1-4-次序统计量PPT课件

1、1 1.4 次序统计量及其分布次序统计量及其分布 一一 次序统计量次序统计量设设 nxxx,21是是从从总总体体 x x 中中抽抽取取的的一一个个样样本本，记记 nxxx,21为为样样本本的的一一个个观观测测值值，将将观观测测值值的的各各个个分分量量按按由由小小到到大大的的递递增增序序列列重重新新排排列列为为 (1)(2)( ).nxxx当当 nxxx,21取取值值为为 nxxx,21时时, ,定定义义( )kx取取值值为为( )(1,2, ),kxkn由由此此得得到到的的(1)(2)( )(,)nxxx称称为为样样本本 nxxx,21的的次次序序统统计计量量。 2显然有显然有 (1)(2)(

2、 )nxxx其其中中(1)1minii nxx 称称为为最最小小次次序序统统计计量量， 它它的的值值 (1)x是是样样本本值值中中最最小小的的一一个个；而而( )1maxnii nxx 称称为为最最大大次次序序统统计计量量，它它的的值值( )nx是是样样本本值值中中最最大大的的一一个个。 由由于于次次序序统统计计量量的的每每一一个个分分量量( )kx都都是是样样本本 nxxx,21的的函函数数，所所以以(1)(2)( ),nxxx也也都都是是随随机机变变量量。样样本本 nxxx,21是是相相互互独独立立的的，但但其其次次序序统统计计量量(1)(2)( )(,)nxxx一一般般不不是是独独立立的

3、的。 3定义定义 样本样本nxxx,21按由小到大的顺序重排为按由小到大的顺序重排为 (1)(2)( )nxxx 则称则称(1)(2)( )(,)nxxx为样本为样本（nxxx,21）的）的次序统计次序统计量量，( )kx称为样本的第称为样本的第 k 个次序统计量。个次序统计量。 定理定理 次序统计量是充分统计量。次序统计量是充分统计量。证证明明 当当给给定定(1)(1)( )( ),nnxxxx时时，由由于于nxxx,21独独立立同同分分布布， 所以所以 1(1)( )1(,)!niinp xxxxn此条件分布与总体分布无关，故次序统计量是充分统计量。此条件分布与总体分布无关，故次序统计量是

4、充分统计量。 4 nxxx,min 1)1( 事事实实上上 nnxxx,max 1)( 1111,minmax ),()2( nniiiixxx 1111,minmax ),()( knkniiiikxxx( )1 (,).knxxx是随机向量的函数., 2 , 1,21种种共共有有个个数数的的组组合合的的任任意意是是lnlclniii5( )1!( ) ( )1( )( ),1,2, .(1)!()!kkn kxnfxf xf xf x knknk特特别别，最最小小次次序序统统计计量量(1)x和和最最大大次次序序统统计计量量( )nx的的分分布布密密度度为为 (1)( )11( )1( )(

5、 ),( ) ( )( ).nnxnxfxnf xf xfxn f xf x612112!(),(,)0,nininnf yyyyf y yy其他7(1)(2)2(,)(1) ( )( )( ) ( ),( , )0,nxxn nf yf xf x f y xyfx yxy81. 表示表示“平均平均”的统计量：的统计量： 样本均值、中位数、众数样本均值、中位数、众数思考思考1. 甲同学听说，有个身高甲同学听说，有个身高 1.75 米的成年人在米的成年人在 平均水深为平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 这件事情是否是一个玩笑？这件事情是否是一个玩

6、笑？例例 关于关于平均值平均值的理解的理解 样本均值是人们采用最多的一种描述数据的方法，样本均值是人们采用最多的一种描述数据的方法， 它反映了一组数据整体上的一些信息，然而容易掩盖它反映了一组数据整体上的一些信息，然而容易掩盖一些极端的情况，一些极端的情况，所以有时候样本均值不一定合理所以有时候样本均值不一定合理 。9思考思考2. 一位统计学家把一只脚放进一位统计学家把一只脚放进 100 的开水里，的开水里，另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的意义上，我感觉很舒服。意义上，我感觉很舒服。10设设 （nxxx,21） 是是总总体体 x 中中

