相似三角形常用辅助线

1、淮北市开渠中学O相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能 够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或得出等角，等边，从而为 证明三角形相似或进行相关的计算找到等 量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例题：如图，D是ZkABC的BC边上的点，BD： DC=2： 1,E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,解法1:过点D作C4的平行线交于点P,A解法1:过点D作CA的平行线交于点戶，则空=匹=1,FE AEBP BDTfdc:.PE=EF所以BE二5EF:.BE： EF=5： 1.BP=2PF=4EF, 人BDC解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，IkDC

2、解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q,解法3:过点E作BC的平行线交AC于点S,解法3:过点E作BC的平行线交AC于点S,ABDC解法4：过点E作AC的平行线交BC于点匚A解法4：过点EAC的平行线交于点T,DT = CT = -DC,2BE BT: BD=2DC,：.BT = -DC,2A2 2:.BE： EF=5：练习：如图，D是ZkABC的BC边上的点，BD： DC二2： 1,E是AD的中点， 连结BE并延长交AC于F,求AF： CF的值.來解法1:过点D作CA的平行线交BF于点P,A解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q,A解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S,ABDC解法4

3、：过点E作AC的平行线交BC于点T,ABD T CAF： CF=2： 3.相交于F,求证:作平行线例1如图，的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE, DE延长线与BC延长线BF _ BDCFCE证明：过点C作CG/FD交AB于G小结：本题关键在于AD=AE这个条件怎 样使用。由这道题还可以增加一种证明线 段相等的方法：相似、成比例。例2.如图，ZXABC中，AB<AC,在AB、AC上分别截取BD=CE, DE, BC的延长线 相交于点F,证明：AB-DF=AC-EFo分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角 形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形 相似，运

4、用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加 平行线。方法一：过E作EM/AB,交BC于点M，贝V AEMC-AABC （两角对应相等，两三角 形相似）。FM FC竺二竺即 EMAC=ABEC,AB ACAB EM' AC EC同理可得也1/尸 ADBFEF EM:.=，DF BD“ EM EM又O BD = EC，：. =EC BD（EM为和可比）BDAB EF， /.=,AC DF:.ABDF = ACEF方法二：如图，过D作DN/EC交BC于NANG (善烹创)NG NG OH I Qg4G NG 工B JyrNq HOTVlg 叵NG s I s(gmMwlss Kv"

5、ov. § 1、在AABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD, DE交AB于F。求证：EFXBC=ACXDFABD由DG BC可得 ADG和厶ACB相似,DG ADDG 二 BC AD "ACDF _ BCEFCBC ACAEFXBC=ACXDF1、证明：过D作DG / BC交AB于G, 则厶DFG和厶EFB相似，ADG _DFBE _ EFVBE=AD,ADG DF1ad1ef1x已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E,交BA的延长线于F,求证:F利用比例式够造平行线，通 过中间比得结论利用中点”倍长中线”的思 想平移线段EC,使得所得四条BC

6、本题的重点在于如何 解决“2”倍的问题;让它归属一条线段， 找到这一线段2倍是哪 一线段。已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC, 高，求证：BC2=2AC CD亠型 o y° o已知：从直角三角形ABC的直角顶点A向斜 边BC引垂线，垂足为D,边AC的中点为E,直 线ED与边AB的延长线交于F,求证：AB:AC=DF:AF利用前两题的思想方 法，借助中点构造中 位线，利用平行与2 倍关系的结论，证明 所得结论找到后以比例式所 在三角形与哪个三厂 角形相似练习1、如图，ZABC中，AD是BC边上中线，E是 AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点.注意观察图形的特殊性， 有些像全等

7、中，旋转的 基本图形，因此可以没 有相互关系的成比例的 四条线段转化为成比例 的四条线段（通过全等 找相等的线段） 关键是要把成比例线段 放在两个三角形中O o2、如图，平行四边形ABCD中，E为AB边中点，点F在AD边上，且AF： FD=1： 2, EF交 AC于G,求竺的值GC1v 在AABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD 上一点，过c作CFIIAB,延长BP交AC于E,交 CF于F，求证：BP2=PE PF在同一直线上的三条线段成 比例，可以通过中间比转化,也可以通过线段相等，把共 线的线段转化为两个三角形 中的线段，通过相似证明。另外在证明等积式时要先转 化为比例式观察相似关系，

