整理21导数的概念

1、第一节导数的概念教学目的：1.使学生掌握导数定义的两种形式；左、右导数的概念；2. 使学生掌握导数几何意义，会求曲线的切线方程；3. 使学生理解函数的可导性与连续性之间的关系。教学重点:导数的定义教学过程：一、引例1速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为s = s（t）（ t表示时刻），又设当t为t0时刻时，位置在s=s（t0）处，问：质点在t = t0时刻的瞬时速度是多少？为此，可取to近邻的时刻t， t to，也可取t : to，在由to到t这一段时间内，质点的平均速度为S（t）7t0）,显然当t与to越近，用S（t）S（t0）代替to的瞬时速度的t -tot -to效果越佳，特别地

2、，当t > to时，S（t）S（to），常数Vo，那么Vo必为to点的瞬时速 t -to度，此时，.S（t）S（to）vo = lim t " t - to2.切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线， 它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P的切线是割线PQ当Q沿该曲线无限地接近于P点的极限位置。设曲线方程为y = f(x)，设P点的坐标为p(xo,y°)，动点Q的坐标为Q(x, y),要求出曲线在P点的切线，只须求出P点切线的斜率k。由上知，k恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求得PQ的斜率为：f(X)f(Xo)；因此，当P

3、> Q时，其X_Xo极限存在的话，其值就是k，即 k = limxtof (x) - f(Xo)x Xo若设为切线的倾角，则有k =tan>二、导数的定义综合以上几个问题，它们均归纳为这一极限lim f(X)-f(X0)(其中x - X。为自ToX X。变量X在Xo的增量，f(x) - f(x。)为相应的因变量的增量)，若该极限存在，我们称 它为y = f (x)在Xo点的导数。定义：设y = f (x)在X。点的某邻域内有定义，且当自变量在xo点有一增量 x(xo 议仍在该邻域中)时，函数相应地有增量勺，若增量比极限：|代一即lim f (x)- f(x°)存在，就称其

4、值为y= f (x)在x=xo点的导数，记为f(X。), x "x -x0-dy |或 dfx-xn 或 x-x。dx1dx即f"(xo) = limf(x0)，这时，也称y=f(x)在x = x。点可导或有导数，或导数x°X X。存在。注1:导数的常见形式还有:f（X。. ：x） - f（X。）f（X。）呷xf（x。 h） - f（x。）f （x。）MPhf（x。）- f （x。-h）“如h2:空反映的是曲线在xx。, x上的平均变化率，而f (x)二dy XN是在点X。的变dx化率，它反映了函数y二f (x)随Xr X。而变化的快慢程度。3 :这里巴XN与埜X

5、N中的史与竺是一个整体记号，而不能视为分子dy或df dxdxdx dx与分母dx，待到后面再讨论。4:若极限lim y即lim丄fX°)不存在，就称 厂f (x)在x = x。点不可导。 3 人XT。X_X。特别地，若1啊乡二：，也可称y二f (X)在X =x。的导数为二，因为此时y二f (X)在X0点的切线存在，它是垂直于X轴的直线X = X。若y二f(x)在开区间I内的每一点处均可导，就称y二f(x)在I内可导，且对x I，均有一导数值f (x)，这时就构造了一新的函数，称之为y二f (x)在I内的导 函数，记为y = f (x)，或y，业，迪等。dx dx事实上，y =呱心：

6、x)_f(x)或 y =lim f(X h)f(x)注5:上两式中，X为I内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而与h是变量。但在导函数中,X是变量。6: y 二 f (x)在 x =xo的导数f (xo)就是导函数y = f (x)在x = xo点的值，不要认7:为方便起见，导函数就称为导数，而f (Xo)是在Xo点的导数。【例1】证明:设f=o，证明欲limQ-因为 f(x) -f(°) _ f(x) xox那么 A 二 f (O)。=limX of(x)- f(o)_ A x o所以 A 二 f (0)。【例2】若f (x)在Xo点可导，问:f (Xo h) - f (X

7、o - h) ？解:hf (Xo h) - f(X。-h) f (Xo h) - f(X。)f(X。)- f(X。- h)=!hh量二 x，有二 y _ o- y = O = lim。一y = 0，即(c) =0。r f (Xo) f(Xo) = 2 f (Xo)。反过来，亦证明：込卫> f (Xo)。2h三、求导数举例【例3】求函数f(x)二c ( c为常数)的导数。解：在f(X) P中，不论X取何值，起其函数值总为C,所以，对应于自变量的增注：这里是指f(x)二c在任一点的导数均为0，即导函数为0【例4】求f(x)=xn (n为正整数)在x=a点的导数。解：nnf (a) = lim

8、 = lim (xax 亠亠 a x a ) = na即t x _a7nf (a)二 na ，亦即(xn) I厂nanJ，若将a视为任一点，并用x代换，即得f(x) = (xn)' nxn注：更一般地,f (x)二x为常数)的导数为(x)=七心，由此可见, 11 1 1(一 x) =2“G7 D【例5】 求f (x)二sin x在x = a点的导数。解:”sin x sin af (a) = limcos ax即(sin x) xh 二 cosa同理：若视a为任意值，并用x代换，使得f (x)=cosx，即(sin x)二cosx注：同理可证：(cosx)二-sin x。【例6】 求f

9、(x)=ax(a 0,M)的导数。解:f(x)jim f(x hKximgT 兰 ThhThhx - a 1二 a limh )0h令-=ah 4二 aP x四 ioga(1 + 0) 一a叫1=aloga(V )'1xxa In a logae1x所以（ax）二 axin a 。注：特别地，（ex）'ex【例7】 求f（x）=logax （a0,a=1）的导数。解:f （x h） - f（X）hloga（x h） -logaXhf（X）二帆J logae xxln a0特别：（l rx） = 1 0X注1 ：等最后讲到反函数求导时，可将logaX作为ax的反函数来求导;2 :

