线性代数重要知识点及典型例题答案

1、 线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和 （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。（转置行列式） 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 行列式具有分行（列）可加性 将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式、代数余子式 定理：行列式中某一行的元素与另

2、一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解： 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D等于零 特殊行列式：转置行列式：对称行列式:反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零三线性行列式: 方法：用把化为零，。化为三角形行列式上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、 第二章 矩阵 矩阵的概念：（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律 数乘-分配、结合律 乘法

3、注意什么时候有意义 一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置 (反序定理) 方幂： 几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、 AB都是n阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数（若） 单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若） 对称矩阵 反对称矩阵 阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素 逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的， (非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵) 初等变换1、交换两行

4、（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A可逆，则满秩 若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B） 初等变换不改变矩阵的秩 求法：1定义2转化为标准式或阶梯形 矩阵与行列式的联系与区别： 都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式 逆矩阵注：AB=BA=I则A与B一定是方阵 BA=AB=I则A与B一定互逆； 不是

5、所有的方阵都存在逆矩阵；若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律： 1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且 2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且 3、可逆矩阵A的转置也是可逆的，且 4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且 但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但A为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。 5、若A可逆，则伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵： （代数余子式）特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆） 1、分块矩阵 则 2、准对角矩阵， 则 3、 4、（A可逆） 5、 6、（A可逆） 7、 8、判断矩阵是否可逆

6、：充要条件是，此时求逆矩阵的方法：定义法伴随矩阵法初等变换法 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘） 第3章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵简化阶梯型矩阵 r(AB)=r(B)=r 当r=n时，有唯一解；当时，有无穷多解 r(AB)r(B)，无解 齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数，一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=

7、未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示（加法数乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系: 线性组合或线性表示 向量组间的线性相关（无）：定义向量组的秩：极大无关组（定义P188） 定理：如果是向量组的线性无关的部分组，则它是 极大无关组的充要条件是：中的每一个向量都可由线性表出。 秩:极大无关组中所含的向量个数。 定理：设A为m*n矩阵，则的充要条件是：A的列（行）秩为r。现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量，若则是线性组合 单位向

8、量组 任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合 任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注： n个n维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量可由线性表示的充要条件是 判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设，求（适合维数低的）2、 向量间关系法：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、 分量法（n个m维向量组）：线性相关（充要） 线性无关（充要） 推论当m=n时，相关，则；无关，则 当m<n时，线性相关推广：若向量组线性无关，则当s为奇数时

9、，向量组 也线性无关；当s为偶数时，向量组也线性相关。 定理：如果向量组线性相关，则向量可由向量组线性表出，且 表示法唯一的充分必要条件是线性无关。极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I）解的结构：解为 （I）的两个解的和仍是它的解； （I）解的任意倍数还是它的解； （I）解的线性组合也是它的解，是任意常数。非齐次线性方程组（II）解的结构：解为 （II）的两个解的差仍是它的解； 若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX

10、=O的一个解，则u+v是（II）的一个解。定理： 如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。 若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是（II）的全部解。第4章 向量空间 向量的内积 实向量定义：（，）=性质：非负性、对称性、线性性 (,k)=k(,); (k,k)=(,); (+,)=(,)+(,)+(,)+(,); ,向量的长度 的充要条件是=0；是单位向量的充要条件是（，）=1单位化向量的夹角正交向量：是正交向量的充要条件是（，）=0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：阶矩阵 性质：1、若A为正交

11、矩阵，则可逆，且，且也是正交矩阵；、若A为正交矩阵，则；、若A、为同阶正交矩阵，则也是正交矩阵；、阶矩阵（）是正交矩阵的充要条件是的列（行）向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量 A是N阶方阵，若数使AX=X，即（I-A）=0有非零解，则称为A的一 个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值的特征向量。 |A|= 注： 1、AX=X 2、求特征值、特征向量的方法 求 将代入（I-A）X=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的） 特殊：的特征向量为任意N阶非零向量或 4、特征值： 若是A的特征值 则- 则- 则- 若=A则-=0或