8、 有利于证明“1、如图，梯形ABCD中，ADllBC, AC、BD 交于O点，BA、CD的延长线交于E点，连结EO并延长分别交AD、BC于N、M求证：BM=CME1v如图，AD是ZBAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：ED2=EB ECAB D CE2、如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点,EF丄 EC交AB于F,连接FC(AB>AE), 求证：AAEF AECFO2、已知，在AABC中，若AB=BC,zB=9025AD为BC边的中线，过B作直线BP丄AD于P交AC于E,求证：AE=2EC ;zAEB= zCEDBDC作垂线 3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长 线引垂线

9、CE和CF,垂足分别为E、F,求 证：ABAE + ADAF = AC2B EF又 AADN- ZFAN ADAF ACAD AF AC AN 7明：过B作BM丄AC于M，过D作DN丄AC于N ; AABM MCEAM ABAE ACABAE = ACA(1) + (2)AB AE+AD AF = AC AM + AC-AN ACAM + AN)AADNABCM乂 AN=CMAB AE + AD AF = AC(AM + CM) = AC2 2、中，AC=BC, P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN丄CP,交AC、BC于M、N,求证：PA:PB=CM :CNpZQCN +

10、 ZQNC = 90°2、证明：过P作PE丄AC于E, PF丄CB于F， 则CEPF为矩形PF /.ZA = ZB = 45°RtAAEP s RtAPFBAP:PB = PE:PFJ EC=PF (1)在ACNMPA PE _ PE PBPFECFCP 和中：CP丄MN于Q 又 ZQCN + ZQCM = 90°ZMCQ = ZCNQRtAPEC - RtAMCNEP _ ECCMCNEP CM即 =(2)EC CN由(1) (2)得PA _ CMPB C7VZQCN + ZQNC = 90°三、作延长线例5如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,若 z

11、BCD的平分线CH丄AB于点H, BH=3AH, 且四边形AHCD的面积为21,求AHBC的 面积。貝/ 分析：因为问题涉及四边形AHCD,yAD所以可构造相似三角形。把问题转化/为相似三角形的面积比而加以解决。哄、 解：延长BA、CD交于点PCH丄AB, CD平分zBCDCB=CP,且BH二PHBH=3AH.*.PA： AB=1: 2PA： PB=1: 3/ADllBC/.APAD-APBCS嘶=1：9 o Q PCHIs2 /pbc二 S四边AHCD - 2: 7=54=54 S四边形AHCD _ 21 S hpad = 6PBC=541c S HHBC "石S咖=27例6如图，

12、RtABC中，CD为斜边AB上的高， E为CD的中点，AE的延长线交BC于F,FGAB于G，求证：FG=CFBFFE解析：欲证式即匹二工由“三点定形”，ABFGBF fg与ACFG会相似吗？显然不可能。（因为ABFG 为RtA）,但由E为CD的中点，.可设法构造一 个与ABFG相似的三角形来求解。则 匚匹=史AE ED EC不唾坷与掘因蒔緩猛黑R碍ED ECcf fhFGFH=CFBFFG BFcEDGFG=FH FG2=CFBF四、作中线例7如图，中，AB丄AC, AE丄BC于E, D在AC边上，若BD=DC=ECJ 求AC。AE MRtAAEG RtABAC解：取BC的中点M，连AMJ A

13、B 丄 AC AM=CM Z1=ZC 又 BD二DCZDBC = ZDCB Z1 = ZC = ZDBC AMAG ADBCMC AC DCBC 1 又 DC=1 MC= - BCac=mc-bc = Lbc2(I)DC 2KRtAAEG RtABAC又 EC=1 AC2 =CE BC 二 Eg由(1) (2)得，AC = -AC4 2:AC = V2小结：利用等腰三角形有公共 底角，则这两个三角形相似， 取BC中点M，构造AMACRtAAEG RtABACRtAAEG RtABACADBC相似是解题关键RtAAEG RtABAC3如图，AABC中，AB = AC, BD1AC,那么BC1 =

14、 2CACD吗？试说明理由？（用三种解法）B E C方法一：如图（1）,设BC中点为E,连接AE。AB = AC => AE1BC => ZAEC = ZBDC = 90°BE = CE => ABDC AAECBCACCDCEzc = zc= BCCE = ACCDBC2 =2C4GDCE-BC2、DE = DCBD = BD方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC在 ZXBED 与 ABCD 中,BD1CE => ZBDE = ZBDC = 90° => ABED = ABCD => ZBEC = ZCAB = AC ZABC = ZCAABC ABCE =