数值分析习题(含答案)..

1、第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1若误差限为0.5x10巴那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）解：F =0.3400x10-2, x-x* <lxl0"5 =lxlO"2-32 2故具有3位有效数字。2兀= 3.14159具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的讣算） 解：兀=0314159xlO,欲使其近似值龙具有4位有效数字，必需n-n <lxlOH4,兀一丄X10-3 5兀乜兀 +丄xio=即34109<4 <3.142092 2 2即取（，）之间的任意数，都具有4位有效数字

2、。3已知« = 1.2031, b = 0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a + b, axb有几位有效数字（有效数字的讣算）解:a <-xl0"3,|(6/ + Z?)-(«X +/? )| < a-a + 故a + b至少具有2位有效数字。b_b <lxl0"2,而a + b = 2A8, axb = 17662b-b* <-xl0_34-ixl0_2 <-xl0,_22 2 2罟曲+罟。-。.叱呂x“-2X*-XX解：已知*In x In x 1xxXIn xIn xX则误差为 In x - In x则相对误差

3、为In xx-x=d|（«/?）-a b <ba-a +a b-b" <故axb至少具有2位有效数字。4设x>0,兀的相对误差为5,求In兀的误差和相对误差（误差的讣算）5测得某圆柱体髙度力的值为力I /?-/?* I< 0.2cm , I r-r* 1< 0，=20t7H ,底而半径广的值为卢=5cm ,已知求圆柱体体枳V = 7TT2h的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解：|v(/2,r)-v(/2*,/)绝对误差限为 | v(h, r) 一 v(20,5)| < |2 5 20| x 0.1 + 52 x0.2 = 25

4、龙|v(r)-v(20,5)|25龙52 -20=丄=4%20解:；= a%9x * y*x-x sX=(nil)%相对误差限为畑,5)' 6设x的相对误差为a%fy = xn的相对误差。(函数误差的计算)7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%,问度虽半径A时允许的相对误差限为多 大(函数误差的计算) 解：球体积为 v(r) = -r v(r>) = -r>*3 3欲使i<r) 一 v(r*)|4 龙 r1 r_r3= 1%,必须8 设人=exnexdx.求证：o(1) / = 1 - «/_! (“ = 0,1, 2 )(2)利用(1)中的公式正向递

5、推计算时误差逐步增大：反向递推汁算时误差逐步减小。(计 算方法的比较选择)解：/” = Xndex = ex 讥打：_ “p叫旳=1-加 JXn'exdx = 1-nln_. 0 0 00如果初始误差为勺= /(>-/;,若是向前递推，有5 =人一 I： = (1 一) (1 一 M；-) = 一=(-1)2 n(n- 1息-2 =(T)"川匂 可见，初始误差心的绝对值被逐步地扩大了。如果是向后递推=-In,其误差为77 H斫(口人)_(口/;)十3丄易_=斗1 1 1 1 1 12 /?!可见，初始误差巧的绝对值被逐步减少了。第二章插值法姓名学号班级I习题主要考察点：

6、拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插 值余项的计算和应用。1已知/(-1) = 2,/(1) = 1,/(2) = 1.求/(X)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)解法一(待定系数法)：设L(x) = ax2+bx + c,由插值条件，有a-b + c = 2< a + b + c = 4a + 2Z? + c = 1解得：g = 1/6,b = 1/2,c = 4/3。故 L(x) = x2 -x + o623解法二(基函数法):由插值条件，有L(y)_(1)(2)2J (x+l)(x 2) | (x + l)(x 1)丿一(_1_1)(_1一2) (1 +

7、1)(1 2) (2 + 1)(2 1)1 214=X -X + 6232已知y =4,x, =9,用线性插值求。的近似值。(拉格朗日线性插值)解：由插值节点与被插函数，可知，y0 = V4 = 2 ,儿=厲=3,苴线性插值函数为L(x)= 2 + 3 = -x + -4-99一455V7的近似值为L=£ + £ =耳心2.6。3若勺° = 0,1,.“)为互异节点,且有,z、(x-x0)(x-x1)- (x-x>_1)(x-xj+1)- (x-x,r)I i(X) =:(Xj -xQ)(Xj -X|)(x,一兀片1)(兀丿一兀J试证明三X (斤=0,1,.

