第4章机械振动 湘潭大学 大学物理 期末复习

1、孟利军孟利军第四章第四章 机械振动机械振动1 1、振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界中的普遍现象。、振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界中的普遍现象。2 2、从物理学角度看，振动和波动是唯一一个横跨物理学所有学科，既、从物理学角度看，振动和波动是唯一一个横跨物理学所有学科，既与经典物理紧密联系，又与现代物理融为一体的概念。与经典物理紧密联系，又与现代物理融为一体的概念。3 3、振动和波动在各分支学科中，具体内容不同、本质不同，但描述形、振动和波动在各分支学科中，具体内容不同、本质不同，但描述形式却具有相似性，并且都具有干涉、衍射等波动特征。式却具有相似性，并且都具有干涉、衍射等波动特

2、征。如：机械波和电磁波：如：机械波和电磁波： 物质波：物质波： )(),(uxtiAetxy)(0),(rpEtietr振动（振动（Vibration） ：任何一个：任何一个具有质量和弹性的系统在其运动具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时都会发生振动状态发生突变时都会发生振动波动：如果空间某处发生波动：如果空间某处发生的振动，以有限的速度向的振动，以有限的速度向四周传播，这种传播着的四周传播，这种传播着的振动称为波动。振动称为波动。如：机械波：机械振动在连续介质中的传播；如：机械波：机械振动在连续介质中的传播；电磁波：电磁振动在真空或介质中的传播；电磁波：电磁振动在真空或介质中的传播；物

3、质波：和实物粒子相联系的波。物质波：和实物粒子相联系的波。广义地说，任何一个物理量广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间做周在某一量值附近随时间做周期性变化都可以叫做振动。期性变化都可以叫做振动。如如弹簧振子、单摆、复摆弹簧振子、单摆、复摆等。等。如位移，电流，电场，磁场，温度等如位移，电流，电场，磁场，温度等机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动；机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动；非线性振动：不能用线性微分方程描述的运动。非线性振动：不能用线性微分方程描述的运动。如：忽略空气阻力的情况下，弹簧振子、单摆、复摆的小幅度振动；如：忽略空气阻力的情况下，弹簧振子、单摆、复摆的小幅度

4、振动；地震仪地震仪原因：原因：a)a)内部：出现非线性回复力；内部：出现非线性回复力；b)b)外部：存在非线性影响，如非线性阻尼力。外部：存在非线性影响，如非线性阻尼力。线性振动：能用线性微分方程描述的运动；线性振动：能用线性微分方程描述的运动；4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征简谐振动是自然界中最简单最基本的振动形式简谐振动是自然界中最简单最基本的振动形式. .任何一个复杂的振动都可以看成若干个或无限多个简谐振动的合成任何一个复杂的振动都可以看成若干个或无限多个简谐振动的合成，任何一个复杂的振动都可以分解为若干个或无限多个简谐振动任何一个复杂的振动都可以分解为若干个或无

5、限多个简谐振动。简谐振动：一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移（角简谐振动：一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移（角位移）随时间按余弦（或正弦）规律变化，即：位移）随时间按余弦（或正弦）规律变化，即： )cos(0tAx则这种振动称为则这种振动称为简谐振动（简谐振动（Simple Harmonic Motion ）。 一、弹簧振子模型（一、弹簧振子模型（Spring oscillator）平衡位置：物体所受合外力为零处。平衡位置：物体所受合外力为零处。022222xdtxdkxdtxdmmaF-运动学方程运动学方程忽略摩擦阻力忽略摩擦阻力kxFmk21 1、运动学特征：、运

6、动学特征： xmka加速度与其位移大小成正比，而方向相反；加速度与其位移大小成正比，而方向相反； 2 2、动力学特征：、动力学特征： kxF物体所受合力大小与位移成正比，而方向相反。物体所受合力大小与位移成正比，而方向相反。 运动学特征和动力学特征可以作为判断一个物体是否做简谐振动的根据。运动学特征和动力学特征可以作为判断一个物体是否做简谐振动的根据。二、两类简谐振动：单摆、复摆二、两类简谐振动：单摆、复摆1 1、单摆（、单摆（Simple pendulum）忽略空气阻力的小角度摆动忽略空气阻力的小角度摆动 o5对对C点的力矩：点的力矩： mglmglMsin转动定律：转动定律： 222222

