广东省广州市白云区汇侨中学九年级上数学第22章一元二次方程复习课件

1、 等号两边都是整式等号两边都是整式, 只含有一个未知数只含有一个未知数(一元一元)，并且未知数的最高次数是，并且未知数的最高次数是2(二次二次)的的方程叫做方程叫做一元二次方程一元二次方程一元二次方程的概念一元二次方程的概念 特点特点:都是整式方程都是整式方程;只含一个未知数只含一个未知数;未知数的最高次数是未知数的最高次数是2. a x 2 + b x + c = 0(a 0)二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式20axbx c 20axbx c 1、判断下面哪些方程是一元二次方程、判断下面哪些方程是一元二次方程222221x2y2

2、4(1)x -3x+4=x -7 ( ) (2) 2x = -4 ( )(3)3 x+5x-1=0 ( ) (4) 3x -20 ( )(5)13 ( )(6)0 ( )xy 练习二练习二2、把方程（、把方程（1-x x)(2-x x)=3-x x2 化为一化为一般形式是：般形式是：_, 其二次项其二次项系数是系数是_,一次项系数是一次项系数是_,常数常数项是项是_.3、方程（、方程（m-2)x x|m| +3mx x-4=0是关于是关于x的一元二次方程，则的一元二次方程，则 （ ）a.m=a.m=2 b.m=2 c.m=-2 d.m 2 b.m=2 c.m=-2 d.m 2 2 2x2-3x

3、-1=02-3-1c4、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?a2-4=0a+20解解:(1)a=2当当a=2时，原方程时，原方程是一元一次方程是一元一次方程(2) a2-40a2当当a2时，原时，原方程是一元二次方方程是一元二次方程程你学过一元二次方程的哪些解法你学过一元二次方程的哪些解法? ?因式分解法因式分解法开平方法开平方法配方法配方法公式法公式法 例例:解下列方程解下列方程 、用直接开平方法、用直接开平方法：(x+2)2= 2、用配方法解方程：、用配方法解方程：4x2-8x-5=03 3、用公

4、式法解方程、用公式法解方程: 3x: 3x2 2=4x+7=4x+74 4、用分解因式法解方程：、用分解因式法解方程： （y+2)y+2)2 2=3(y+2=3(y+2）你学过一元二次方程的哪些解法你学过一元二次方程的哪些解法? ?因式分解法因式分解法开平方法开平方法配方法配方法公式法公式法一元二次方程的一元二次方程的基本解法基本解法配方法配方法直接开平方法直接开平方法 因式分解法因式分解法公式法公式法提取公提取公因式法因式法平方差平方差公式公式完全平完全平方公式方公式你能说出每一种解法的特点吗你能说出每一种解法的特点吗? ?1.1.用因式分解法的用因式分解法的条件条件是是: :方程左边能够方

5、程左边能够 分解分解, ,而右边等于零而右边等于零; ;2.2.理论理论依据依据是是: :如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零. .因式分解法解一元二次方程的一般因式分解法解一元二次方程的一般步骤步骤: :一移一移-方程的右边方程的右边=0;=0;二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解; ;三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程; ;四解四解-写出方程两个解写出方程两个解; ;方程的左边是完全平方式方程的左边是完全平方式,右边是非负数右边是非负数;即形如即形如x2=a(a0)a ax x, ,a ax x2

6、21 1用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤:1.1.变变形形: :把二次项系数化为把二次项系数化为1 12.2.移移项项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;3.3.配配方方: :方程两边都加上一次项系数方程两边都加上一次项系数 ; ;4.4.变变形形: :方程左边分解因式方程左边分解因式, ,右边合并同类右边合并同类; ;5.5.开开方方: :根据平方根意义根据平方根意义, ,方程两边开平方方程两边开平方; ;6.6.求求解解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;7.7.定定解解: :写出原方程的解写出原方程的解. .用用公式法公式法解一元二次方程的解一