8、“)。(拉格朗日插值基函数的性质) 解：芳虑辅助函数 F(x)=： (x) 一 x" 其中，0<k<Hf xw(s,s)。J-oF(x)是次数不超过n的多项式，在节点 =石(0</</7)处，有F(xJ = ±x；lj(xJ_£ =xli(xi)-x- = x- -x- =0j-o这表明，F(x)有n+1个互异实根。故F(x)三0 ,从而f xl (a)=十对于任意的OSES”均成立。J-o4 已知 sin 0.32 = 0.314567, sin 0.34 = 0.333487, sin 0.36 = 0.352274,用抛物线插值计算s

9、in 0.3367的值并估i I截断误差。(拉格朗日二次插值)解：由插值条件，其抛物线插值函数为(-034)(-0.36)° 34567(0.32 - 0.34)(0.32 - 0.36)(x 032)(x 036)八e+ 0.333487(0.34 - 032)(0翼一036)(x 032)(x 034)+ 0.352274(0.36-032)(0.36-0.34)将 X = 0.3367 代入，计算可得：00.3367)心0.3304。其余项为：|"x)|= £(x 0.32)(x 0.34)(x 0.36)其中，0.32vgv0.363!|r(x)| <

10、; |(x - 0.32)(x 0.34)(x - 0.36)|故误差的上界为：| "0.3367)| <11(0.3367-0.32)(0.3367-0.34)(0.3367-0.36)| <2.14xlO_705用余弦函数cosx在x() = 0 , x, =p x2 =|三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式，并近似计算cos兰及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。(拉格朗日二次插值）解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为(x 兀丨 4)(x 兀 12)(x-0)(x-/r/2)1(x-0)(x-/4)L X) = 1 H H(0 龙/4)(0 龙/

11、2)(龙/4一0)(龙/4一龙/2)迈(龙/2 0)(龙/2 龙/4)_ 8(x-/r/4)(x-;z72)8y/2x(x - tt/ 2)27T90 8508、8(/z76 兀/4)(龙/6 龙/2)8-2/6(/6 -2)2 + 42M-)=一O相对误差为:绝对误差为:cos-L(-)6 62 + 4“29=汁4也*L 0.0门94 + 8、/2余项为:黑二x(x-;r/4)(x-;r/2),其中，0<歹<九72其余项的上界为:|r(x)| < x(x 一龙/4)(x _龙/ 2)16n1r(-)< _一 ）2一卞）666 64 62龙§青 «

12、0.0239比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估il出的值要小一些。6 已知函数值/(0) = 6, /(1) = 10,/(3) = 46、/(4) = 82,/(6) = 212 ,求函数的四阶均差"0,1, 3,4, 6和二阶均差/4,1, 3。（均差的计算） 解：采用列表法来汁算各阶均差，有Xy一阶均差二阶均差%三阶均差四阶均差0611043461814/3482366V362126529/311/151/15从表中可査得：/0,1, 3,4,6=丄。Xy一阶均差二阶均差48211072/3346186故/4,1,3 = 6。其实，根据均差的对称性，/4丄3 = /

13、1,3,4 = 6,该值在第一个表中就可以查到。7设/（X）=（X-x0）（x-） -（X-）求/心為X之值，其中/? < 7? + 1 ,而节点兀（/ = 0丄 + 1）互异。（均差的计算）解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有小0內心=工1=4）而/（兀）=0 0<i< P，故几5州Xp = 0。8如下函数值表X0124/(-V)19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）解：先构造均差表Xf(x)1一阶均差二阶均差三阶均差0119822314343-10-8-11A故 N(x) = l + 8x + 3x(x -1) - x(x-l)(x2)。

14、49求一个次数小于等于三次多项式“（X）,满足如下插值条件：“（1） = 2,卩（2） = 4,#'(2) = 3, p= 12。(插值多项式的构造)解法一(待定系数法)：设p(x) = ax3+b.x2+cx + d ,则 px) = 3ax2 + 2bx + c ,由插值条件，有a+b+c+d=28a + 4b + 2e + d = 412a + 4b + c = 327“ + 9b + 3c + = 12解得：a = 2,b = -9,c = 15, = -6。故 PM = 2x3 -9x2 +15兀一 6$解法二(带重节点的均差法)，据插值条件.造差商表Xy一阶差商二阶差商三阶

