质长 0.5m，其折射率为 1.52，求腔长 L 在什么范围内是稳定腔。14. 如下图所示三镜环形腔，已知 l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径 R 在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔，在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，f = Rcos/2，对于在于此垂直的平面内传输的弧矢光线，f = R/(2cos)，为光轴与球面镜法线的夹角。lll15. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？16. 试分析 ABCD 定律在光学谐振腔分析中的作用。17. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？18. 非稳

19、腔的优点是什么？19. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？20. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？21. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的模决定腔损耗？22. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的幅角决定光波的单程相移？23. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？24. 光学谐振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再现模？采用衍射积分方程方法研究激光器的模式和采用几何光学的办法研究各有什么优缺点？25. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？26. 谐振腔腔长 L1m，介质折射率 n1，两腔镜反射系数分别为 r11，r20.99，求

20、 1500MHz 线宽内包含的纵模个数。27.，的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？100Rcm40Lcm28. 若法卜里珀罗平面干涉仪的腔长为 4.5，它的自由谱宽为多少，能否分辨cm，=0.01nm 的 HeNe 激光谱线？46 10 mm29. Fox-Li 的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？30. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗 1-1/2，它与单程衍射损耗因子之间有何关系？31. 试由方形镜共焦腔内行波场，导出腔内等相位面表示。32. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？33. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么？34. 分别由方形镜和圆形

21、镜组成的稳定谐振腔有没有区别，为什么？35. 能否得到稳定腔横模的解析表示，为什么？36. 为什么说对称共焦腔非常重要？37. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？38. 腔长 L=1m 的双凹稳定腔，两腔镜的半径分别为 R11.5m，R23m，求其等效共焦腔的腔长，并画出等效共焦腔的位置。39. 方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30cm，腔镜反射率分别为r11，r20.96，方形孔边长d=2a=0.12cm，其它损耗以每程 0.003 计，工作波长=632.8nm。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根

22、据公式00TEM估算氦氖增益，l 为增益介质放电管长度。0g4e1 3 10lld 40. 腔长 L 的对称双凹腔，反射镜曲率半径为 R=2.5L，工作波长为，求镜面上的基模高斯光束的光斑半径。41. 今有一平面反射镜和一曲率半径为R=1m的凹面反射镜，问：应如何构成一平-凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长 L 的关系曲线。42. 试导出如下腔型所对应的共轭共焦腔结构和输出光参数。 R=1m L=0.3m 43. 试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？30TEM44. 求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置。20TEM02TEM45. 腔长 L=0.8

23、m 的球面腔，腔镜曲率半径分别为 R1=1.5m 和 R2=1m。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。46. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm，。6.10试计算、各为多少。s1s20010020047. 试证明，在所有相同而 R 不同的对称球面镜稳定腔中，共焦腔的衍射损La /2耗最低。L 表示腔长，为腔镜的曲率半径，a 为镜面半径。21RRR48. 推导出平-凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表示式，做出：（1）当R=100cm时，、随 L 而变化的曲线；（2）当L=100cm时，、随 R 而变化s1s2s1s2的曲线。

24、49. 平凹腔中凹面镜曲率半径为 R，腔长 L=0.2R，光波长为，求此平凹腔产生的基模高斯光束的束腰半径。50. 试证明经过焦距为 F 的薄透镜，高斯光束的 q 参数传播满足 ABCD 定律。51. 若 A 激光器的激光束经透镜变换匹配地射入 B 激光器，B 激光器的激光束能不能匹配地射入 A 激光器，为什么？52. 已知一高斯光束束腰半径为0，束腰与焦距为 f 的薄透镜相距为 l，经透镜变换后传输距离 l1，又经一折射率为 n，长 L 的透明介质后输出（如下图所示） ，求：1)高斯光束在介质出射面处的 q 参数和光斑半径；2)若将介质移到薄透镜处，即 l10 (不考虑可能存在的间隙)，求输