7、0ddmglJmglmldtdt lg22 2、复摆（、复摆（Physics pendulum) )：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体忽略空气阻力的小角度摆动忽略空气阻力的小角度摆动 o5运动学方程：运动学方程： 222220ddmghJmghJdtdt 2mghJ4-2 4-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程解运动学方程得：解运动学方程得：位移：位移： )cos(0tAx)cos(0tm速度：速度： )sin(0tAv加速度：加速度： )cos(02tAa物体做简谐振动时，其物体做简谐振动时，其速度和加速度都

8、随时间速度和加速度都随时间做周期性变化做周期性变化. . 为积分常数，由初始条件决定，若初始条件：为积分常数，由初始条件决定，若初始条件： 0,A0t00cosAx 00sinvA 22020vxA1000tan ()vx（代回原式决定取舍）（代回原式决定取舍） 0222xdtxd二、描述简谐振动的三个重要参量二、描述简谐振动的三个重要参量1 1、振幅（、振幅（Amplitude）：）：作简谐振动的物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。作简谐振动的物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。给出了振动物体的运动范围，即给出了振动物体的运动范围，即 Ax 反映振动强弱，振幅越大，振

9、动越强，平衡位置速度越大。反映振动强弱，振幅越大，振动越强，平衡位置速度越大。 2 2、周期、频率、圆频率（、周期、频率、圆频率（Period, Frequency, Circular frequency）：）：反映振动的快慢。反映振动的快慢。周期：物体完成一次全振动所需的时间周期：物体完成一次全振动所需的时间 2T弹簧振子：弹簧振子： kmT2单摆：单摆： glT2复摆：复摆： 2JTmgh频率：单位时间内系统所完成的完全振动的次数频率：单位时间内系统所完成的完全振动的次数 21T圆频率：圆频率： 2时间内系统所完成的完全振动的次数时间内系统所完成的完全振动的次数 22T由于周期、频率、圆频

10、率都只与系统性质有关，故称为固有周期、固由于周期、频率、圆频率都只与系统性质有关，故称为固有周期、固有频率、固有圆频率，与系统处于什么振动状态及是否在振动无关。有频率、固有圆频率，与系统处于什么振动状态及是否在振动无关。如：可绕其一端转动的质量为如：可绕其一端转动的质量为m，长度为，长度为l的细直棍的周期为：的细直棍的周期为： glmglmlT3222322例例1 1：一质量为：一质量为m的平底船，其平均水平界面积为的平底船，其平均水平界面积为S，吃水深度为，吃水深度为h，如，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期（水的密度为不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期（水的密度为）()fhy

11、SgmgSgykSg 2kSgghTmmhg3 3、位相、初位相、位相差（、位相、初位相、位相差（Phase, Initial phase, Phase difference）从简谐振动的运动学方程，可以看到，对于振幅和圆频率都已知的谐振从简谐振动的运动学方程，可以看到，对于振幅和圆频率都已知的谐振动中，任意时刻的振动状态完全取决于物理量动中，任意时刻的振动状态完全取决于物理量. .位相：确定振动系统任意时刻运动状态的物理量。位相：确定振动系统任意时刻运动状态的物理量。 初位相：初位相：T=0 时刻的位相。时刻的位相。 000tanxv0t如：弹簧振子如：弹簧振子00t2,0,xA vaA 0

12、2t0,0 xvAa 0t2,0,xA vaA 032t0,0 xvAa可见在一个周期内不同的位相表示不同的振动状态，不同周期内凡位可见在一个周期内不同的位相表示不同的振动状态，不同周期内凡位移和速度都相同的振动状态，它们对应的位相必然相差移和速度都相同的振动状态，它们对应的位相必然相差2的整数倍的整数倍. .由此可见，相位反映了振动的周期性特征。由此可见，相位反映了振动的周期性特征。为了比较两个相同或不同物理量振动步调上的差异，引入为了比较两个相同或不同物理量振动步调上的差异，引入相位差相位差。位相差：两振动位相之差：位相差：两振动位相之差： 12讨论：讨论：1 1、同相（同相（in pha