15、差商12:2422431312852故心)=2 + 2(x -1) + (x lXx 2) + 2(x 一 1)(x 一 2尸=2/ 9x2 + 15x 610构造一个三次多项式/7(A),使它满足条件H(0) = l,H(l) = 0,H= 1,H'=1 (埃 尔米特插值)。解：设 H(X)= ax3 + bx2 +cx + d 9 H f(x) = 3ax2 + 2bx + c利用插值条件，有d = a+b+c+d=08a + 4b + 2c + d = 13a+ 2b + c = I 解得：a = -l,Z? = 4,c = r, = l。H(x) = -x3 +4x2 -4x+

16、 1 11设f(x)=匹以0 = l/4 = 1*2 =9/4。试求/(x)在1 / 4, 9/4上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得Hg) = /(y)J = 02/r(“)= /a), H(x)以升幕形式给 出。(2)写出余项R(x) = f(x)-HM的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。119273 -3解：i ()= - ") = 1，/()= » 广二牙疋，j 71)=设 H(x) = ax' + bx2 + ex + ，H f(x) = 3ax2 + 2bx + c1 1 . 1 . 1 a + b + c + a =- 641648a+b+c

17、+d=7298192786416433a+ 2b + c =2解得：d =旦，b = ,225450故 H(x) = - x3+ x2 + 225450450恥)二点貞一；)(一 I% ?),12844233c =450233d =-丄251Xo2512 若 f(x) e c2a.bJa) = Jb) = 0 ,试证明:max I f (x) I < -(/?-67)2 max I 厂(x) I (插值余项的应用)解：以/(d) = /(") = 0为插值条件，作线性插值多项式，有皿)=斗 JS) + 二/(b) = 0u_bb-a其余项为R(x) = f(x) 一 L(x)

18、= /(x) = (X - d)(x - b)故= £餾广卜(字-观-警冷“尸餾I厂卜13 设 f(-2) = -1, /(0) = 1, /(2) = 2,求 p(x)使 p(xf) = f(xt)(i = 0,1,2)；又设I,则估计余项r(x) = /(x)-p(x)的大小。(插值误差的估计)解：由插值条件，有4g-2Z? + c = -1c = 14a + 2b + c = 27/= -1/8 解得：* = 3/4c = 1从而 p(x) = -X2 + -X + 184其余项为心)=/(x) - P(x) = J (x + 2)x(x -2)歹已(一 2, 2) r(x)

19、< (x3 - 4x)1 <-y/3=M116I 6 927第三章函数逼近姓名学号班级习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。设/（x） = sin加，求/W于0,1上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）解： = spanl, x1I1<)2ox'dx =-031(%，%) = Jdx = l，olc 2(/) = Jsin/x = , (/®) 0法方程组为= jA-sin/A- = -icos + 4sii- ()兀厂解得线性最佳平方逼近多项式为:（P2 令 f(x) = e-l<x<l9且设 p(x) =+ 你求

20、q 使得 p(x)为 f(x)于_1,1 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：0 = spanl,兀11|2(%，%)= " = 2, (%,02)= JxX=O,(02®) = JVX = q-I-1T'法方程组为!：=- 线性最佳平方逼近多项式为：p(x) = + x.2 33证明：切比雪夫多项式序列Tk (x) = cos伙 arccos x)在区间-1,1上带权Q(X)= 1/J1正交。(正交多项式的证明) 解：对于&k ,有1I(Tt ,Tk) = f , cosaiccosa)cosarccosx)dxcos21-i VI-x2=cos

21、(lt)cos(kt)dt oj cos? 一 k)t + cosg + ktdt o丄2=| ! sin(/ - k)t +sin(/ + k)t =0乙I Ki十K对于/=k,有(Tk、TJ= , ' cos，伙arccosx)dx-iVl-x20J!T=j=cos2 伙 /)(-sin/)df = J cos2 (kt)dth yj COS" t0=jl 1 +cos(2k)/ dt = t + sin(2Z:)/J =Z 0Z乙K乙故，序列Tk(x)在1上带权p(x) = .J正交。 VI -x2%! + x2 = 34求矛盾方程组： 吗+2心=4的最小二乘解。(最小