25、出高斯光束的远场发散角；53. 两支 He-Ne 激光器都采用平凹腔，尺寸如图所示，请问在何处插入焦距为多少的透镜可以实现而者的模式匹配。54. 采用方形共焦腔 He-Ne 激光器的腔长 L=30cm，反射镜尺寸为 2a=0.2cm，如果一个模式的光斑大小超过镜面尺寸，则认为该模式不可能存在，求此激光器的最高横模阶次。55. 已知高斯光束的束腰半径为0，求：1）A 点与束腰相距为 z，求光斑半径(z)；2）如果测量到 A 点光斑光强下降到最大值的处的半径为p，求p和(z)的关系。21六、部分答案六、部分答案1.光学谐振腔的作用。是什么？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：光学谐振腔答：答：

26、一是提供正反馈，二是控制振荡模式特性。2.光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：光学谐振腔，构成要素，作用答：答：光学谐振腔的构成要素有：是否有边界、是否有反射镜以外的反射面、反射镜外形、反射镜面形状、镜曲率半径与腔长关系。是否有边界，决定光学谐振腔是否是封闭腔、波导腔或开式腔；是否有反射镜以外的反射面，决定光学谐振腔是复合腔还是简单腔；反射镜面形状，决定光学谐振腔是球面腔、非球面腔，以及是否是双凹腔、平凹腔、平平腔、凹凸腔、双凸腔；镜曲率半径与腔长关系，决定光学谐振腔是稳定腔、临界腔或非稳腔。3.CO2 激光器的腔长 L1.5m，增益介质折射率

27、n1，腔镜反射系数分别为r10.985，r20.8，忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗，光子寿命，Q 值和无R源腔线宽。解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：谐振腔单程损耗因子、光子寿命、Q 值和无源腔纵模线宽，腔镜R反射系数，CO2激光器的波长关键公式：关键公式： 1 211ln2rrRLc2RQ1 21ln4RcLrr解：解：1 211ln2rr11ln0.11920.985 0.8RLc881.54.2 10 ( )0.119 3 10s 2RQ88663 1024.2 107.47 1010.6 101 21ln4RcLrr863 101ln3.8 10 ()41.50.985 0.8H

28、z4.证明：下图所示的球面折射的传播矩阵为。折射率分别为的两介2121201R21,质分界球面半径为 R。解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：折射，传播矩阵关键公式：关键公式： 1221sin=sin证：证：两介质分界球面光线出射处： (1)=izr r由折射定律和旁轴光线近似： (2)211122sinsin以及入射、反射和折射光线间的几何关系： (3)2112zzirRi12ri rzz式(1) (3)联立解得：11221(1)zizzirrrR上式写成矩阵形式：2112210izizrrR证毕5.证明：下图所示的直角全反射棱镜的传播矩阵为。折射率为的棱镜高 d。2101d解题思考：解

29、题思考：关键概念：关键概念：传播矩阵关键公式：关键公式：各向同性自由空间传播传输矩阵：，平面镜反射传播矩阵：101L，平面界面透射传播矩阵：100112100nn关键点：关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。解：设图中棱镜材料中光垂直方向传播距离为解：设图中棱镜材料中光垂直方向传播距离为 2lll=100101dl10011201l1001101dl10102101d6.导出下图中 1、2、3 光线的传输矩阵。R 1 2 3 d 解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：传播矩阵关键公式：关键公式：各向同性自由空间传播传输矩阵：，球面界面反射传播矩阵：101L，平面镜反射传

30、播矩阵：，球面界面透射传播矩阵：1201R10012121201nnRnnn关键点：关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。解：解：设图中透镜材料的折射率为 n光线 1：1201R光线 2：=101 nnR 101d1001101d1011nnRn221212(1)1212nddnRnnnddRnR光线 3：=100n101d1011nnRn1111nddnRnnR7.已知两平板的折射系数及厚度分别为 n1，d1，n2，d2。(1)两平板平行放置，相距 l，(2)两平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵，是什么? 解题思考：解题思考：关键概念：关键概

31、念：传播矩阵关键公式：关键公式：长方体传播传输矩阵：,各向同性自由空间传播传输矩阵：101nL，平面界面透射传播矩阵：101L12100nn关键点：关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。解：解：(1) =22101dn101L11101dn1212101ddLnn(2) =22101dn11101dn1212101ddnn另法解：= 2100n2101d12100nn1101d11010n1212101ddnn8.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对于光轴的偏折角小于 90 度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，