12、1 若=I则-=-1或1 若=O则-=0 迹tr(A )：迹（A）= 性质： 1、N阶方阵可逆的充要条件是A的特征值全是非零的 2、A与有相同的特征值 3、N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关 4、5、P281 相似矩阵定义P283：A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵P，满足，则矩阵A与B 相似，记作AB性质1、自身性：AA,P=I 2、对称性：若AB则BA 3、传递性：若AB、BC则AC - - 4、若AB，则A与B同（不）可逆 5、若AB，则 两边同取逆， 6、若AB，则它们有相同的特征值。 （特征值相同的矩阵不一定相似） 7、若AB，则 初等变换不改变矩阵的秩 例子：则 A=O

13、A=I A=矩阵对角化定理：N阶矩阵A与N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有N个线性无关的特征向量注：1、P与中的顺序一致 2、A,则与P不是唯一的推论：若n阶方阵A有n个互异的特征值，则 （P281）定理：n阶方阵的充要条件是对于每一个重特征根，都有 注：三角形矩阵、数量矩阵的特征值为主对角线。约当形矩阵 约当块：形如的n阶矩阵称为n阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵（是约当块）称为约当形矩阵。定理：任何矩阵A都相似于一个约当形矩阵，即存在n阶可逆矩阵。第六章 二次型二次型与对称矩阵 只含有二次项的n元多项式f()称为一个n元二次型，简称二次型。 标准型：形如 的二次型，

14、称为标准型。 规范型：形如 的二次型，称为规范型。线性变换矩阵的合同：设AB是n阶方阵，若存在一个n阶可逆矩阵C，使得 则称A与B是合同的，记作A B。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项） 第一章 行列式一行列式的定义和性质1. 余子式和代数余子式的定义例1行列式第二行第一列元素的代数余子式（）ABCD测试点 余子式和代数余子式的概念解析 ,答案 B2行列式按一行或一列展开的公式1）2）例2 设某阶行列式的第二行元素分别为对应的余子式分别为则此行列式的值为 .测试点 行列式按行(列)展开的定理解 例3 已知行列式的第一列的元素为，第二

15、列元素的代数余子式为2,3,4,x 问 .测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.解 因第一列的元素为，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故所以3行列式的性质1）2）用数乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行列式的倍.推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.例4 已知，那么（ ）A.B.C.D. 测试点 行列式的性质解析 答案 B例5设行列式=1，=

16、2，则=（）ABC1D测试点 行列式的性质解 故应选 D答案 D二行列式的计算1二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式例6求4阶行列式的值.测试点 行列式的计算解 例7计算3阶行列式 解 例8 计算行列式：测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解 例9计算行列式 测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算解例10计算行列式解 例11设问（

17、1）中，项的系数？（2）方程有几个根？试写出所有的根。测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行(列)展开的定理.解（1）项的系数(2)因为所以方程有三个根:第二章 矩阵一、矩阵的概念1.要弄清矩阵与行列式的区别2.两个矩阵相等的概念3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1 矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件例1设矩阵,， ，则下列矩阵运算中有意义的是（）ABCD测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件答案: B例2设矩阵， ，则 =_.测试点: 矩阵运算的定义解 .例3设矩阵， ，则_.测试点: 矩阵运算的定义解 2矩阵运算的性质比较矩阵运算（

18、包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点. (如果，可能例如都不为零，但.3转置 对称阵和反对称阵 1）转置的性质2）若，则称为对称（反对称）阵例4矩阵为同阶方阵，则=（）ABCD答案: B例5设令,试求.测试点 矩阵乘法的一个常用技巧解 因为,所以 答案 例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）ABCD解析 故为对称阵. 故为反对称阵. 故为对称阵.同理也为对称阵.答案 B例7已知矩阵,为2阶单位矩阵,令求测试点 方阵多项式的概念;4. 方阵的

19、行列式的性质例7设为n阶方阵，为实数，则=（）ABCD答案: C例8矩阵，则行列式_.解析 答案 5.逆矩阵1）方阵可逆(也称非异，满秩)的充分必要条件是.当可逆时，.其中方阵的伴随阵的定义。特别 当时，重要公式； 与的关系2）重要结论：若n阶方阵满足，则都可逆，且.3）逆矩阵的性质：;当时，；;.4）消去律：设方阵可逆，且，则必有.（若不知可逆，仅知结论不一定成立。）6分快矩阵矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如；分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置准对角阵的逆矩阵： 如果 都是可逆阵，则例9 二阶矩阵，则（）ABCD测试点 伴随矩阵的定义,二阶方阵的