7、元二次方程的前提前提是是: :1.1.必需是一般形式的一元二次方程必需是一般形式的一元二次方程: : ax ax2 2+bx+c=0(a0).+bx+c=0(a0). 2.b2.b2 2-4ac0.-4ac0. .0 04ac4acb b. .2a2a4ac4acb bb bx x2 22 2选用适当方法解下列一元二次方程选用适当方法解下列一元二次方程 1 1、 (2x+1)(2x+1)2 2=64 =64 ( ( 法）法） 2 2、 (x-2)(x-2)2 2- -(x+(x+) )2 2=0 =0 ( ( 法）法） 3 3、( (x-x-) )2 2 -(4-(4-x)=x)= ( ( 法

8、）法） 4 4、 x x- -x-10=x-10= ( ( 法）法） 5 5、 x x- -x-x-= = ( ( 法）法） 6 6、 x xx-1=0 x-1=0 ( ( 法）法） 7 7、 x x - -x-x-= = ( ( 法）法） 8 8、 y y2 2- y-1=0- y-1=0 ( ( 法）法）2选择方法的顺序是：选择方法的顺序是： 直接开平方法直接开平方法 分解因式法分解因式法 公式法公式法配方法配方法因式分解因式分解因式分解因式分解 公式公式公式公式公式公式因式分解因式分解公式公式直接开平方直接开平方练习练习1. (2005福州中考福州中考) 解方程解方程: (x+1)(x+

9、2)=62. (2005北京中考北京中考) 已知已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求求a2+b2 的值。的值。3.解下列方程（解下列方程（1）x2=0 (2)x(x-6)=-2(x-6)4. (2004武汉中考武汉中考) 试证明关于试证明关于x的方程的方程 (a2-a+2)x2+ax+2=0无论无论a取何取何值值,该方程都是一元二次方程该方程都是一元二次方程.中考直击中考直击思考思考5、已知：x2+3xy-4y2=0(y0), 求 的值.xyxy6、4x2=x 甲同学是这样做的，你看对吗？甲同学是这样做的，你看对吗？方程两边同除以方程两边同除以4，得，得x2= 直接开平方得直接开

10、平方得x= 所以原方程的解是所以原方程的解是x1= ，x2=4x2x2x2x乙同学是这样做的，也请你乙同学是这样做的，也请你“诊断诊断”一下：一下：将方法两边同除以将方法两边同除以x,得得4x=1即得方程的解为即得方程的解为x=41练习：选用适当方法解下列方程：练习：选用适当方法解下列方程：2(1) (33)27x、(2) (4)(4)12xx、2(3) (12)(12)xx、2(4) 31270 xx、小结：通过对本例的分析及解题过程，可以得小结：通过对本例的分析及解题过程，可以得到：到： （4）当因式分解有困难时，就用公式法。配方）当因式分解有困难时，就用公式法。配方法一般不用。（如果把方

11、程化为一般形式后，它法一般不用。（如果把方程化为一般形式后，它的二次项系数为的二次项系数为1，一次项系数是偶数，用配方，一次项系数是偶数，用配方法更好）法更好）（3）解一元二次方程常用因式分解法。）解一元二次方程常用因式分解法。（2）在解方程时，应注意方程的特点，合理选）在解方程时，应注意方程的特点，合理选择简捷的方法。择简捷的方法。()()xab b20（1）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法来解（形如来解（形如 的方程）。的方程）。7. 用配方法说明：不论用配方法说明：不论k取何实数，多项式取何实数，多项式k23k5的值必定大于零的值必定大于零.8.