32、为什么？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：光学谐振腔，光学谐振腔稳定条件关键公式：关键公式：1111rDBCArnnn11nnnnACrBD答：答：光学谐振腔稳定条件是。1021gg这是一个要求很高的条件，没有例外。这是因为，在导出这一稳定条件时，尽管只是要求光线相对于光轴的偏折角小于 90 度，并没有限定光线的往还次数，因此这是一个严苛的条件。9.有两个反射镜，镜面曲率半径，R1=50cm，R2=100cm，试问：(1)构成介稳腔的两镜间距多大?(2)构成稳定腔的两镜间距在什么范围?(3)构成非稳腔的两镜间距在什么范围?解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：光学谐振稳定条件： 102

33、1gg111RLg221RLg关键公式：关键公式：稳定腔：，介稳腔：或，非稳腔：1021gg120g g 121g g 或120g g 121g g 解：解：(1)由，有，解得：或(无物理意义，舍弃)120g g (1)(1)050100LL100L 50L 由，有，解得：或(无物理意义，舍弃)121g g (1)(1)150100LL50L 0L 构成介稳腔的两镜间距：或50L 100(2)由，有，解得：或 1021gg0(1)(1)150100LL50100L500L(无物理意义，舍弃)构成稳定腔的两镜间距：50100L(3)由，有，解得：或(无物理意义，舍弃)120g g (1)(1)0

34、50100LL100L 50L 由，有，解得：121g g (1)(1)150100LL050L构成非稳腔的两镜间距：或100L 050L10. 共焦腔是不是稳定腔，为什么？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：共焦腔、对称共焦腔、稳定腔关键公式：关键公式：光学谐振稳定条件：，共焦腔：1021gg212121RRL关键点：关键点：腔镜曲率半径的正负解：解：共焦腔：212121RRL 121221121212121(1)(1)(1)(1)(2)224RRRRRRLLg gRRRRRR121221121212011(2)040RRRRRRRRRRRR 对称共焦腔若该共焦腔为双凹腔，令：2112R

35、RabRR由： 122120()0RRabRR有：12221222RRabRR所以：122112121201(2)04RRRRg gRRRR若该共焦腔为凹凸腔：2112121(2+)4RRg gRR可令：2112RRabRR有：1221121212=1=-()1(2+)41-RRRRg gRRRR非共焦腔舍弃综上所述，由光学谐振稳定条件：判定，共焦腔不是稳定腔；只有对称1021gg共焦腔是介稳腔，其它结构类型的共焦腔均是非稳腔。11. 腔内有其它元件的两镜腔中，除两腔镜外的其余部分所对应传输矩阵元为 ABCD，腔镜曲率半径为、，证明：稳定性条件为，其中；1R2R1201g g11/gDB R。

36、22/gAB R解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：光学谐振腔、稳定腔、传播矩阵关键公式：关键公式：球面界面反射传播矩阵：1201R关键点：关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积，并考虑光线在谐振腔中的多次往返。解：解：光线在谐振腔中的一次往返：11021RABCD21021RABCDEFGH其中：2222211211222222()()222()()ABEABCRBFABBDRABAGACDCRRRABBBHBCDDRRR 由：， 11BgDR22BgAR可得：， 111DgRB221AgRB则：22222212222211122222(g2g2gg)2g2g -2

37、g +4g g2gEAgABCFBgABBDGAAAADCACDCBHDADDBC光线在腔内往返谐振 n 次，由 Sylvester 定理可得 sinsin(1)sin1sinsinsin(1)sinnnnnnEFEFEnnFnGHGHGnHnn其中，。1cos()2EH若希望旁轴光线不横向逸出腔外，应要求这四个矩阵元值不能无限大，即要求：1cos也就是要求：1()12EH对于题目所述球面镜谐振腔：22121122112g g - ggg()22EHADAgDBCAD对于光学谐振腔来说，光线传输矩阵元须满足： det1TEHFG即：2211221g -g -g -()12ADAgDBCAD所以