13、se） k2 , 2, 1, 0k两振动同时达到位移的最大值，同时通过平衡位两振动同时达到位移的最大值，同时通过平衡位置且向同方向运动，它们的振动步调完全一致。置且向同方向运动，它们的振动步调完全一致。2 2、反相、反相 ) 12(k , 2, 1, 0k振动步调完全相反。振动步调完全相反。 0振动振动2 2超前振动超前振动1 1位相位相 或振动或振动1 1落后振动落后振动2 2位相位相 其时间差为：其时间差为： 2Tt3 3、其他、其他 如：比较位移、速度、加速度的位相。如：比较位移、速度、加速度的位相。0cos()xAt00sin()cos()2mvAtvt 200cos()cos()ma

14、Atat 故速度比位移超前位相故速度比位移超前位相/2/2，加速度比位移超前加速度比位移超前或落后或落后 ，加速度比速度超前，加速度比速度超前/2/2或落后或落后3/23/2三、简谐振动的旋转矢量表示法三、简谐振动的旋转矢量表示法为了直观形象的领会简谐振动表达式中为了直观形象的领会简谐振动表达式中 0,A三个物理量的意义，并为后面讨论简三个物理量的意义，并为后面讨论简谐振动的合成提供简洁的方法，引入谐振动的合成提供简洁的方法，引入简谐振动的简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法。 旋转矢量旋转矢量A的末端在的末端在x轴的投影点轴的投影点 P点做简谐振动：点做简谐振动： )cos(0tAx t

15、x x 0 2 2、用旋转矢量法表示位移、速度、加速度：、用旋转矢量法表示位移、速度、加速度：)cos(0tAx)2cos(0tvvm)cos(0taam例例1:1:如图如图m=210-2kg, ,弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cmt=0时时, , x0=-9.8cm, ,v0=0, ,1 1）取开始振动时为计时零点，）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；写出振动方程；2 2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，写为计时零点，写出振动方程出振动方程, ,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx 确定平衡位置取为原点：确定平衡位置取为原点：k=mg/ l 0cos()xAt9.

16、810/0.098kgrad sml由初始条件得由初始条件得2200()0.098vAxm000()0,varctgx由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m可见，对同一谐振动取不同的计时起点可见，对同一谐振动取不同的计时起点 不同，但不同，但 、A不变不变11.622gHzl固有频率固有频率XOmx例例2:如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、一半径为轻弹

17、簧、一半径为R、转、转动惯量为动惯量为I的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物体所组成。使物体略偏离平衡位物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2F moxkJR取位移轴取位移轴ox，m在平衡位置时，在平衡位置时，设弹簧伸长量为设弹簧伸长量为 l，则，则0 lkmg 当当m有位移有位移x时时maTmg RaJRxlkT )(联立得联立得2JkxmaR 0222 xRJmkdtxd 22RJmk kRJmT222 周期：周期：4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量弹簧振子：

18、弹簧振子：动能：动能： )(sin21)(sin212102202222tkAtAmmvEk势能：势能： )(cos21210222tkAkxEp总能量：总能量： 2222212121mpkmvAmkAEEE说明说明 1 1）动能和势能都随时间作周期性变化）动能和势能都随时间作周期性变化（周期减半），总机械能不变，如图。（周期减半），总机械能不变，如图。2 2）动能和势能在一个周期内的平均值）动能和势能在一个周期内的平均值相等，等于总能量的一半；相等，等于总能量的一半；EkATTkAdttkATdttETETTkk21412121)(sin211)(12200220EkAEp21412同样：同