22、二乘法)x -x2 = 2解法一：求山与心，使得J (xrx2) = (Xj + x2 3) +(山 + 2x2 4) +(X| x2 2) 达到最小。于是，令=2(" + x，一 3) + 2(“ + 2x2 - 4) + 2(“ 一 总-2) = 0 dxx、'=2(石 + Xj 3) + 2(X| + 2xj 4) 2 + 2(x) 2)(1) = 0dxy即:戸+严“2X| + 6x2 = 9其最小二乘解为:X =2.5714、2 = 0.6429'1 1'X.1 21V*=1 -1.兀2 _解法二342,记作AX=b,该矛盾方程组的最小二乘解，应满足

23、以下方程组3 2"9"2 6kJ9ATAX = ATb9 即x. =2.5714 解之，得'%, = 0.64295已知一组试验数据xk234541689试用直线拟合这组数据（讣算过程保留3位小数）° （最小二乘线性逼近） 解：作矩阵'12 ''4 '12.54.5136，y =148158.5155.9A =法方程为(ArA)X=(Ary)622a402290.5b161.25解得：d = l2288, /? = 1.4831o其直线拟合函数为y = 1.2288+1.483 x。6用最小二乘原理求一个形如y = a +

24、bx2的经验公式，使与下列数据相拟合.xk19253138441949（最小二乘二次逼近） 解：等价于对数据表*>361l625961144419361949作线性拟合。英法方程组为:55327 'a'271.4 '53277277699b369321.5_解得：4 = 0.9726, b = 0.0500 故经验公式为y = 0.9726 + 0.05x2o第四章数值积分姓名学号班级习题主要考察点：代数精度的讣算，构造插值型求积公式(梯形，辛甫生公式)，复化求积 的汁算，高斯公式的构造。1给泄求积公式J"2 af(-h) + bf(O) + cf(h)

25、试确立",b, c使它的代数精度尽可能 高。(代数精度的应用和计算)解：分别取f(x) = h x , x2 ,使上述数值积分公式准确成立，有：a + b + c = 2h< /(-/)+ C(/?) = 0a(-h)2 +c(h)2 =2h313 解得:w 故求积公式为t/(-/0 + y 再取/(x) = X3 ,左边=j/x = O,右边=£(_d+¥.0 + £(/?)3 =0 再取f(x) = X4 ,左边寸:皿 =¥，右边冷(")4+#.0+如)4= 牛此求积公式的最髙代数精度为3。2求积公式J；/(xMtSJ(0)

26、 + AJ(1) + %/、'(0),试确定系数A°，A及Bq,使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算) 解：分别取/(x) = l,x,x2,使求积公式准确成立，有人+勺=1< A, +B0 =1/2A = 1/3211解得：人)=,4 = , 3。=。3 36求积公式为CfWdx-/(0) +丄/(1) +丄广(0)再取加",左边町也十扌.0 + ” +存=右边故该求积公式的最高代数精度为2“3数值积分公式j('/(A-)Jx«|/(l) + /(2),是否为插值型求积公式，为什么又该公式的

27、o2代数精确度为多少(插值型求积公式特征)解：令/(x) = l, J = 3 = |l + l = |/(l) + /(2)fW = x2t= 9= |1 + 22 = |/(l) + /(2)Q也乙乙故代数精度为仁由于求积节点个数为2,代数精度达到1次，故它是插值型的求枳公式。4如果/"(兀)>0,证明用梯形公式计算积分(f(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其 几何意义。(梯形求积)解：梯形求枳公式b a “T = rf(a) + f(b) 是由过点(匕/)，(/A/(/9)的线性插值函数厶(切=气/(")+严/(b)a_bb_a在bb上的定积分。注意到：在