38、：12EH1221g g 光学谐振腔稳定性条件为：1021gg12. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：平凹、双凹、凹凸共轴球面镜光学谐振腔、镜腔曲率半径正负取值规定、稳定性判据关键公式：关键公式：1021gg解：解：(1)平凹腔平面镜曲率半径为无穷大：，假设凹面镜腔对应正曲率半径：11g 2R221LgR 由稳定性条件：1021gg可得：2RL可见，凹面镜腔正曲率半径超过腔长的平凹腔，为稳定腔。(2) 双凹腔假设凹面镜腔正曲率半径和，且：，1R2R21RR111LgR 221LgR 由稳定性条件：1021gg可得： 2LR或1LR可见，双凹

39、镜腔的腔长取值，或者超过两凹面腔镜中曲率半径较大的曲率半径，或者小于两者之中曲率半径较小的曲率半径，即为稳定腔。(3) 凹凸腔假设凹面镜腔正曲率半径，凸面镜腔的负曲率半径：，1R2R111LgR 221LgR 由稳定性条件：1021gg可得： 12LRR或2LR 进一步分析不等式解中对腔长取值要求可见，若凹面腔镜曲率半径值等于凸面腔镜曲率半径值的二倍：，腔长取值：时为稳定腔；若凹面腔镜曲率半径值小于122RR 2LR 凸面腔镜曲率半径值的二倍：，腔长取值：时也为稳定腔；122RR 212RLRR若凹面腔镜曲率半径值大于凸面腔镜曲率半径值的二倍：，则两镜无法组成稳定122RR 腔，即凹面腔镜曲率

40、半径值须低于凸面腔镜曲率半径值二倍是凹凸镜组成稳定腔的前提。13. 激光器谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成，工作物质长 0.5m，其折射率为 1.52，求腔长 L 在什么范围内是稳定腔。解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：凹凸面镜谐振腔、镜腔曲率半径正负取值规定、等效腔长、稳定性判据关键公式：关键公式：1021gglLLln 解：解：，11R 22R 0.5l 1.52n lLLln ，111LgR 221LgR 由稳定性条件：1021gg120(1)(1)1llLlLlnnRR 0(0.829)(2.17)2LL可得： 2.17(m)1.17(m)L

41、或 (腔长小于工作物质长度，不合理，舍弃)00.17(m)L腔长 L 取值在1.17m, 2.17m范围内是稳定腔。14. 如下图所示三镜环形腔，已知 l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径 R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔，在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，f = Rcos/2，对于在于此垂直的平面内传输的弧矢光线，f = R/(2cos)，为光轴与球面镜法线的夹角。lll15. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：稳定腔、介稳腔、非稳腔，谐振腔腔内行波、束腰、焦点关键公式：关键公式：2212122121

42、2122112221212112122121121221)2()1 ()()()()(2) 1()()()(2) 1()()()(ggggLggggRLRLLRRLRLRLFgggggLgRLRLLRLzgggggLgRLRLLRLz解：解：焦点即谐振腔腔内行波束最细之处，即束腰之处。腔内存在行波束，即存在稳定模式，是光学谐振腔内存在焦点的前提。光学谐振腔又分为非稳腔、介稳腔和稳定腔，完整的解答本题需要针对非稳腔、介稳腔和稳定腔三种情形分别予以讨论。但是，本课程对非稳腔和介稳腔腔内行波束性质涉及的较少，所以针对非稳腔和介稳腔腔内是否存在焦点，也只能根据本课程已介绍的内容来回答。针对稳定腔则可以

43、通过与等价的对称共焦腔作细致的讨论。对于非稳腔情形，双凹镜组成的不对称实共焦腔腔内存在焦点。对于介稳腔情形，双凹镜组成的对称共焦腔腔内存在束腰，存在焦点。对于稳定腔情形，其有等价的对称共焦腔腔内存在束腰，若该束腰位于稳定腔两腔镜之间： 2121122122112221()0()()()0()()()()()0()()L RLzLRLRL RLzLRLRL RL RL RRLFLRLR则对应稳定腔腔内存在焦点。由上述方程组解得： 12RLRL或者1212RLRLRRL分别对应由曲率半径超过腔长的双凹面镜组成的稳定腔，以及由曲率半径不超过腔长但两镜曲率半径之和超过腔长的两镜组成的稳定腔。16. 试

