上海中学2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析汇报版)

1、实用文档2015-2016学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题 3分）1 .设集合 A=0, a,集合 B=a2, - a3, a2-1且 A? B,则 a 的值是.2 .已经集合 M=x|1vxv4, N=x|x=2a+1 , a M,则集合 MU N= .3 .“若xy=0,则x, y中至少有一个为 0”的否命题是 .4 .已知 aw a2, b1 > b2,请比较下面两式大小：a1b1+a2b2 ab2+a2b1.5 .不等式 x2 （x2+2x+1） > 2x （x2+2x+1）的解集为 .6 .关于x的不等式 m/+6mx+m+8 0在R上恒成立，m的取值

2、范围是 .7 .某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x=吨.8 .已知不等式|x - m|<1成立的充分不必要条件是 "<x<,则m的取值范围是 .199 .已知正实数x, y满足-L+W=1,那么2x+3y的最小值为 k y10 .对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为（-1, 2）,解关于x的不等式 ax2-bx+c>0”,给出如下一种解法：解：由 ax2+bx+c>0的解集为（-1, 2）,得a （-x） 2+b（ x）+c

3、>0的解集为（2, 1）,即关于x的不等式ax2bx+c>0的解集为（2,1）.参 考上述解法，若关于 x的不等式上户也的解集为（-1,1），则关x+a k+c32于x的不等式上一心些L <。的解集为 ax+l cx+111 .若关于x的不等式aw+2-3x+4Wb的解集恰好为a, b,那么b - a=.12 .已知正数x, y满足：x2+2xy=3 ,则z=+的取值范围是 .X 戈一 1二、选择题（每小题 3分）13 . R表示实数集，集合M=x0 <x<2 , N=x|x 2- 2x - 3> 0,则下列结论正确的是 （）A.M? N B.M? （?41

4、）C.（?制）? ND.（?RM）? （?rN）14 .集合 M=x|x w 4 且 x C N, P=x|x=ab , a、beM且awb, P 的真子集个数是（）A. 63B. 127 C. 217 1D. 220- 115 .若实数 a, b 满足 a>0, b> 0,且 ab=0,则称 a 与 b互补，记（）（a, b） =J+ b 2 -a - b那么（）a a, b） =0是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16 .已知命题：“若凶<1,则关于x的不等式（k2-4） x2+（k+2） x-1>0的解集为

5、空集”， 那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（）A. 0B. 2C. 3D. 417 .已知a, b都是负实数，则 一-P工的最小值是（）a+2b a+bA. gB. 2 (&T)C. 2a 1 D. 2 (比+ 1)61三、解答题(7+7+11+12+12)18 .设集合P=x|x 2-x-6v 0,非空集合 Q=x|2a wxwa+3,若PU Q=P求实数a的取值 范围.19 .已知 a, b, x, y 均为正数，awb,求证：3一 +J_ n(a+b) .x y x+y20 . (1)解不等式：J= - 1 +2x w 53K 1a(2)解关于x的不

6、等式： ->-(aCR).x- 2221 . (1)关于x的方程x2+2a|x|+4a 2 - 3=0恰有三个不相等的实数根，求实数 a的值.(2)关于x的方程x2+2a|x|+4a 2-3=0在-1, 1上恰有两个不等实数根，求实数 a的值.22 .由正数组成的集合 A具有如下性质：若 aCA, bCA且avb,那么1+且CA. b(1)试问集合A能否恰有两个元素且A?若能，求出所有?t足条件的集合A;若不能，J请说明理由.(2)试问集合A能否恰有三个元素？若能，请写出一个这样的集合A;若不能，请说明理由.2015-2016学年上海中学高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题

7、(每小题 3分)1 .设集合 A=0, a,集合 B=a2, - a3, a2-1且 A? B,则 a 的值是.【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】由人=0, a及集合元素的互异性可知aw0,所以a2w0, - a3w0,又A? B,所以a2 - 1=0,解得a=±1,再进行验证，即可得出结论.【解答】 解：由A=0, a及集合元素的互异性可知 aw0,所以 a2w0, - a3w0,又 A? B,所以a2 - 1=0,解得a=±1.当a=- 1时，a2=-a3=1,这与集合元素互异性矛盾，舍去.当 a=1 时，a=0, 1, b=1 , - 1, 0,满足 A? B

8、.综上a=1,故答案为：1 .2 .已经集合 M=x|1vxv4, N=x|x=2a+1 , a M,则集合 MU N=【考点】并集及其运算.【分析】 求出集合N然后求解并集即可.【解答】 解：集合 M=x|1 vx<4, N=x|x=2a+1 , aC M=x|3 vxv 9, 集合 MU N=x|1 <x<9.故答案为：x|1 <x< 9.3 .“若xy=0,则x, y中至少有一个为 0”的否命题是 .【考点】命题的否定.【分析】 根据否命题的定义即可得到否命题.【解答】 解：同时否定条件和结论得到命题的否命题是：若 xyw0,则xw 0且yW0. 故答案为：