28、区间a,b±, /"(x)>o,而(x d)(x b)vo,有hbhb f f 匕/-T = j fWdx-1 L(x)dx = j /(x) 一 L(x)dx = J一 a)(x 一 b)dx < 0aaaa从而I<T.其几何意义可作以下解释：在区间a,b±, /x)>0,故曲线y = f(x)下凹，直线y = L(x)位于曲线之上，因 此，曲边梯形的而积/= 7(劝心小于梯形而积T = jUxdx .、i3 i3 kii匸严驾！严驾尹处討elrl 44441 4.1171=-+ _ + _ + 一 + = 0.69704 2 45672

29、 81680因丄厶= ln2,则误差大约为：|ln2-O.697C|= 0.0039a 6设/(-I) = 1, /(-0.5) = 4, /(0) = 6, /(0.5) = 9, /=2 ,则用复化辛甫生公式计算 f(xdx ,若有常数M使1/ISM,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。(复化辛甫生公式) 01解：£= J fMclx+J fMdx' -101 41141& - /(T) + - /(T5) + -/(0) +-/(0) + - /(0.5) + -/(DJ6 6 6 6 6 611 +4x44-6 + 6 +4x9 +2 = «116

30、676 6f-_(x +1 )(x + 0.5)2 (x - 0)i/.v +卩 G)(% 一 0)(Y _o.5)2(x - )dxt 4!t 4!0j|(x +1)(% + 0.5)2(x一0)| Jx + j|(x-0)(x一0.5)2(x一 1)|dx -1o<I |(x - 0)(% 一 0.5)2(X 一 )| JV = L| f2(0.25-r)J/ = X 0.004212 ° 6 ° 6< 0.008M7已知高斯求积公式JVCrMs /(0.57735) + /(-O.57735)将区间(0,1等分，用复化-11高斯求积法求左积分J的近似值。(

31、髙斯公式)8试确左常数A, B, C和“，使得数值积分公式£ f(x)dx+ Bf(O) + Cf(a)有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少它是否为高斯型的(代数精度 的应用和计算，髙斯点的特征)解：分别取f(x) = ,x,xxx4 ,使上述数值积分公式准确成立，有：(A+B+C=4A(g) + C(a) = 0A(-«)2+C(«)2= A(-G)'+C(a) =064>4(-«)4+C(«)4= 丿 整理得:2J xy dx64 + B + C = 4A = C/(A + C) = ¥

32、71;4(A + C)=y解得：“c諾,T数值求积公式为")心罟门眉)+ 罟/(0) + 霁(再取 /(x) = X5,左边=f1 2x5dx = 0右边=弓(-=0再取fW = x左边彳仏=罟,右边=罟(一曾)6+罟.0 +罟(J|y二粵可见，该数值求积公式的最髙代数精度为5。由于该公式中的节点个数为3,其代数精度达 到了 2x3 1 = 5次，故它是高斯型的。9设几(切是0区间上带权p(X)= X的最髙次幕项系数为1的正交多项式系0 =（化，巴）=（乳出）+ 4"起），乞一弓沖一 一=-| xdx 2 0* 22jx3（x）dx0 =（片,巴）=（代"+ 4（

33、片，片），G =-TK7 = -T （时）彳）认 o 3Py（X）= X2 - - P （x） - P（X）= X2 - （x-）- =X2 -X + -5 12 °532510解（2）：恥）-”訥零点为：也设（托£） + 儿/（牛吝）分别取f（x） = 1, x,使上述求积公式准确成立，有人+人=1/2< 6-<6血+心10 10A, =1/3A> + A =4_A，=_6解得:心吩高斯型求积公式为MY唸八K）x rz6 Vb 1 1 八6 + / 丽"（）第五章非线性方程求根姓名学号班级习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代

34、法求根的收敛性和收敛速度 的讨论。用二分法求方程x2-x-l = 0的正根，要求误差小于。(二分法) 解:/(x) = x2-x-l, /(0) = -1<0, /=1>0, /(X)在0. 2连续,故0, 2为 函数的有根区间。(1)计算/(1) = -1<0>故有根区间为1, 2o(2)(3)(4)(5)(7)QQQ计算 /(-) = (-)2-222777计算心冷二亠16 计算/(£) = (护-£-1 詁 >0，计算/(兰)=(%亠_卫<161616256计算 /() = ()2-1=-32323210241031351若取中点一