44、分析 ABCD 定律在光学谐振腔分析中的作用。解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：传播矩阵、ABCD 定律、谐振腔稳定性解：解：在光学谐振腔分析中，光学谐振腔中光线 n 次往返反射传播所对应的传播矩阵为：sinsin(1)sin1sinsinsin(1)sinnnnnnABABAnnBnCDCDCnDnn按照 ABCD 定律，光学谐振腔中光线的最终坐标通过传播矩阵中的矩阵元素 ABCD 与初始坐标联系起来。在初始坐标为近轴光线的情况下，通过要求传播矩阵中的矩阵元素ABCD 为有限量，得到了光学谐振腔的稳定性条件。可见，ABCD 定律在在光学谐振腔的稳定性分析中发挥了重要作用。17. 一般稳

45、定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：对称共焦腔、稳定腔、等价对称共焦腔、腔内行波场、等相位面答：与答：与稳定腔等价的对称共焦腔，是通过以对称共焦腔行波等相位面相同曲率半径反射镜的插入而获得这种等价关系的，根据是光线可逆原理。因此，这种等价关系是建立在几何光学的基础之上的，而不是建立在波动衍射光学的基础之上的。稳定球面镜谐振腔与其等价对称共焦谐振腔真正相同的是腔行波的等相位面，即便是等相位面上的光电场大小分布也不一定相同。所以，稳定球面镜谐振腔与其等价对称共焦谐振腔，在谐振腔结构上相同的只有均为球面镜，不一定相同的有菲涅尔数，腔镜的曲

46、率半径、反射率和尺寸，以及腔长；在腔内行波上相同的有等相位面分布、双曲线形状、束腰位置及大小、远程发散角，不一定相同的有纵模间距、衍射损耗、模体积、镜面光斑大小，以及输出激光束的束腰位置及大小、远程发散角等输出激光参数。18. 非稳腔的优点是什么？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：非稳腔、非稳腔模式答：答：非稳腔的主要优点有：(1)几何损耗高，容易鉴别和控制横模，适用于高功率激光器；(2)模式体积大，对增益介质的体积利用率高；(3)有平行光输出模式，易于得到单端输出和准直的平行光束，应用方便。19. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：几何损耗、衍射

47、损耗，稳定腔、介稳腔、非稳腔答：答：谐振腔中的损耗主要是指旁轴光线或称近轴光线的损耗，其中几何损耗存在于介稳腔和非稳腔中，稳定腔中的旁轴光线不存在几何损耗。20. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：稳定腔、衍射损耗、菲涅尔数、横模关键公式：关键公式：，2(1)(1)2omon21 () ( ,1)( ,1)mnCRCRC 222aCNL答：答：光学谐振腔中的衍射损耗，主要由其菲涅尔数和横模模阶数决定。21. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的模决定腔损耗？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：光学谐振腔、特征值、衍射损耗、自再现模关键公式：关键公

48、式：qquu11答：答：在光学谐振腔中，自再现模单程传播所经受的光电场衰减由式中谐振腔qquu11积分方程的特征值描述。将光电场换成光强，即对上式两边取平方：e 2211qqqIII e与谐振腔单程损耗因子：0eII比较可得：2可见，腔损耗由特征值的模决定。22. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的幅角决定光波的单程相移？23. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：稳定腔、非稳腔、模式答：答：稳定腔的主要形式有：(1)双凹腔；(2) 平凹腔；(3) 凸凹腔。与非稳定谐振腔相比，稳定腔的主要缺点有：(1)损耗小，选模能力差；(2)模

49、式体积小，对增益介质的体积利用率低。24. 光学谐振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再现模？采用衍射积分方程方法研究激光器的模式和采用几何光学的办法研究各有什么优缺点？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：光学谐振腔、自再现模、模式、衍射积分方程方法、几何光学办法答：答：研究光学谐振腔常用的方法有两种，一是几何光学办法，一是衍射积分方程方法。在光学谐振腔研究中，一般以几何光学办法探讨近轴光线在光学谐振腔中的传播行为，研究光学谐振腔的稳定性问题；近轴光线在光学谐振腔中的衍射行为，则采用衍射积分方程方法研究。自再现模则是在考虑了衍射行为的近轴光线，在光学谐振腔中反复反射往还后，所形成的有相对稳定