20、伴随阵答案: A例10 三阶阵，则= _.测试点 重要公式 .答案例11 ，则_.解 例12 设为2阶可逆矩阵，且已知，则 =（）ABCD测试点 逆矩阵的性质解 由 ,所以 故答案 D例13设求.测试点 求逆矩阵的方法解 所以注意 一定要验算例14 已知则_。测试点 关于逆矩阵的重要推论若都是阶矩阵，且满足则都可逆，且解 由得，即，即 ，故 答案 例15设是n阶方阵，且，证明可逆.测试点 若则都可逆,且证 因为,即,所以故可逆,且.例16设阶方阵满足，其中为正整数，证明可逆，且分析 只要检查即可证 因为 .故 三、矩阵的初等变换和初等矩阵1初等变换的定义和性质称矩阵的下列三种变换为初等行变换：

21、（1）两行互换；（2）某一行乘一个非零的数；（3）某一行的倍加到另一行上。类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换.方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵化为标准形，其中为矩阵的秩.如果矩阵经过有限次的初等变换变成则称矩阵与等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形.2.初等矩阵的定义和性质1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵.2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系3)对任意阶矩阵，总存在一系列阶初等阵和一系列

22、阶初等阵使得 4)矩阵阶与等价的充分必要条件是存在一系列阶初等阵和一系列阶初等阵使得 例17 下列矩阵中，是初等矩阵的为（）ABCD 测试点 初等矩阵的定义和性质解析C.是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。答案 C例18设三阶矩阵,若存在初等矩阵,使得则 【 】A. B. C. D.测试点 矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系答案 B 四、矩阵的阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法1 矩阵的阶子式的概念2 矩阵秩的概念 定义矩阵的秩为0，对于非零矩阵，如果有一个阶子式不等于而所有的阶子式（如果有的话）都等于则称矩阵的秩为.显然阶可逆矩阵的秩等于，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩

23、等于其非零行的个数.3. 等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）;从而矩阵左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个同形矩阵只要秩相等，则二者必等价.4.求矩阵秩的方法 例19设矩阵，则中（）A所有2阶子式都不为零B所有2阶子式都为零C所有3阶子式都不为零D存在一个3阶子式不为零测试点 矩阵的阶子式的概念.答案 D例20设矩阵，矩阵，则矩阵的秩 =_.测试点 矩阵秩的概念解 答案 例21设矩阵，问a为何值时，（1）秩；（2）秩.测试点 求矩阵秩的方法解 所以 当时, 秩;当时, 秩例22设为m×n矩阵，是n阶可逆矩阵，矩阵的秩为，则矩阵的秩为_.测试点 用可逆矩阵左(右)乘任意矩阵,

24、则的秩不变.答案 例23设阶方阵的秩为，则与等价的矩阵为（）ABCD答案 B测试点 矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价.解 因为A,C,D的矩阵的秩都为，B的矩阵的秩等于.故答案应为B.五、矩阵方程的标准形及解的公式例24设矩阵， ，求矩阵方程的解.测试点 解矩阵方程的方法解 验算!例25设均为3阶矩阵,为3阶单位矩阵,且满足:.若已知求矩阵.测试点 解矩阵方程的方法解 因为，故从而 ，又显然可逆，应用消去律得 .验算 所以确有 例26已知矩阵满足方程，求。测试点 求矩阵方程的解解 由 得故 其中所以 验算第三章 向量空间一、维向量线性运算的定义和性质;

25、例1已知其中，则 _.测试点 维向量线性运算的定义和性质解 因为,所以 故 (请验算)答案 .例2设向量则由线性表出的表示式为_.测试点 向量由向量组线性表示;组合系数的求法解 考虑 该线性方程组的增广矩阵所以 答案 (验算!)二、维向量组的线性相关性1向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得,则称向量组线性相关，否则，即如果，必有，则称向量组线性无关.2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.例3设向量组线性相关，则必可推出（）A中至

26、少有一个向量为零向量B中至少有两个向量成比例C中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合测试点 向量组线性相关的概念答案 C例4向量组线性无关的充分条件是A. 都不是零向量B. 中任意两个向量都不成比例C. 中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合D. 中任意个向量都线性无关测试点 向量组线性相关的概念; 充分条件;必要条件;充分必要条件.解 都不是零向量,但线性相关. 中任意两个向量都不成比例,且其中任意个向量都线性无关,但线性相关.故A,B,D都不正确.答案 C例5.设向量组线性无关，证明向量组也线性无关.测试点 向量组线性无关的定义; 证