35、斎作为取根的近似值，其误差小于訂.131= <0>故有根区间为-,2o53 7>0,故有根区间为-,-o2 4*3 13 故有根区间为h2 83 13 故有根区间为o2 825 130,故有根区间为16 851 13< 0 ,故冇根区I可为,o32 8=< 0.032323203 取近似根”=心1.6094,可满足精度要求。642说明方程x2 +lnx-4 = 0在区间2, 2内有惟一根并选用适当的迭代法求“(精确至3位有效数)，并说明所用的迭代格式是收敛的。(迭代法)解：fM = X2 + lnx-4 xel, 2/(1) = -3<0, /(2) = l

36、n2>0, f(x) = 2x + ->242>0,故函数单调增加,因此,x该方程在(1, 2)之间存在着惟一的实根。取迭代函数如=J4_lnx xel,2显然 lv < V4-ln2 <(p(x) < 74-lnl = 2,且1xj4-lnxQ4 一 In 0故迭代忑+i = j4 ln忑 (k = l,2,)对任意初始值K el,2收敛。对于初值x, =1.5，其迭代值分别为兀=1.8959,乃=1 8331, x4 = 1.8423 , x5 = 1.8409 由于忆-x5| = 0.0014<1x10'-3,故抵=1.8409作为近似值

37、，已精确到了 3位有效数字。23设有解方程12-3x + 2cosx = 0的迭代法兀田=4 +-cos兀证明Vx0 w R均有lim兀=/ ( F为方程的根)。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。(3)取仏=4 /r->w用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10刁，列出各次迭代值。(和收敛性讨论)2 ? 2解(1)： (x) = 4 + -cosx , (pfM = -sin.v < - < 1 ( xe (-00,00),故该迭代对任意初值均收敛于方程的根T。I ,2 匸七 10,2 派川214小 7t解(2)：由x =4 + cosx t 故有/rv = 4-

38、 <x <4 + = <2龙一一。3 3333370(T) =-二sinF H0,故该迭代的收敛速度是1阶的。解(3):取心=4,代入迭代式，可计算岀以下结果：X, = 3.5642 , x2 = 3.3920 , x3 = 3.3541 , x4 = 3.3483 , x5 = 3.3475由于|x5-x4| = 0.0008< 10-3,取宀 3.3475可满足精度要求。4 设 x* =(p(x*), max|(x)| = 2 < 1,试证明：由 xn+l =(pxtl) ” = 0,1,，得到的序 列仇收敛于*。(收敛性证明)证明：由F=0(F)知，方程X

39、= <p(x)有根。£+1-F卜帆£)-如)IM /l|xw-/|<22|_1-xx|<-< /T*0 -F 由0S；lvl,当“TOO时，有兀+|FtO,即序列&”收敛于疋。25设方程3-3x-2sinx = 00,l内的根为若采用迭代公式xrl+1 =l-sinx/r,试 证明：Vx0 e R均有limx;, =xx为方程的根）：此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）2解：迭代函数©（兀）=1 一一sin兀2 -COSX当 X W (-00,00)故迭代在区间(-8,00)上整体收敛。2设 lim x = x

40、*,则 x* = 1 - sinx* > 且"312 次.2 館,25 兀 0 < - = 1 < x = 1sinx < 1 + =- < 333332*2第故 0(/)=-二cosh H 0故该迭代的收敛速度为1阶的。6 .方程疋一_1 = 0在儿=1.5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式:X3 = + x2,对应迭代格式:x=i+-l,对应迭代格式:/ =丄，对应迭代格式： x-1讨论这些迭代格式在心=1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出心=1.5附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较）3 解：fM =

41、x3 -x2 -1, x e 1,-/（i）= -i<o., /（2）= l>o,故方程在1,-1 上有根八282/（-） = -<0>故方程在二丄上有根4 644 2/（!）= _竺<0,故方程在.-1上有根"。85128 21QOQir i33i对于迭代式(1： 0(x) = l + -r，(x) = -, (px ) = 一一 <2-()3 = X"f111而0（/） = _二丁工0,故该迭代局部收敛，且收敛速度为i阶的。x对于迭代式（2）：在xel,2±, 0（x） = （l +，严0(x)=2 x3(l + x2)2/