50、函数分布的光电场分布，即光学谐振腔模式。几何光学处理方法，具有简洁易懂的优势，但只能讨论光学谐振腔的稳定性；衍射积分方程方法相对深奥复杂，但可以提供光学谐振腔中自再现模的形成、模式光电场的强度和相位分布、腔内行波场、衍射损耗等光学谐振腔模式的所有性质。25. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：稳定腔、纵模、横模答：答：电磁场理论表明，在具有一定边界条件的腔内，电磁场只能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每种本征状态将具有一定的振荡频率和空间分布。通常谐振腔内可能存在的电磁场本征态称为腔的模式。光学谐振腔的模式，即是

51、这种能够自再现的稳定的电磁场分布，对应着光学谐振腔的一系列本征态。其中包含着模式自再现物理思想。不同的纵模相应于不同的 q 值，对应不同的频率。不同的横模，对应于不同的横向稳定的光场分布和频率。对纵模要求电磁场在频域上满足由驻波条件所要求的谐振条件，对横模要求损耗小，主要是衍射损耗。26. 谐振腔腔长 L1m，介质折射率 n1，两腔镜反射系数分别为 r11，r20.99，求1500MHz 线宽内包含的纵模个数。27.，的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？100Rcm40Lcm28. 若法卜里珀罗平面干涉仪的腔长为 4.5，它的自由谱宽为多少，能否分辨cm，=0.01nm 的 HeNe 激光谱线？

52、46 10 mm29. Fox-Li 的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：平行平面镜谐振腔、Fox-Li 的数值迭代法答：答：主要结论有：(1). 镜面上的振幅分布为中央强边缘弱，偶对称；(2). 镜面上的相位不是等相位面分布；(3). 单程相移由几何相移和与横模相关的附加相移构成；(4). 谐振频率不只由腔长决定，还与横模相关。主要意义有：(1). 首次得到模式，证明模式自再现思想的正确性；它逐次近似计算直接求出了一系列自再现模，从而第一次证明了开腔模式的存在性，并从数学上论证了开腔自再现模积分方程解的存在性； (2). 迭代一次，

53、光在腔内传播一次，是个针对光传输的精确计算方法；数学运算过程与模在腔中往返传播而形成自再现模的物理过程相对应，能加强理解自再现模形成的物理过程；(3). 原则上可应用于任何腔型的自再现模计算，利用标准化计算机程序可以求得任意精确度的数值解，具有普遍适用性。30. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗 1-1/2，它与单程衍射损耗因子之间有何关系？31. 试由方形镜共焦腔内行波场，导出腔内等相位面表示。32. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：横模、谐振腔积分本征方程答：答：同一个光学谐振腔中不同横模的相同点有，都是谐振腔积分本征方程的本征解，

54、都是旁轴传输的电磁波在谐振腔中经反复衍射损耗形成的稳定的光电场的稳定分布。同一横模的不同模斑具有反相或同相的相位。同一个光学谐振腔中不同横模的不同点有，光斑形状、大小以及光电场偏振方向，另外，相位无固定关系。33. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：横模、横模的相位关系答：答：同一高阶横模的不同模斑间，具有反相或同相的固定的相位关系。若相遇，则干涉相消或加强。不同高阶横模，相位无固定关系。若相遇，不会干涉。34. 分别由方形镜和圆形镜组成的稳定谐振腔有没有区别，为什么？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：方形腔镜、圆形腔镜、稳定腔、等价对称