12、 关于关于x的方程的方程2x2-(m+4)x+m+4=0有两个实数根有两个实数根.求求m的取值范围的取值范围.10.已知已知x2-7xy+12y2=0,求证：求证： x=3y或或=4y9.你会解方程：你会解方程：x2-2|x|-1=0|x|-1=0吗？吗？2221221214044222402340acbbacbbac.aa( )bac,;b.a( )bac,.xxx x 2 2（）当当b b时时，一一元元二二次次方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根；，当当时时 一一元元二二次次方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根当当时时 一一元元二二次次方方程程没没有有实实数数根根一元二

13、次方程的根与系数：一元二次方程的根与系数：根的判别式：根的判别式：b2-4ac练习： 1、方程、方程2x2+3xk=0根的判别式是根的判别式是 ；当当k 时，方程有实根。时，方程有实根。 2、方程、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则有两个相等实数根，则m= 。 3、关于、关于x的方程的方程x2-(2k-1)x+(k-3)=0.试说明试说明无论无论k为任何实数为任何实数,总有两个不相等的实数根总有两个不相等的实数根. 4、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2+(2m1)x2=0的根的判别式的值等于的根的判别式的值等于4，则，则m= 。 一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程

14、的根与系数的关系：若若 ax2+bx+c=0 的两根为的两根为 x1、x2，则，则x1+x2=_；x1x2=_；以以x1、x2为根（二次项系数为为根（二次项系数为1）的）的一元二次方程为一元二次方程为_.x2- -(x1+x2)x+x1x2=0abac一元二次方程的根与系数：一元二次方程的根与系数：韦达定理：韦达定理：已知两数的和是已知两数的和是4,积是积是1，则此两数为，则此两数为 .拓展练习： 、已知方程、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反数，的两根互为相反数，则则m= 。 2、 已知方程已知方程x2+4x2m=0的一个根的一个根比另一比另一个根个根小小4，则，则= ；= ；m= .

15、3、已知方程、已知方程5x2+mx10=0的一根是的一根是5，求，求方程的另一根及方程的另一根及m的值。的值。 4、关于、关于x的方程的方程2x23x+m=0，当，当 时，时，方程有两个正数根；当方程有两个正数根；当m 时，方程有一时，方程有一个正根，一个负根；当个正根，一个负根；当m 时，方程有一时，方程有一个根为个根为0。 .) 1(,2的完全平方式是关于二次三项式为何值时xkxkkx的完全平方式。是关于）（时，当则有两个相等的实数根，）（解：若方程）（）（xxkxkkkkkkxkxxxkkx1122222212111012401,112xx.618.0251abac黄金比.1, 1xcb

16、xacab则设abc. 012xx即得解这个方程 ,.251x).,(251,25121舍去不合题意xx如图如图,点点c把线段把线段ab分成两条线段分成两条线段ac和和bc,如果如果 那么称线段那么称线段ab被点被点c黄金分割黄金分割(golden section),点点c叫叫做线段做线段ab的的黄金分割点黄金分割点,ac与与ab的比称为的比称为黄金比黄金比.,acbcabac列一元二次方程解应用题的步骤与列一元列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、验、答即审、设、列、解、验、答几何与方程 1.将一块正方形的铁皮四角剪去一

17、个边长为将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正方形的小正方形,做成一个无盖的盒子做成一个无盖的盒子.已知盒子的容已知盒子的容积是积是400cm3,求原铁皮的边长求原铁皮的边长. 快乐学习快乐学习得根据题意为设原正方形铁皮的边长解,:xcm.400) 8( 42x:解这个方程).,(2;1821舍去不合题意xx,100)8(2x,108x,108x.18:cm原正方形铁皮的边长为答w 2 .某果园有某果园有100棵桃树棵桃树,一棵桃树平均结一棵桃树平均结1000个桃子个桃子,现准现准备多种一些桃树以提高产量备多种一些桃树以提高产量.试验发现试验发现,每多种一棵桃树每多种一棵桃树,每每棵

18、棵桃树的产量就会减少棵棵桃树的产量就会减少2个个.如果要使产量增加如果要使产量增加15.2%,那那么应种多少棵桃树么应种多少棵桃树?开启 智慧经济效益与方程得根据题意棵设多种桃树解,:x.%2 .1511000100)121000)(100(xx. 0760040:2xx整理得得解这个方程,.380,2021xx.38020:棵棵或应多种桃树答三、二次三项式的因式分解三、二次三项式的因式分解2122()()0axbxca xxxxaxbxc12其中x、x 是方程的两根中的因式中的因式 千万不能忽略。千万不能忽略。2.在分解二次三项式在分解二次三项式cbxax2的因式时，可先用求根公式求出方程的