9、若xy w 0,则x W0且y W 0.4 .已知 aw a2, b1 > b2,请比较下面两式大小：a1b1+a2b2 ab2+a2b1.【考点】不等式比较大小.【分析】作差因式分解即可得出大小关系.【解答】 解：: aw a2, b1>b2,a1b1+a2b2 - (a1b2+a2b1) =a1 (b1b2) +a2 (b2 b1) =(a1a2) (b1b2) < 0, a1bl+a2b2w a1b2+a2bl.故答案为：<.5 .不等式 x2 (x2+2x+1) > 2x (x2+2x+1)的解集为 .【考点】其他不等式的解法.【分析】 原不等式等价于x

10、(x+1) 2 (x-2) >0,当x=-1时，不等式不成立，当 xw - 1 时，不等式等价于 x (x-2) >0,解得x<0或x>2且计1,问题得以解决.【解答】 解：x2 (x2+2x+1) > 2x (x2+2x+1)等价于 x (x+1) 2 (x 2) >0,当x= - 1时，不等式不成立，当XW- 1时，不等式等价于 x (x-2) >0,解得XV0或x>2且xw - 1, 故不等式的解集为(-巴1) U (- 1, 0) U (2, +8),故答案为：(-巴1) U (- 1, 0) U ( 2, +8).6 .关于x的不等式

11、m/+6mx+m+8 0在R上恒成立，m的取值范围是 . 【考点】函数恒成立问题.【分析】 分m=。rf5 0两种情况进行讨论： m=0时易检验；nm25。时，有4,即可求出m的取值范围.二36- 4m(m+8)40【解答】解：:关于x的不等式m攵+6mx+m+80在R上恒成立，当m=0时，有8>0,恒成立；(ID>0当m 0时，有，,解得0 Vme 1,二36。广 - 4m(m+8)(0综上所述，实数k的取值范围是0w m< 1.故答案为：0,1.7 .某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费

12、用之和最小，则 x=吨.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】 先设此公司每次都购买 x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值.【解答】 解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买 您次,运费为4万元/次， X一年的总存储费用为 4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 更04+4k万元，*4x=160,当且仅当"叫=4x即x=20吨时，等号成立 X即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.故答案为：20.8 .已知不等式|x - m|<1成立的充分不必要条件是 <x<,则

13、m的取值范围是 .【考点】充要条件.【分析】先求出不等式|x - m|< 1的解集，再由不等式|x - m|< 1成立的充分不必要条件是 vxv自来确定m的取值范围.【解答】解：|x - m|< 1,- 1< x - m< 1,m- 1 < x< m+1,m- 1 < x< m+1成立的充分不必要条件是故m的取值范围是-5，4 - 23故答案：-，* .2 3199.已知正实数x, y满足-L+W=1,那么2x+3y的最小值为 k y【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【分析】根据正实数x, y满足1+2=1,将2x+3y转化成(2x+3

14、y) (+-),然后利用基本x yx y不等式可求出最值，注意等号成立的条件.【解答】 解：二正实数x, y满足上+=1,* y.2x+3y= (2x+3y) J+g =2+6+应+尘方 8+4班，x y x y当且仅当叁=电时取等号x y.2x+3y的最小值为8+4走.故答案为：8+4正.10 .对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1, 2),解关于x的不等式 ax2-bx+c>0”,给出如下一种解法：解：由 ax2+bx+c>0的解集为(-1, 2),得a (-x) 2+b( x)+c>0的解集为(2, 1),即关于x的不等式ax2bx+c

15、>0的解集为(2,1).参 考上述解法，若关于 x的不等式*-p毕<c的解集为(-1,一三)ud 1),则关x+a k+c3 乂于x的不等式二 十；：； <C的解集为 .【考点】归纳推理；一元二次不等式的应用.【分析】 观察发现ax2+bx+c>0将x换成-x得a (-x) 2+b ( - x) +c>0,则解集也相应 变化，xC ( 1, 2),贝U xC (2, 1)不等式 $ +。将x换成 工得不等式 呼<C，故工ex+a x+ckaHl cHlk(-1，1),分析可得答案.【解答】 解：由ax2+bx+c>0的解集为(1, 2),得a ( x)

