学而思高中完整讲义直线与圆锥曲线板块二直线与双曲线学生版

1、板块二.直线与双曲线1椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程：，焦点是，且，焦点是，且3椭圆的几何性质（用标准方程研究）：范围：，；对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆4直线：与圆锥曲线

2、：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去）得：若，相交；相离；相切若，得到一个一次方程：为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；为抛物线，则与抛物线的对称轴平行因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离

3、公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题典例分析【例1】 若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则的取值范围是_【例2】 过双曲线的右焦点直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有_条 【例3】 过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

4、_【例4】 直线与双曲线相交于两点、，则=_【例5】 若直线与双曲线没有公共点，求的取值范围【例6】 若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的的值【例7】 若直线与双曲线有两个相异公共点，求的取值范围【例8】 直线与双曲线的一支有两个相异公共点，求的取值范围【例9】 若直线与双曲线的两支各有一个公共点，求的取值范围【例10】 若直线与双曲线的右支有两个相异公共点，求的取值范围【例11】 已知不论取何实数，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围【例12】 直线与双曲线交于、两点当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以为直径的圆过坐标原点？【例13】 已知直线与双曲线相交于两个不同点、求

5、的取值范围；若轴上的点到、两点的距离相等，求的值【例14】 已知直线与双曲线，记双曲线的右顶点为，是否存在实数，使得直线与双曲线的右支交于两点，且，若存在，求出值：若不存在，请说明理由【例15】 已知点，动点满足条件，记动点的轨迹为求的方程；若、是曲线上不同的两点，是坐标原点，求的最小值【例16】 直线与双曲线的右支交不同的，两点，求实数取值范围；是否存在实数，使得以线段直径的圆经过双曲线的右焦点若存在，求出值：若不存在，请说明理由【例17】 双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为求双曲线的方程；设直线：与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点【例18】 已知双曲线的中心在原

6、点，焦点在轴上，离心率为，过其右焦点且倾斜角为的直线被双曲线截得的弦的长为求此双曲线的方程；若直线与该双曲线交于两个不同点、，且以线段为直径的圆过原点，求定点到直线的距离的最大值，并求此时直线的方程_ / / / / / / / / / / / / / / / / 密 封 装 订 线 / / / / / / / / / / / / / / / / 密 封 线 内 不 要 答 题 【例19】 在中，已知、，动点满足求动点的轨迹方程；设点，过点作直线垂直，且与直线交于点，试在轴上确定一点，使得；在的条件下，设点关于轴的对称点为，求的值【例20】 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为求双曲线的

7、方程；若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围【例21】 已知双曲线，设过点的直线的方向向量 当直线与双曲线的一条渐近线平行时，求直线的方程及与的距离；证明：当>时，在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为【例22】 已知双曲线的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为求双曲线的方程； 如图，是双曲线上一点，两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围【例23】 已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率求双曲线c的标准方程及其渐近线方程；如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交与、两点，求的面积【例24】 已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为，轨迹与轴的交点为求轨迹的方程；设直线过点且与轨迹有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，若，证明直线过定点，并求出这个定点的坐标【例25】 已知点为双曲线（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过 作右准线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于 求线段的中点的轨迹的方程；设轨迹与轴交于、两点，在上任取一点，直线，分别交轴于两点求证：