19、因式时，可先用求根公式求出方程02cbxax的两个根的两个根x1,x2然后然后,写成写成)(212xxxxacbxaxa例题讲解例题讲解例例1 把把8652 xx分解因式分解因式1014610196652)8(5466086522xxx的根是解：方程2,5421xx即：)2)(54(58652xxxx)2)(45(xx此步的目的是去掉括号内的分母练习: 如图如图1，a、b、c、d为矩形的四个顶点，为矩形的四个顶点，ab=16 cm，ad=6 cm，动点，动点p、q分别从点分别从点a、c同时同时出发，点出发，点p以以3 cm/s的速度向点的速度向点b移动，一直到达移动，一直到达b为止，点为止，点

20、q以以2 cm/s的速度向的速度向d移动移动. （1）p、q两点从出发开始到几秒时四边形两点从出发开始到几秒时四边形pbcq的面积为的面积为33 cm2？ （2）p、q两点从出发开始到几秒时，点两点从出发开始到几秒时，点p和点和点q的距离是的距离是10 cm？ 图图121, 0123.3, 302.112) 12(.2, 4.,. 9222或则的值为若分式则的一个根为若的解为方程则若答对的是测验中解答的填空题下面是李刚同学在一次xxxxdkkxxcxxxxbxxa（ ）c1、在矩形、在矩形abcd中，点中，点p从点从点a沿沿ab向向点点b以每秒以每秒2cm的速度移动，点的速度移动，点q从点从点

21、b开始沿开始沿bc向点向点c以每秒以每秒1cm的速度移动，的速度移动，ab=6cm，bc=4cm，若，若p、q两点分别两点分别从从a、b同时出发，问几秒后同时出发，问几秒后p、q两点两点之间的距离为之间的距离为 cm？22abcdpq例：已知实数例：已知实数a、b满足条件满足条件a2+4b2+2a-4b+2=0，你认为能够求出，你认为能够求出a、b的值吗？如的值吗？如果能，请求出果能，请求出a、b的值；如果不能，请说的值；如果不能，请说明理由。明理由。8、已知关于、已知关于x的方程的方程 ， a为何非负整数时，为何非负整数时， （1）方程只有一个实数根？）方程只有一个实数根？ （2）方程有两个

22、相等的实数根？）方程有两个相等的实数根？ （3）方程有两个不相等的实数根？）方程有两个不相等的实数根？0) 1() 1(2)2(2axaxa练一练： 1、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小的小正方形，再折起来做成一个无盖的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。已知铁皮的盒子。已知铁皮的长是宽的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方，求长方形铁皮的长与宽形铁皮的长与宽 。 2、一块长方形木板长、一块长方形木板长40cm，宽，宽30cm。在木板中间挖去。在木板中间挖去一个底边长为一个底边长为20cm

23、，高为，高为15cm的的 等宽等宽u形孔，已知剩下形孔，已知剩下的木板面积是原来面积的的木板面积是原来面积的 ，求挖去的，求挖去的u形孔的宽度。形孔的宽度。 655 5、已知关于、已知关于x x的方程的方程(m-3)x(m-3)x2 2+2x+m+2x+m2 2- -9=09=0有一个根是有一个根是0 0，试确定，试确定m m的值的值解：解：0是方程的解是方程的解代入得代入得m2-9=0 m=3经检验经检验 m=3都符合题意都符合题意 m=3.,0) 1(2) 1(,.1522并说明理由试判断三角形的形状实数根有两个相等的的方程若关于的三条边长是已知xcaxxbxabccba解：把方程化简，得解：把方程化简，得 (b+c)x2-2ax+(c-b)=0b2-4ac=(-2a)2-4(b+c)(c-b)=4a2-4(