16、 2+b ( x) +c> 0的解集为 (-2, 1),发现一xC (1, 2),贝U xC (2, 1)若关于x的不等式上且旦<C的解集为(- 1, -2，1)，x+a k+c32则关于x的不等式可看成前者不等式中的 x用工代入可得， ait+1 cx+l工则上 e L1, 一看)ud，1),则 xe (-3, - 1) U (1, 2),x3 j故答案为(-3, - 1) U ( 1, 2).11 .若关于x的不等式aw2x2-3x+4Wb的解集恰好为 a, b,那么b - a= . 4【考点】一元二次不等式的解法.【分析】 画出函数f (x)3x2 - 3x+4的图象，可知f

17、 (x) min=1;分类讨论：a> 1时，不4等式awWx2-3x+4Wb的解集分为两段区域，不符合题意；4有aW1vb,再利用f (a) =f (b) =b,解得a, b的值.【解答】 解：画出函数f (x) =x2- 3x+4= (x 2) 2+1的图象，44可得 f (x) mg=f (2) =1,由图象可知：若 a>1,则不等式awWx2-3x+4Wb的解集分两段区域，不符合已知条件，4因此a< 1,此时awx2-3x+4恒成立；又不等式awgx2-3x+4w b的解集为a , b,4，aW1vb, f (a) =f (b) =b,可得，J 2加-3a+4=b2，3

18、上菅b - 3b+4=b.3 9，一.9一 .14 ,、由刃2 3b+4=b,化为 3b2T6b+16=0,解得 b=|或 b=4;当b=时，由-ja2- 3a+4- -1=0,解得a=-1或a=-1,不符合题意，舍去;b=4,此时 a=0;b a=4.故答案为：4.12 .已知正数x, y满足：x2+2xy=3,则z=X+Z_的取值范围是K戈a 1【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】由题意y=2_L>0,则0<x<g 再化简z,结合导数知识，即可得出结论. 2x解：由题意y=>0,贝U 0vxv 灰z= +y-13、，T2',.x>0,A _.z =

19、- 1< 0,X，函数在(0,加)上单调递减,-z>- 3-加，故答案为：z > - 3 - Vs -二、选择题(每小题3分)13. R表示实数集，集合M=x0 <x<2 , N=x|x 2- 2x - 3> 0,则下列结论正确的是 ()A. M? N B. M? (? RN)C. (? M ? ND. (? RM) ? (? rN)【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】易求N=x|x V - 1,或x>3, ? rN=x| - K x< 3,从而可得答案.【解答】 解：,M=x|0 WxW2 , N=x|x 2 - 2x - 3 >

20、0=x|x vT,或 x>3,.? rN=x| - 1<x<3,显然x|0 <x<2? x| 1<x<3，即 M? (? RN),故选：B.14 .集合 M=x|x w 4 且 x C N, P=x|x=ab , a、beM且awb, P 的真子集个数是（）A. 63B. 127 C. 217 1D. 220- 1【考点】子集与真子集.【分析】利用已知条件求出集合巳然后可得真子集个数.【解答】 解：M=x|x w 4 且 x C N, P=x|x=ab , a、bCM 且 awb, P=0, 2, 3, 4, 6, 8, 12.，集合P的真子集个数为：

21、27- 1=127.故选：B.15 .若实数a, b满足a>0, b> 0,且ab=0,则称a与b互补，记（）（a, b） =4/+匕2 - a - b那么（）a a, b） =0是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】我们先判断（）（a, b） =0? a与b互补是否成立，再判断 a与b互补？ （） （a, b） =0是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论.【解答】解：若（）（a, b）刃相+匕2 - a - b=0,则 Ja，b"=（a+b）,两边平方

22、解得ab=0,故a, b至少有一为0,不妨令a=0则可得|b| - b=0,故b>0,即a与b互补；若a与b互补时，易得ab=0,故a, b至少有一为0,若 a=0, b>0,此时 Ja?+b2a b=J b=0,同理若b=0, a> 0,此时J整+匕2 - a - b=、 a=0,即（）（a, b） =0,故（）（a, b） =0是a与b互补的充要条件.故选C.16 .已知命题：“若凶<1,则关于x的不等式（k2-4） x2+（k+2） x-1>0的解集为空集” 那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（）A. 0B. 2C. 3D. 4【

23、考点】命题的真假判断与应用.【分析】根据不等式的解集是空集求出对应的等价条件，让后根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可.【解答】 解：若（k2- 4） x2+ （k+2） x-1>0的解集为空集，当 k2-4=0,即 k=±2 时，若k=2,则不等式等价为 4x-1>0,得x*,解集不是空集，不满足条件.，若k= - 2,则不等式等价为-1>0,得解集是空集，满足条件.，若kw±2,若不等式的解集是空集，则 k2-4<0且4= （k+2） 2+4 （k2-4） < 0,即一2vkv2 且 5k+4k - 12<0,-2