7、的的样样本本 ， (1)(2)( )(,)nxxx为为其其次次序序统统计计量量，则则样样本本中中位位数数定定义义为为 1()21()()2212nnnxnxxxn，奇，偶它的值为它的值为1()21()()2212nnnxnxxxn，奇，偶中位数定义中位数定义11样本中位数与样本均值一样是刻划样本位置特征的样本中位数与样本均值一样是刻划样本位置特征的量，而且样本中位数的计算方便并不受样本异常值量，而且样本中位数的计算方便并不受样本异常值的影响，所以有时比样本均值更有代表性。的影响，所以有时比样本均值更有代表性。 众数定义众数定义样本数据中出现次数最多的样本，例如：样本数据中出现次数最多的样本，例

8、如： 1 1，1 1，3 3，3 3，4 4，2 2，3 3，8 8 3 312(1). 中位数比样本均值更为稳健，当二者相差不大时中位数比样本均值更为稳健，当二者相差不大时 常采用样本均值表示数据平均，否则应该用中位数。常采用样本均值表示数据平均，否则应该用中位数。remark(2). 样本的众数适用于离散的总体样本的众数适用于离散的总体13样本极差样本极差定义为定义为 ( )(1)11maxmin,niii ni nrxxxx 它的值为它的值为 ( )(1)11maxmin,niii ni nrxxxx 样本极差与样本方差一样是反映样本值变化幅样本极差与样本方差一样是反映样本值变化幅度或离

9、散程度的数字特征，而且计算方便，所度或离散程度的数字特征，而且计算方便，所以在实际中有广泛的应用。以在实际中有广泛的应用。2. 2. 表示表示“变差变差”的统计量：的统计量： 样本方差样本方差( (或标准差或标准差) )、极差、极差14(1). 极差计算简单，但是不如样本标准差稳健。极差计算简单，但是不如样本标准差稳健。(2). 对于大多数单峰对称分布，标准差大约对于大多数单峰对称分布，标准差大约 等于极差的四分之一。等于极差的四分之一。(3). 大多数情况下，数据基本上落在大多数情况下，数据基本上落在“均值均值2个个 标准差标准差”的区间内，否则这个数据就被认为是的区间内，否则这个数据就被认

10、为是 异常的大异常的大或或异常的小异常的小。 在绝大多数情况下，一组正常的数据基本上在绝大多数情况下，一组正常的数据基本上 落在落在“均值均值3个标准差个标准差”的区间内。的区间内。remark15例例 从总体中抽取容量为从总体中抽取容量为6的样本，测得样本值为的样本，测得样本值为32， 65， 28， 35， 30， 29， 由小到大排列为由小到大排列为28， 29， 30， 32， 35， 65； 则样本中位数为：则样本中位数为： (3)(4)131;2xxx而样本均值为：而样本均值为： 61136.5;6iixx16样本均值样本均值x大于样本值大于样本值 6 6 个数中的个数中的 5 5

11、 个数，这个数，这是因为样本值是因为样本值 6565 比其它值大许多，可见样本均值比其它值大许多，可见样本均值对异常值或极端值较敏感，而样本中位数则不受异对异常值或极端值较敏感，而样本中位数则不受异常值影响，所以有时候估计总体均值用样本中位数常值影响，所以有时候估计总体均值用样本中位数比用样本均值效果更好。比用样本均值效果更好。 17例例 乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说，乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 公司平均月薪是公司平均月薪是 3000 元。一个月后乙同学得到元。一个月后乙同学得到 工资工资1000元，据了解，公司共有元，据了解，公司共有21人，和自己人，和自己 职位相同的业

12、务员共有职位相同的业务员共有 10 人，每人的月薪都是人，每人的月薪都是 1000 元。应该如何理解乙同学的遭遇元。应该如何理解乙同学的遭遇 ？ 总经理总经理 15, ,000 ；两个副总经理每人；两个副总经理每人 8, ,000 ；3 个部门经理每人个部门经理每人 4000；5 个财务等行政人员个财务等行政人员每人每人 2000；10 个业务员每人个业务员每人 1000 。 一共一共 21 人，每月支出工资人，每月支出工资 63, ,000。平均值平均值 3000，中位数，中位数 2000，众数，众数 1000，极差，极差 14, ,00018下面是某高速公路上发生的交通事故有关数据：下面是某高速公路上发生的交通事故有关数据：速度速度 km / h数量数量小于小