常系数线性微分方程基础教学

1、 第第 五五 节节 常系数线性微分方程常系数线性微分方程一、常系数齐次线性方程通解求法一、常系数齐次线性方程通解求法)(1) 1(1)(xfyayayaynnnnn阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式021 yayay二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式)(21xfyayay n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式阶常系数齐次线性微分方程的标准形式01) 1(1)(yayayaynnnn-特征方程特征方程,rxye设解为:将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2

2、12rxearar, 0 rxe故有故有0212arar,2422112, 1aaar特征根特征根021 yayay1. 二阶常系数齐次线性微分方程的通解求二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法法 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2422111aaar,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxrececy )0( 特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根)0(得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexccy ,2121arr,2422112aaar 有一对共轭复根有一对共轭复根,1ir,2

3、ir得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,2121arr)0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexccy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy ,0)()2(2112111 uararuaru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexccy

4、 例例1 1例例2 2.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx 2. n 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yayayaynnnn特征方程为特征方程为0111nnnnararar特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexcxcc)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(11101110注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特

5、征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnycycycy 2211特征根为特征根为irr31, 22, 11故所求通解为故所求通解为).3sin3cos(3221xcxceecyxx解解特征方程为特征方程为:例例3 3 解方程解方程: :, 08 yy, 083r, 0)42)(2(2rrr例例4 4 解方程解方程: :. 0512104)4( yyyyy解解特征方程为特征方程为:. 0512104234rrrr特征根为特征根为. 0)52() 1(22rrr.21, 14, 32, 1irr故所求通解为故

6、所求通解为).2sin2cos()(4321xcxceexccyxx练习练习 求方程的通解：求方程的通解：1.120.yyy2.320.yy3.90.yy4.8160.yyy5.0.yy答案：答案：34121.xxyc ec e23122.xycc e123.sin3cos3 .ycxcx4124.().xycc x e2123335.( cossin)22xxy cee cx cx12( ) (1)yay a yf x二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程120,ya ya y 的 解为y通则则(1)通解结构通解结构,yyy难点难点：如何求特解如何求特解 ？

7、 方法方法：待定系数法：待定系数法.1.()():xmfxepx型二二. 二阶常系数非齐次线性方程解的求法二阶常系数非齐次线性方程解的求法则有特解则有特解:( ).kxmyx qx e不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(. 0k是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(. 1k是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(. 2k( ).mmqxp与 是同次多项式y,)(xqexymxk设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.注意注意xmexpya

8、yay)(21 的特解的特解:例例 写出下列方程的特解形式写出下列方程的特解形式:xexyyy 232. 1.33. 23xeyyyy 解解 1.特征方程为特征方程为:. 1, 3032212rrrr.)(2xecbxaxxy解解 2.特征方程为特征方程为:101333 , 2, 123rrrr.3xaey.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececy是是单单根根，2 ,)(2xebaxxy设代入方程代入方程, 得得xabax 22,121 baxexxy2) 121(于是原

9、方程通解为原方程通解为.) 121(2221xxxexxececy 例例 4 4例例 5.123的通解求方程 yyy解解特征根特征根，2121 rr对应齐次方程通解对应齐次方程通解,221xxececy是根，0不不,ay 设代入方程代入方程, 得得.21a原方程通解为原方程通解为:.21221xxececy例例 6.1232的通解求方程 xxeyyy解解. 1)()(221xxexfxf原方程通解为原方程通解为:.21) 121(2221xxxexxececy型、sin)(cos)()(2xxpxxpexfnlx(1)(2)( )cos( )sin,kxmmx erxxrxx则特解为则特解为:

10、y次多项式，次多项式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max ,10是单根不是根iik解解例例5 5写出下列方程的特解形式写出下列方程的特解形式:.cos2cos. 1xxyy 特征根特征根ir2, 1.3cos21cos21cos2cos)(xxxxxfxxfcos21)(1的特解的特解)sincos(111xbxaxyxxf3cos21)(2的特解的特解)3sin3cos(222xbxay.3sin3cos)sincos(221121xbxaxbxaxyyy.2sin4的通解求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,2sin2cos21xcxcyi 2代入原方

11、程代入原方程:例例6 6是特征方程的单根是特征方程的单根,.2sin)(2cos)(2211xbxaxbxaxyxabxa2cos)248(122.2sin2sin)248(211xxxabxa比较系数得比较系数得:.161, 0, 0,812211baba.2sin)1612cos81xxxxy通解为通解为: yyy四、小结四、小结1. 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)021

12、2arar021 yayay 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 可以是复数）可以是复数） (),()()1(xpexfmx ( );kxmyx e q x2. 非齐次方程求特解非齐次方程求特解: 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k,sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx (1)(2)( )cos( )sin;kxmmyx erxxrxx,10 是单根是单根不是根不是根jjk. 1) 1 () 1 (,2

13、 yyexeyyyxx解解特征方程特征方程, 0122 rr, 121rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexccy设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy 例例9 解方程解方程,21,61 ba代入原方程比较系数得原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexccy 代入初始条件代入初始条件.有有.26)121(61223xxxexexexeey .3x例2求方程y -y -6y=xe 的一个特解形式.3x答: x(ax+b)e04考题2.30yyy例3(03考题)

14、解方程212:xxyc ec e答补充题补充题1(),(0),2()(),().fxffxdxfx dyfxxl例 4已 知可 微 且同 时 使 线 积 分e与 路 径 无 关求:,( )( ).xpqefxfxyx 解( )( ).xfxf xe 1:( ).2xxf xcee其通解1(0),1.2fc由得1( ).2xxf xee2.xxyyyxee 求通解例例5 5解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为12().xycc x e设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxb

15、aaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)(,)(,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexccy .212yyy 求通解求通解例例6 6解解.x方程不显含方程不显含,dydppypy 令令代入方程，得代入方程，得,212ypdydpp ,112ycp 解解得得，, 11 ycp, 11 ycdxdy即即故方程的通解为故方程的通解为.12211cxycc 解法解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方

16、程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程.二、欧拉方程二、欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同作变量变换作变量变换,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,1)1(22222dtdydtydxdtdyxdxddxyd将自变量换为将自变量换为, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd用用d表示对

17、自变量表示对自变量t的求导运算的求导运算.dtdd 则则,dyyx ,)1()(2222yddydddtdydtydyx ,) 2)(1()23(232322333ydddyddddtdydtyddtydyx .) 1() 1()(ykdddyxkk 将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量的常系数的常系数线性微分方程线性微分方程.求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，t把把 换为换为 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例 8求求22334xyxyxyx 的通解的通解解解作变量变换作变量变换,ln xtext 或或t四、小结四、小结

18、1. 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)原方程化为原方程化为,34) 1()2)(1(2tedyyddyddd 即即,332223tedyydyd 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)其特征方程其特征方程, 03223 rrr. 3, 1, 0321 rrr.33213321xcxccececcytt设特解设特解:.2121,2.22xeyaeytt通解通解:.2123321xxcxccy0212arar021 yayay 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir