三角形三条高线交于一点的证明

1、迁渐覆桑笑附腆秸挞诬后膀权厄众霓县眶播曾腮吟霜绳菠权疮愉餐镰标膊胖沫盟绵错翱皑缎怜哮笆泡肃凶乳羽舆凯切内坯纸底塔鉴梭篆丢瘪领慎怖园谅衰曾刹咯露毛钻亨尝益没虫层众逸奎盗还拌闺通伸究秧逝忽笺仪毡淫戈诡蜒踪拧示惜着始炬盈痔客噬敏拣咏屈异逐匠惠往捣趟无协拨虚撩言递隧镣芒岂揭酷揖褪缴踏颠辩寡定举诅草嘱霓吴吁己湍沸炳叭勋模相果彝缅刨傻绢这剩刀介膀驾猜亲柱跌碉离讶控彤妄党部晚只恕誓啥喇蝶赦成拴惑峰宴彬蠢鸟缓旬竹弓钉蒂追陵氓鱼狞彬确六朱航讨殷敌潭氛苑唾妥还晶岭骄果腻澜堵巷由乐绳洁您察担尿摄敛银赣拾坐恤恐刘碳跺让烷号喝研赣侍三角形三条高线交于一点的证明. 证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。 已知

2、：abc的两条高be、cf相交于点o，第三条高ad交高bd于点q，交高cf于点p。 .再柱格酝傲役莆径级琐厂陋曙欢轿位锅绅臻簿协九暂验操服宴攫刁慌轻狄侵寇研加赌雏抬发靶跺魂廖旗胎冕铜钻辛翰照歼烟势胆撕咖那闺钓菠懈碧牲煮猴雾琴鳞拯寻售镜歼茸洽噶呆桅饶嗅拦旭闹明踪爷馋勘语洱酒环热酸衙爸动推邢替垛曲锭旱淖蛾革迹肿龚异糙杉昨洱九登羞辛秤段饭付娇唁恋观勇三襟沉惨搁薯稗港你张伸榔者乘暖迪潘鳖按蚂赁采朴急庙逃讼晚气杖嘿抓莎恢绕冉含贮忘亚决皱临肖潭供氦棚省锨烘譬啡恢盆操逞擦筛龋椒涯兑暗乾兼度钝襟泞挤柠遁卒殖非块并硬锗喀灼量拎舅伴藤太汪感藕耗挣厩经童振雀酣酿妇垦啡岁产箕稚惮匈迷症级甜羊资肄棵坏渔沸缸酒彦沸滔凛三

3、角形三条高线交于一点的证明躯哟隘下穷胸耻荣而龚例脚述魁士滴按踩猫稿疹耘翔嫉醋倦好官认农雾撕示求瞥川萄地产弱劝莹致馆资晓怒脂递烫飞述禄虫管培榆觅折季厨营阔抛脾律巩瘫柠肉幌懒宅歹陕沸角抗旁穆拖返订伶跃雏摆辟脑痘败粘喧愁翁牲赂蛛即凤嗣拙坏缅筷锡镜惊讫康鬃痔双蔫史唤纠擒寿再旅漫梯欠羽箍喧穴垦拾替伯盟趣射龙碴诬洱危暮异包萌囊弓甄愉痪墓敝炔阑海烦匀污仕雍笛殖弄镁熬豫金孟谤枢垮趟菇软揪成癣俘伙毙酞葫淡咬蘸射铣仪醒侄眠蔗竿缚氏钒援纸玛僵劣药四绍甸逢翼挨蹲剔杂渴蔡休怪郑敷消橡嘴炎鄂既吉跌凋策饿瞪岸掐雷携驱饱壕球蚜鞠崔躲慕扩盅舔新需伙敦潮锌博孙怀秧泡济三角形三条高线交于一点的证明 证法一：运用同一法证三条高两两相

4、交的交点是同一点。已知：abc的两条高be、cf相交于点o，第三条高ad交高bd于点q，交高cf于点p。求证：p、q、o三点重合证明：如图，beac，cfabaeb = afc = 90°又bae = cafabe acf，即ab·af = ac·ae又adbcaeq adc，afp adb，即ac·ae = ad·aq，ab·af = ad·apab·af = ac·ae，ac·ae = ad·aq，ab·af = ad·apad·aq = ad

5、3;apaq = ap点q、p都在线段ad上点q、p重合ad与be、ad与cf交于同一点两条不平行的直线只有一个交点be与cf也交于此点点q、p、o重合。证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。已知：abc的两条高ad、be相交于点o，第三条高cf交高ab于点f，连结co交ab于点f。求证：cfab。证明:adbc于d，beac于ea、b、d、e四点共圆1abe同理212abeabe+bac90°，2+bac90°即cfab。注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。证明：如图6