27、设 因为 则 即 因为线性无关,故,所以只能.这表明若,必有.据向量组线性无关的定义,知也线性无关例6.若向量组线性无关,则可能的取值应满足 .测试点 个维向量线性无关相应的行列式;解所以 且.答案 且.2. 关于线性相关的几个定理1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.2) 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.(部分相关,则整体相关;或整体无关,则部分无关)3) 若向量组线性无关,则接长向量组 必线性无关.3判断向量组线性相关性的方法1)一个向量线性相关； 2)含有零向量的向量组必线性相关；3)向量个数向量维数时，n维向量组线性相关. 4)向量个数

28、>向量维数时, 向量组必线性相关；5)部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；7)向量组线性无关向量组的秩所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩<所含向量的个数;8)向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组有（没有）非零解.例7.设维向量组线性无关,则A. 组中减少任意一个向量后仍线性无关B. 组中增加任意一个向量后仍线性无关C. 存在不全为零的数,使D. 组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出解析 因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向量后仍线

29、性无关答案 A例8设向量，下列命题中正确的是（）A若线性相关，则必有线性相关B若线性无关，则必有线性无关C若线性相关，则必有线性无关D若线性无关，则必有线性相关答案 B例9.设向量组线性无关,而向量组线性相关.证明:向量必可表为的线性组合.测试点 关于线性相关性的几个定理证1因为线性相关，故线性相关，又因为线性无关,所以必可表为的线性组合. 证毕.证2 因为线性无关,故必线性无关,又因为线性相关故必能由线性表示,当然可表为的线性组合. 证毕. 三、向量组的极大无关组及向量组的秩1极大无关组的定义：设是向量组的一个部分组.如果（1）线性无关；（2）任给，都有线性相关，则称是向量组的一个极大无关组

30、.2向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法例10的行向量组的秩 _.测试点 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;答案 例11设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（ ）A1B2C3D4测试点 （1）向量组的秩的概念；（2）向量由向量组线性表示的概念 （3）向量组线性相关和线性无关的概念解 因为可以表为的线性组合，且表示法惟一，必有线性无关,因为设，由可以表为的线性组合，即故 由表示法惟一，有 于是有，故线性无关，又可以表为的线性组合，所以为向量组的一个极大无关组，故向量组的秩为3.答案 C例12设向量组

31、（1）求向量组的秩和一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.测试点 求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法解 所以 原向量组的秩为， 为所求的极大无关组.四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标 1. 维向量空间的定义：维实向量的全体构成的集合称为维向量空间，记为.2. 子空间的定义：设是的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称是的一个子空间,简称为向量空间.3.生成子空间的定义：设则由它们的所有线性组合构成的一个子空间，称它为由生成的子空间.例13 设，说明哪个是子空间，那个不是.解析 在中，任取为任意数，都有所以是子

32、空间.类似地，可以证明也是子空间.但对，取都属于而这表明对加法运算不封闭，故不是子空间. 4. 向量空间的基和维数的定义向量空间的一个向量组线性无关，且中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基.零空间没有基，定义它为0维，否则，称向量空间的基所含向量个数为该空间的维数.设称为在这组基下的坐标.例14向量空间为实数的维数为_.测试点 向量空间维数的概念解 容易看出 是的一个基。答案 例15证明向量组是的一组基，则向量在这组基下的坐标是_.测试点 向量在一组基下的坐标解 因为故线性无关，所以它是的一组基.考虑 该线性方程组的增广矩阵为 得 所以在这组基下的坐标是（即）答案 .例16 求

33、由向量组生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维数.解析 显然是的一个极大无关组，故是由向量组生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于第四章 线性方程组一、线性方程组的三种表示方法 1. 2.，其中 .3 其中二、齐次线性方程组1齐次方程组有非零解的条件1）齐次方程组有非零解的充分必要条件是未知数的个数（即矩阵的列数）.2）n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是.3)设是阶矩阵.若，则齐次方程组必有非零解.(这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要)例1设为矩阵，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）A的列向量组线性相关B的列向量组线性无关C的行向量组线性相关D的行