24、<k<2sp|-2<k<|u4-2<k<i即不等式（k2-4） x2+ （k+2） x-1>0的解集为空集的等价条件为- 2<k<4，即原命题等价为若|k| <1,则-2Wkv,即原命题成立，则命题的逆否命题为真命题，5原命题的逆命题等价为若- 2Wkv,则凶<1,则逆命题为假命题， 则命题的否命题为假5命题，故四个命题中假命题的个数为2个，故选：B17.已知a, b都是负实数，则 一互的最小值是()a+2b吗记A. $B. 2 (&T) C. 2a - 1 D. 2 (加+ 1)6【考点】函数的最值及其几何意义.【分析

25、】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值.【解答】解：直接通分相加得2 i *2a b _a +2ab+2b-I =a+2b a+b az+3ab+2b"=1 'ja，3ab+2 y=1-b a因为a, b都是负实数，所以 卷，2b都为正实数那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值 最小值为为2 .二分母有最小值，即 a 2bl有最大值b 卜一+ 3a那么1 - a 2b -可得最小值b 卜一+ 3a最小值：2五-2故选B.三、解答题(7+7+11+12+12)18

26、.设集合P=x|x 2-x-6v 0,非空集合 Q=x|2a wxwa+3,若PU Q=P求实数a的取值 范围.【考点】并集及其运算.【分析】首先，化简集合 P,然后，结合条件 PU Q=P,求解实数a的取值范围.【解答】解：由集合P得：P=x| -2<x< 3,PU Q=P .Q? P,2a=Ca+3 2a> - 2, &+3<3，-1 v a<0,，实数a的取值范围为(-1,0).19 .已知 a, b, x, y 均为正数，awb,求证：旦一 + n（a+b）. x y 工+y【考点】 不等式的证明.222222【分析】 先将（月一+且）（x+y）

27、=a2+J!+Ak_+b2=a2+b2+ （Zl_+_）,利用基本不等 X yk yk y式a2+b2>2ab,即可证得结论.2 k22 v22【解答】 证明：+） （x+y） =a?+ya 4Kb +b2=a2+b?+ （斗工b ） x yx yx y22，a2+b2+2.Jy/ .xb =a2+b2+2ab= （a+b） 2,当且仅当 ay=bx 时取等号.,J x y- + ' J +- /x y x+y20 . (1)解不等式：47Tl +2x < 5(2)解关于x的不等式：->4 (aCR).x 一 £ 上【考点】其他不等式的解法.2x)2【分析】

28、(1)由正二t+2xW5得，¥-1)。，解之即可得到不等式：寸豆一1 +2x5- 2i>0<5的解集；、ax - 1 a ,一 一八 ak- 2)- “忆八1(2) ->-? (a R)?a >0,通过对参数 a 分 a<0、a=0、0vav之、X - Z 2- n2l 21 1. , . , - , a/ - 1分a=、a>五类讨论，可分别求得不等式 的解集.2 2x-22【解答】解：(1)5-l+2xW5,，不等式：7-1 +2x忘5的解集为1，2.,as- 1 a/口 ax _ 1 a ax+2a - 2(2)由>(aCR)得： -且=

29、；=>0.x-22x-22 2(x- 2)±ji22>o.当a=0时，解得：xv 2;“ 一 ax+2a - 2-当 aw 0 时，7k>。? 2G - 2)当a>0时，若2-2=2,即a=1时，解得：xw2; a2若Z 2>2,即 0vavl时，解得：x>2 - 2 或 XV2;a2a若Z-2V2,即a>工时，解得：x<22或x>2;a2a一，一 9当 a<0 时，解得： -2<x<2.a综上所述，a<0时，不等式： 不> =的解集为x| - - 2< x< 2;x- 22aa=0时，不

30、等式： 丁>的解集为x|x2;x -22ax qOvavL时，不等式： 皂的解集为xx >-2或xv2;2，- 22a1 a工_a二之时，不等式： 丁 的解集为x|x W2;2 工 一 22a>三时，不等式：；丁>7；的解集为x| <2或x>2.zx 1 £ 上a21 . (1)关于x的方程x2+2a|x|+4a 2 - 3=0恰有三个不相等的实数根，求实数 a的值.(2)关于x的方程x2+2a|x|+4a 2-3=0在-1, 1上恰有两个不等实数根，求实数 a的值.【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)令f (x) =x2+2a|x|+4a 2- 3,则f (x)为偶函数，根据对称性可知x=0为f(x)的一个零点，从而得出a,再进行验证即可；(2)令f (x) =x2+2a|x|+4a 2- 3,对a进行讨论，得出f (x)的单调性，利用零点的存在性定理列出不等式解出a的范围.【解答】 解：(1)令f (x) =x2+2a|x|+4a 2- 3,则f