42、3材（剧二丄十=空退vl113 （2x）2/3332Y又故该迭代在xel,2上整体收敛，且收敛速度为一阶的。对于迭代式（3）： 0（x） = J_L在1, 2上的值域为1,+s）,该迭代式不收敛。V x -1取迭代式畑=驹+瓷，心=15进行计算，其结果如下：旺=1.4812 , x2 = 1.4727 , x3 =1.4688 , x4 = 1.4670x5 = 1.4662 , x6 = 1.4659 , x1 = 1.4657 ,= 1.4656|x8-x7 I = 0.0001 <-xl0*-4,取忑=1.4656为近似值具有4位有效数字。 27 设 /(x) = (x3-)2(1

43、)写岀解/(X)= 0的牛顿迭代格式：（2）证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度） 解：牛顿迭代式为+ A，66兀；方程的根为 X = yfa t （p（x） = x H 9 （px） =f ,= H 0663x'2因0（亦）=1<1,故迭代局部收敛。又因0（逅）=丄工0,故迭代收敛速度为1阶。2 28设计一个计算的牛顿迭代法，且不用除法（其中«>0）o （牛顿迭代法）解：考虑方程 f(x) = ya - = 0 , /'(x) = -4-，0(x) = X - ' "" ' = 2x - yfcix2

44、XJC1/r该迭代局部收敛。9用牛顿法求了的近似值，取x0=io或门为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造）解：考虑方程 f(x) = x2 -115 =0, ff(x) = 2x (p(x) = x -115 = 77+)2x 2 x/!+!取Ao = 10为初始值，讣算其迭代值如下:“ =10.7500 , x2 = 10.7238 ,占=10.7238取心=11为初始值，计算其迭代值如下：心=10.7272 , x2 = 10.7238 , ® = 10.723820设F是非线性方程f（X）= 0的m重根，试证明：迭代法/（心）八心）具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度

45、证明） 解：设/是非线性方程f（x） = 0的m重根，则m(x-x )g(x)f（x）=（x-x）tng（x）9且g（F）H0m 其牛顿迭代函数为於)n竺m.(7“”广(x)m(x-x )m g(x) + (x-x yngf(x) mg(x) + (x-x )g'(x)牛g八-总老耘04 =兀円 一F =(p(xn)-x = (xn -x)- H('；加(忑-x )g (兀)(£7)-g'(£)g'(©)Jfng(x) + (xn-x )g'(耳)mg(xn) + (xn 一T)gf(xn)耐卑=亦ST=业1心” gw mg

46、(xJ + (耳 一 x )g xn) mg(x ) 故该迭代的收敛速度至少是2阶的。11设F是非线性方程/(x) = 0的m重根，证明：用牛顿迭代法求F只是线性收敛。(收敛 速度证明)解：设/是非线性方程f(x) = 0的m重根，贝IJ f(x) = (x-x)tngM，且g(M)HO及加2 2，其牛顿迭代函数为0(X)= x/(x)(x_x")'g(x) (x-F)g(x)=X= Xf(x) m(x 一 g(x)+ (x g3 mg(x) + (x-x)gx)牛顿迭代式心利(兀一 F)g(®)第(兀)+ (兀-x)gxn)gCj)e-=x-x "gf

47、Ffg+Js 严亦鱼=亦1_色2=1一仝2 = 1一丄0E 5 宀加g(E) +(£ - x )gxn)mg(x ) m故收敛速度为1阶的。12设(pa) = a , ©(x)在“附近有直到”阶的连续导数，且0(a) = = 0i(d) = O, 0八(4)工0,试证：迭代法兀屮=俠叫)在"附近是卩阶收敛的。(收敛速度证明) 解：将0(x)在"点附近作泰勒展式，有+学()+警()2 +吟(宀咋(卩1!2!(卩一1)!pl= a + (x-aY ,其中，纟在x与“之间。P'于是：S+I = £+i _° = 0(£)-