34、向量组线性无关测试点 齐次方程组有非零解与列向量组线性相关的关系.答案 A例2. 设是4×3矩阵，若齐次线性方程组只有零解，则矩阵的秩 _.测试点 1.齐次方程组只有零解的充分必要条件;2根据系数矩阵的阶数,确定方程的个数和未知数的个数.解析 线性方程组的系数矩阵的行数等于方程的个数，列数等于未知数的个数因为是4×3矩阵，故方程组的未知数的个数，故方程组只有零解的充要条件是系数矩阵的秩答案 例3.齐次线性方程组有非零解,则 .解析 有非零解而 故因为有非零解，则或答案 或 2. 齐次方程组解的结构1）齐次方程组解的性质设都是的解，则也是的解(C1，C2为任意常数)2）齐次方

35、程组的基础解系的概念设是齐次方程组的一组解.如果它满足：（1）线性无关；（2）的任何一个解都可以表示为的线性组合，则称为该齐次方程组的基础解系.如果齐次方程组有非零解（即），则它有基础解系.重要结论:齐次方程组的基础解系含个线性无关的解；齐次方程组的任意个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；3）齐次方程组的基础解系的求法例4 3元齐次方程组的基础解系所含解向量的个数为 .测试点 齐次方程组的基础解系 (定义;含几个解向量;求法)解 因为齐次方程组的系数矩阵为的秩为,未知数的个数为,所以其基础解系含个解.答案 例5已知是齐次方程组的一个基础解系,则此方程组的基础解系还可以选用A. B.C.

36、与等秩的向量组D. 与等价的向量组测试点 1.齐次方程组的基础解系 特别是若齐次方程组的一个基础解系含4个解,则它的任意4个线性无关的解都是它的基础解系;2.判断向量组线性无关的方法;3.等价的向量组有相等的秩;等价与等秩的区别4,齐次方程组解的性质.解 因为是齐次方程组的一个基础解系,故都是齐次方程组的解,因为与等价,故能由线性表示,故也都是的解.又因为线性无关,所以该向量组的秩=4,又因为等价的向量组有相等的秩,所以的秩也等于4,所以也线性无关.故也是的基础解系. 所以 D正确.答案 D例6.设m×n矩阵的秩，是齐次线性方程组的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为（）AB

37、CD知识点 齐次线性方程组基础解系的概念及所含解向量的个数;向量组线性相关性的判别解 显然A,B,C选项中的三个向量都是线性相关的,而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成.答案 D 3）齐次方程组的通解公式 如果是基础解系，则它的通解为 ，其中为任意数.例6求齐次线性方程组 的基础解系及通解.测试点 求齐次方程组的基础解系和通解的方法解 取为约束未知数,为自由未知数,取为该齐次方程组的基础解系,该齐次方程组的通解为 为任意数)三非齐次方程组 1非齐次方程组解的性质1）设都是的解，则是它的导出组的解.2）设都是的解，则当时，也是的解.3）设是的一个解，是它的导出组的解,则是的解.例7已知

38、是3元非齐次线性方程组的两个解向量，则对应齐次线性方程组有一个非零解向量_.测试点 线性非齐次方程组解的性质 解 答案 例8设齐次线性方程有解，而非齐次线性方程且有解,则是方程组_的解。测试点 线性方程组解的性质答案 2关于非齐次方程组解的讨论定理 个未知数，个方程的线性方程组中，（系数矩阵是阶矩阵）是增广矩阵.则1）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有惟一解；2）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有无穷多解；3）当且仅当时，方程组无解.从以上定理可见1）线性方程组有解的充分必要条件是.2）当线性方程组，方程的个数未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式.例9已知某个3元非齐

39、次线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则的取值为_.测试点 1.增广矩阵经初等行变换变成,则以为增广矩阵的线性方程组与原方程组通解; 2.非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相等的秩解 当时,故方程组无解.答案 .例10 如果非齐次线性方程组有解,则它有惟一解的充分必要条件是其导出组 .解 非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是未知数的个数，而它恰是其导出组只有零解,没有非零解的充要条件.答案 只有零解. 3.非齐次方程组的通解的结构其中是方程的一个特解，为系数矩阵的秩，为它的导出组（与它对应的）齐次方程组的基础解系.例10设3元非齐次线性方程组的两个解为，