55、共焦腔关键公式：关键公式： 222aCNL2aNL答：答：有区别。区别主要表现在两者的模式场解上。虽然两者在模式光束形状、等相位面的曲率半径及光束发散角等方面有相同的表达式，但却存在以下明显的区别：（1）模斑形状方形镜对称共焦腔模式场强的解主要由角向长椭球函数这种特殊函数构成，在腔的菲涅尔数 N 值较大的情况下可以近似为厄米多项式的形式，具有 x 轴和 y 轴对称性。圆形镜对称共焦腔模式场强的解主要由超椭球函数构成，在腔的菲涅尔数 N 值较大的情况下，可以近似表示为拉盖尔多项式的形式，具有圆对称性。无论是方形镜或者是圆形镜组成的稳定谐振腔，其模式场模斑形状军营与其等价的对称共焦腔的模式场相似，

56、所以，方形镜和圆形镜稳定腔模斑形状的区别，应为具有 x 轴和 y 轴对称性的厄米多项式模斑形状，与具有圆对称性的拉盖尔多项式模斑形状的区别。（2）模式频率方形镜对称共焦腔模式场对应相位的幅角解为：(1)2mnkL各阶横模的谐振频率为：)1(212cmnqnmqL圆形镜对称共焦腔模式场对应相位的幅角解为：(21)2plkL 各阶横模的谐振频率为：)12(212clpqLplq因稳定谐振腔与其等价的对称共焦腔在模式场上的相似性，方形镜和圆形镜组成的稳定谐振腔的模式频率，也应有类似的区别。35. 能否得到稳定腔横模的解析表示，为什么？36. 为什么说对称共焦腔非常重要？解题思考：解题思考：关键概念：

57、关键概念：稳定腔、共焦腔、对称共焦腔、等价对称共焦腔答：答：对称共焦腔的衍射积分本征方程，有解析解，因此其腔内行波场有解析函数表示，相关模式特征和形貌明确。稳定腔是一类常用的激光器腔型，但其衍射积分本征方程一直未能获得解析解，所以，其腔内行波场的模式特征和形貌不似对称共焦腔中那样能依靠解析解来获得明确的描述。等价对称共焦腔的存在，使得稳定腔内行波场的模式特征和形貌，能够通过与其等价的对称共焦腔的解析解，来获得较为明确的描述，可见对称共焦腔对于激光器的研制工作具有非常高的重要性。37. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？解题思考：解题思考：关键概念：关键概念：稳

58、定腔、衍射损耗、损耗描述参数关键公式：关键公式： 222aCNL2aNL答：答：可以描述稳定谐振腔中衍射损耗大小的参数有谐振腔单程损耗因子、平均光子寿命、Q 参数、纵模线宽及菲涅尔数等参数。如果须使用一个参数来描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，我愿意使用菲涅尔数。这是因为稳定谐振腔中光电场本征函数解相对应本征值的模，直接决定稳定谐振腔对应模式的衍射损耗，而该模函数为径向长椭球函数，函数的自变量 C 为：222aCNL它与菲涅尔数：2aNL成正比。38. 腔长 L=1m 的双凹稳定腔，两腔镜的半径分别为 R11.5m，R23m，求其等效共焦腔的腔长，并画出等效共焦腔的位置。解题思考：解题思考：关键概

59、念：关键概念：稳定腔、等价对称共焦腔关键公式：关键公式：1201g g112211LgRLgR 22121221212122112221212112122121121221)2()1 ()()()()(2) 1()()()(2) 1()()()(ggggLggggRLRLLRRLRLRLFgggggLgRLRLLRLzgggggLgRLRLLRLz解：解： 1122113213LgRLgR 1220()19g g该双凹腔为稳定腔。因此，可以该双凹稳定腔的等价对称共焦腔中心为坐标原点、以双凹镜面中心连线为 z 轴建立坐标系。假设该双凹镜在该坐标系中的坐标分别为 z1和 z2，等价对称共焦腔的腔长

60、 L为 2F。由：2111212122121222121221212(1)2(1)2(1)(2)Lggzggg gLg gzggg gg gg gLFggg g得：122240.8(m)510.2(m)514(m )45zzF 14221.12(m)45LF等效共焦腔腔镜的位置如下图虚线所示： 0 0.2 0.558 -0.558 -0.8 z R1 R2 39. 方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长 L=30cm，腔镜反射率分别为 r11，r20.96，方形孔边长 d=2a=0.12cm，其它损耗以每程 0.003 计，工作波长=632.8nm。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方