10、一般地说，求导有四步：（1）给出x ；（2）算出y ；（3）求增量比亠；Ax（4 ）求极限。四、左、右导数f（X）- f（X。）X Xo存在,就称其值为f （X）在X=Xo点的右（左）导数，并记为f（X。），f（X。h） - f（X。）h二 limx jXo "0f（x） - f（X。）X X。f_（x。）=lim f（x。h） f（x。）h。4hlimX x。-。f（X）- f（X。）X X。定理1 : f(x)在X =X0点可导二f(x)在X=X0点的左导数和右导数均存在，且相等，即【例8】 讨论f(x)二x在x = 0处的导数。f(0) = 0解：f (x)= <f(X)

11、- f (0)X ,f . (0) = limlim 1x_0 书x_0T占 Xf(x) f(0)-xf_(0) limlim1-x _0 TX因为f(x)的左导数为-1，右导数为1,所以在x = 0点不可导;注1 :例8也说明左可导又右可导，也不能保证可导;2 :左、右导数统称为单侧导数;3 :若f (x)在(a,b)内可导，且在 x=a点右可导，在 x = b点左可导，即f.(a), f_(b)存在，就称f (x)在a, b上可导。四、导数的几何意义由前面的讨论知：函数y二f(x)在x = x°的导数f (X0)就是该曲线在x = x°点处的切线斜率k，即k = f (

12、X0)，或(X0) =tan为切线的倾角。从而，得切线 nTi方程为y - y° = f (x°)(x - x°)。若f (x°) v，或一 ：切线方程为：22x =X0。过切点P(x°,y0)，且与P点切线垂直的直线称为y = f (x)在P°点的法线。1如果f(X。)= 0，法线的斜率为 ，此时，法线的方程为： f (X0)1y-y°(x-x°)。f (X0)如果f (Xo)=O，法线方程为X =X°【例9】 求曲线y =x3在点P(Xo, yo)处的切线与法线方程。解：由于(x3)(0=3x2 x&

13、#177; =3x。2，所以y = x3在P(xo,yo)处的切线方程为:2y - yo =3xo (x - x°)1当Xo =0时，法线方程为：y-yo2(x-Xo)3xo当Xo =o时，法线方程为：x=o。五、函数的可导性与连续性之间的关系定理2 :如果函数y二f (x)在x =xo点可导，那么在该点必连续。证明：由条件知：ljmo-X = f仏)是存在的，其中=x-Xo门y = f (x) - f (Xo)， 由§、5定理1(i)= 学=(X。)乜 (g为无穷小)二 3 = "(Xo)也x+a也x显然当x > o时，有，yo，所以由§1、9定

14、义1 "，即得函数y二f (x)在X =Xo点连续，证毕注1 :本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。反例：y = x在x=o点连续，但不可导。exx 兰 o【例1o】 求常数a,b使得f(x) =在x = o点可导。.ax + b x < o解：若使f(x)在x=o点可导，必使之连续，故！im.f(x) = Pm_f(x) = f(o) 二 eo = a o b 二 b =1。又若使f(x)在x=0点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右 导数是存在的，且f _(0) = lim (ax b) -e = a0 ,eWo所以若有a =1，则f_(0) =(0)，此时f

15、(x)在x=O点可导，所以所求常数为导数的概念一、导数概念的引入问题I:瞬时速度问题。直线运动方程s=s(t)t°-t时间间隔的平均速度-甘Xto时刻的瞬时速度v(to)S(t) -S(to)问题H:曲线切线的斜率。y 二 f(x)kMoM 二 tan 二 MNf(Xo . ：x)f(Xo )M0N=ta n> =kM0Tf (Xo . ：x) - f (Xo)Ax、导数的定义定义1：设函数y二f(x)在点Xo的某个邻域内有定义，当自变量在Xo取得增量应地函数y取得的增量Ay二f (Xo * =x) - f (Xo)，若极限lim存在，则称函数y时，相f (x)在点Xo处可导，

16、称这个极限为y二f (x)在点Xo处的导数，记为f'(xo)，y'lxo，乎，电凶“dxdx即佗)呷子 imf(xo"f(xo)定义2 (导函数)f'(x)二lim.oXf(x X)- f (X)导函数一导数(值)f'(X。)= f'(x) lx求导法则、函数的线性组合、积、商的求导法则1 若 f(x)=5(x)：v(x)，贝y f'(x)=u'(x):v'(x):厂为常数2 若 f(x) =u(x) v(x)，贝y f'(x) =u'(x)v(x)u(x)v'(x)推广：(uvw)' =

17、 u'vw uv'w uvw'3 .若上，、u(x)f (x), v(x) = 0 ,v(x)f'(x)u'(x)v(x) u(x)v'(x)-v(x)2例1 .求下列函数的导数(1)y =2x4 -3x3 7x _8 ；(2)y=2x x2x x x ;(3)xy =e (3sin x 4cosx)；(4)si ntds,s = tcost，求|tdtt 二；例 2 .设 y = ta n x，求 y '例 3 .设 y - secx，求 y '三、反函数的导数x =(y)在 I y单调、连续 n反函数y = f (x)在I x单调、连续。y = f (x：x) - f (x) = 0 ,lx lx1'(y)例4 .求反正弦函数 目二arcsin x的导数。解 y = a