48、d = J(X” _d)" = 丫- : Je：,其中，g”在心与d 之间。“！"1由于lim x = a t故lim氛=a >从而n-xn->xlimnlim以窪皿“th pp因此，迭代的收敛速度为p。第六章常微分方程数值解姓名学号班级习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳左性的讨论，线性多步法中亚当姆 斯方法的构造和讨论。1用改进的欧拉公式，求以下微分方程, 2xy = y- 一 y xeOJ丿（0）= 1的数值解（取步长力=0.2）,并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用）解：原方程可转化为y/ = y2-2x,令z =有-2z = -2x2

49、 dx解此一阶线性微分方程，可得y = V27TT.利用以下公式X儿=兀+0.2（儿竺）（心 0,1,2,3,4）儿X+i =*（儿 + 儿） 求在节点x,.= 0.2/ (山1,2,3,4,5)处的数值解儿，其中,初值为x°=0,儿=1。 MATLAB程序如下：x(l)=0;%初值 i'j点y(l)=l;% 初值fprintf(,x(%d)=%f/y(%d)=%f/yy(%d)=%fn,/l/x(l)/l,y(l)4,y(l)；for i=l:5yp=y(i)+*(y(i)-2*x(i)/y(i);% 预报值yc=y(i)+*(yp-2*x(i)/yp);% 校正值y(i+

50、l)=(yp+yc)/2;% 改进值x(i+l)=x(i)+;% *N 点值(yy(i+l)=sqrt(2*x(i+l)+l);% 精确解fprintf(,x(%d)=%f/y(%d)=%f/yy(%d)=%fn,/i+l/x(i+l)/i+l/y(i+l)/i+l/yy(i+l)； end程序运行的结果如下：x弓 y(l)= yy(l)=x(2)=fy(2)= yy(2)=x(3)=, y(3)= yy(3)=x 弓 y(4)=, yy(4)=x(5)=, y5)= yy(5)=x(6)=, y(6)= yy(6)=V + y = 12用四阶龙格一库塔法求解初值问题/，取11=0.2,求x

51、= 02,04时的数值解.b（o）= o要求写出由九心，儿直接计算儿剂的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格一库塔方 法的应用）解：四阶龙格库塔经典公式为片利=儿+ £伙I + 2心+人）Ok=fgyjk4=f（xn+h, yn+hk3）由于/（x,y） = l y ,在各点的斜率预报值分别为：热T-儿k2 = 1 _（儿 + 纽）=1 一 儿 _£（1 儿）=（1-儿）（1 - £）k3 =1_（儿 +£斤2）= 1_儿 _£（1_儿）（1_£）=（1_儿）1_£（1_£） k4=-（yn+hk.） = 1_

52、儿一/?（1_儿）1_£（1_£） =（1儿）1_加1_£（1_£） 四阶经典公式可改写成以下直接的形式：儿+i =儿 + £（1 _ 儿）（6 _ 3力 + 加 _ y）在x = x= 0.2处，有y, =0+（1-0）（6-3x0.2 + （0.2）2 -= 0.181364在x = x? =0.4处，有y, = 0813 +（1-0.1813）（6-3x0.2 + （0.2）2 一= 0.329764注：这两个近似值与精确解y = 1 -广“在这两点的精确值十分接近。3用梯形方法解初值问题yf 4- y = 0,y(o)= i证明英近似解

53、为(2-hX儿=2 + h>并证明当力TO时，它收敛于原初值问题的准确解y =严o 解：显然，y = y是原初值问题的准确解。 求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为”山=y” + £ /(x”，;)+ fg，>'n+i)l对于该初值问题其梯形公式的具体形式为,h(1 + 二)儿+1于是:h=(1_尹2-/?2 + h)儿(2 h、=w=2-h2 + h)2-/72 + hn+l>)=2-/? j2 + /z>亦即：儿=(2h< 2 + /? >注意到：仃0+处必,7,令一卷，卜-扛有= (l + o - - = (l + o T(1 +5心从而町沪聊1+厂吧(1+1门=八 即：当 TO时，儿收敛于原初值问题的准确解y(xn) = e<>yf = 10y4对于初值问题彳''，证明当h < 0.2时，欧拉公式绝对稳左。(显式和隐式欧拉公y(0) = 1式的稳左性讨论)证明：显式的欧拉公式为儿+=yn+hf(xn9yn) = (l-10h)