40、且系数矩阵的秩，则对于任意常数 方程组的通解可表为（） 测试点 1.非齐次线性方程组的通解的公式;2.非齐次方程组解的性质3.齐次方程组的基础解系的概念解 因为都是非齐次方程组的解，故是它的导出组的解，又因为为3元方程组，故它的基础解系含一个解，即它的任何一个非零解都是它的基础解系，故就是它的基础解系，又是非齐次方程组的解，所以为的通解. 答案 C例11设3元非齐次线性方程组(1) 试判定当为何值时,方程组有无穷多个解?(2) 当方程组有无穷多解时,求出其通解(要求用它的一个特解和它导出组的基础解系表示).测试点 线性方程组的讨论解所以 当即时,方程组无解;当 即 时方程组有惟一解;当 即时,

41、方程组有无穷多解.这时取为约束未知数,为自由未知数,取为方程组的特解,为其导出组的基础解系.故方程组的通解为 .例12 设向量可以由向量组线性表示,则数应满足的条件是A. B. C. D.解析 考察方程,其增广矩阵为 故方程组有解时,必有答案 C第五章 特征值与特征向量一、特征值与特征向量 1特征值与特征向量的定义要点：是n阶方阵的特征值，是指存在非零列向量，使得.这时，称为矩阵属于特征值的特征向量.由此知，是n阶方阵的特征值，这时，齐次方程组的非零解都是矩阵属于特征值的特征向量.例1 设为3阶矩阵,为3阶单位阵,若行列式,则的一个特征值为 【 】A. B. C. D. 测试点 为的特征值的充

42、分必要条件是.解 因为,故所以必有一个特征值为.答案 B例2 已知矩阵的一个特征值为，则 _.测试点 为的特征值的充分必要条件是.解 为矩阵的一个特征值故.答案 例3 设3阶矩阵的每行元素之和均为2,则必有一个特征值为 .测试点1.特征值的定义 2. 解 因为3阶矩阵的每行元素之和均为2, 所以必有一个特征值为.答案 例4设矩阵，则的线性无关的特征向量的个数是（）ABCD解 的特征值为，当时，所以，故的基础解系只含一个解，这表明只有一个属于特征值的线性无关的特征向量，故的线性无关的特征向量的个数是.答案 C 2关于特征值、特征向量的性质1）与有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）设都是

43、矩阵属于特征值的特征向量，是数，只要，则也是矩阵属于特征值的特征向量；3) 设阶方阵的个特征值为,则(2).4）矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关;5）设是矩阵属于特征值的特征向量，则是矩阵属于特征值的特征向量，其中.6)设是可逆矩阵的特征值.则，且是矩阵的特征值.3特征值、特征向量的求法例5设阶矩阵有一个特征值为,对于阶单位矩阵,矩阵必有一个特征值为 .解 ,则,因为有一个特征值为,故必有一个特征值为例6设为n阶可逆矩阵，已知有一个特征值为，则必有一个特征值为_.测试点 若 为可逆矩阵的一个特征值，则为矩阵的特征值.解 因为有一个特征值为，故有一个特征值为,所以必有一个特征值为.答案 .例

44、7 已知是n阶矩阵，且满足方程,证明的特征值只能是或.测试点 设为的特征值，则为矩阵的特征值.矩阵的所有特征值均为0.证 设为的特征值，则必为的特征值，又因为，故，故必有或.证毕二、相似矩阵 1.相似矩阵的定义 设都是阶方阵，如果存在可逆阵使得，则称与相似.2. 相似矩阵的性质1)反身性，对称性，传递性；2）若方阵与相似，则与有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）进而，且,其中表示矩阵的迹，即,为方阵的n个特征值；注意：反之，若与有相同的特征值，与不一定相似；例如有相同的特征值，但与不相似.例8 设3阶矩阵与相似,且已知的特征值为则矩阵的迹 【 】A. 3 B. 2 C.1 D.0测试点1. 相似矩阵的特征值相同;从而其迹和行列式也相同；2.矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系.解 由已知的特征值也为故的迹答案 A例9 设3阶矩阵与相似，且已知的特征值为. 则=（）ABC7D12测试点 (1) 相似矩阵