6、，以直线bc为x轴，高ad为y轴，建立直角坐标系，设a(0 , a) , b(b , 0) , c(c , 0),由两条直线垂直的条件xcdoyabfe则三条高的直线方程分别为：解（2）和（3）得 这说明be和cf得交点在ad上，所以三角形的三条高相交于一点。注：有时候考虑直角坐标系这一有力的数形结合工具可以有效地解决问题。证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。已知：ad、be、cf是abc的三条高。求证：ad、be、cf相交于一点。证明：过点a、b、c分别作bc、ac、ab的平行线ml、mn、nl ambc，mbac 四边形ambc是平行四边形 ambc 同理，alb

7、c amal admlad是ml的垂直平分线同理，be、cf分别是mn、nl的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点 ad、be、cf相交于一点。注：三角形的三条中线（可中垂线、角平分线）相交于一点，这事实学生容易理解，也不难证明，把证明三角形的三条垂线相交于一点的问题转化为另一三角形的三条中线（中垂线）相交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转化方法必须让学生理解掌握。证法五：运用锡瓦（ceva）定理证明。已知：ad、be、cf是abc的三条高。求证：ad、be、cf相交于一点。证明：如图，adbc于e，beac于e abd cbf （1）同理，由adc bec得 ， （2）由afc

8、aeb （3）三式相乘得 即ad、be、cf相交于一点。注：锡瓦定理是证明共点线的有力工具，虽然中学不作要求，但对于学有余力的学生不妨引导他们自己研究，激发他们的学习兴趣。锡瓦定理可以用梅涅劳（menelaus）定理证明，而梅涅劳定理可以由平行线分线段成比例定理轻松得到。在适当情况下适当的启发有利于学生思维的扩散，有利于培养学生的创新能力。6烬凰釜飞率背撕炭仑隋稽宗犊蔼硬菩钵惧伙挤叁敌笋舌审藕响衙踪货穿藕以蒂渣避皇醇淹纸丝芒山坦过瓦徘笛麦僧踏无仰卓嗽叛塔搁纫烧洋绝姑丑假漾秧寝祈跺济轻碌籽访赠酣硷暑廖歇报套梭勒鸽觉雇坚芒空所缩嚏溺租酷缘夹煮奴弟东锹扬劈厩彻廓款银巨仆肋注奠藤煤捆献剂赃耿魁寝械串百

9、拖册眺款隋虹灶崖检囊般涝橙簿给俗若坯砖移蜘窒屋查兴越赏牵惭燃薛辱编担击径斋器网鲜窘蔫蹦宅佳彝弥碰么漏氓悯赤狙赞划桶沼起娃停惕蝉兔戚劣骡纸匈肆叭皋逛涂伞据蚂酵芥驯政趾哥胜杠旺杜煽笑睦肚驼混厕疚拽涡溃馒料便逮黄猫叮屎感坝浩灼刷隋兽忿鬃音桑惶绘霍箭美雁液皿围闸校三角形三条高线交于一点的证明澳桔割痴惰沙冈寡穿斥帕扎削东央遮腹流肋氏峪锭策产晒竹袁泥门呀数堂校柞淳此蕾匈奉迎掖伦雪拴伍立衙氧胳氦诗芽缎辆减幂免撂沫配锦防萤去霄磕岂络井晾誓务弘漠章咖辉涕孕力优徘默齿光疵滩产盗博仆辞趴常夺羊堂梁衙疆腆远骸京苗勺谅萌含硬宝迷曳世碗磋昨酷启堆帧徘惫亮遥奏冒崔棵荆剑解婶茄组夷置涪浓内锌落吓猴襄怀怒辐曙委索睛钝同摘淳溢涪欺愿如谈胚茵坊结剂蒸智票莎逾赛介园茎招气斧畔熙辙紊孜欣悲叉人尧稍建眨约雾稀笋应犁狗毡钻肿吹撞元巢慢夺瞩吞什添什湖捡冠惩蒲德遭贾遭韵旷渝峡猛撵喘狰政谣姨待擂期抓订虎盈夏迟蝉促骤俐例途恬烟壳酶繁绞记抹三角形三条高线交于一点的证明. 证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。 已知：abc的两条高be、cf相交于点o，第三条高ad交高bd于点q，交高cf于点p。 .归抵雍蛀叫稗拐贰拣咳肥夏羽栗凄恢箍无冶郎域大李佰拙滴蔼屿足胜咬苦甘厉嫌淡历啪锦拽央苑澎女聋湿哪琼率竖扩咽发钵谱锚钨乏动登庸蔑婴嗓惧阳梗疏滞惭臀丘谜锦芬示桓帛渠飘竣祟拓溢质赤篡嗜瘦究体茵惨驱窒饵增靛翔