19、样： 3 3）判断实际系统是否作简谐振动，只需证明其是否满足简谐振）判断实际系统是否作简谐振动，只需证明其是否满足简谐振动的动力学特征，即所受力是否为线性回复力。动的动力学特征，即所受力是否为线性回复力。如：系统沿如：系统沿x轴振动，轴振动，势能函数为势能函数为Ep(x) 如果势能曲线存在一个极小值，则该位置就是系统平衡位置。如果势能曲线存在一个极小值，则该位置就是系统平衡位置。证明：取该位置为证明：取该位置为x=0, , 将势能在将势能在x=0附近用级数展开：附近用级数展开： 20220)(21)()0()(xdxEdxdxdEExExpxppp若系统作微振动，有若系统作微振动，有 0)(0

20、 xpdxdEx3为高阶无穷小，略去，得：为高阶无穷小，略去，得： kxxdxEdFxdxEdExExpxppp0222022)()(21)0()(4 4）振动过程中机械能守恒，从力学观点看，为保守系统。由）振动过程中机械能守恒，从力学观点看，为保守系统。由能量守恒可导出运动学方程：能量守恒可导出运动学方程： 0021212222xmkdtxddtdxkxdtdvmvEkxmv通过能量守恒得到动力学方程，有时会使我们的计算得到简化。通过能量守恒得到动力学方程，有时会使我们的计算得到简化。例例1 1：在横截面积为：在横截面积为S的的U形管中有适量液体，液体形管中有适量液体，液体总长度为总长度为l

21、，质量为，质量为m，密度为，密度为，求液面上下起伏，求液面上下起伏的振动频率。（忽略液体与管壁间的摩擦）的振动频率。（忽略液体与管壁间的摩擦）S y y- y0例例2 2：一物体质量为：一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数倔强系数k=25Nm-1，如果起始振动具有势能，如果起始振动具有势能0.06J和动能和动能0.02J，求，求（1 1）振幅；（）振幅；（2 2）经过平衡位置时物体的速度。）经过平衡位置时物体的速度。（1 1）总能）总能221kAEEEpk（2 2）过平衡点时）过平衡点时x=0，此时动能等于总能量，此时动能等于总能

22、量221mvEEEpkmkEEApk08. 0/ )(2smmEEvpk/8 . 0/ )(24-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成如：两列声波同时传到空气中某点，该处空气质点将如何振动呢？如：两列声波同时传到空气中某点，该处空气质点将如何振动呢？一、同方向、同频率简谐振动的合成一、同方向、同频率简谐振动的合成设质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动：设质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动：)cos(1011tAx)cos(2022tAx合成后：合成后： )cos()cos()cos(020210121tAtAtAxxx一个物体它同时参与两个或多个振动，情况会怎么样一个物体它同时参

23、与两个或多个振动，情况会怎么样呢？显然，此时物体应该是两个振动在该点的合成。呢？显然，此时物体应该是两个振动在该点的合成。用旋转矢量法我们容易得到：用旋转矢量法我们容易得到： )cos(0tAx2021012021010coscossinsintanAAAAcos2)cos(22122211020212221AAAAAAAAA可见，合成振动的振幅与两振动可见，合成振动的振幅与两振动位相差位相差有关：有关：1 1）同相（同相（in phase） k2 , 2, 1, 0kmax21AAAA这是合成振幅可能达到的最大值，这时合这是合成振幅可能达到的最大值，这时合成的结果使振动加强，称为成的结果使振

24、动加强，称为振动相长振动相长；2 2）反相（）反相（in opposition） ) 12(k , 2, 1, 0kmin21AAAA， 这是合成振幅可能达到的最小值，这时合成的结果使振动减弱，这是合成振幅可能达到的最小值，这时合成的结果使振动减弱，称为振动相消；称为振动相消；3 3）正交）正交 k2 , 2, 1, 0k2221AAA4 4）其他）其他 minmaxAAA如：两谐振动振动方程分别为：如：两谐振动振动方程分别为：cmtx)610cos(31cmtx)3210cos(42求它们的合成振动。求它们的合成振动。cmtgttAx)34610cos(5)10cos(10例例3 3：N N

25、个同方向，同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初位相分别为个同方向，同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初位相分别为，2 ，3 ，依次相差为，依次相差为 ，振动表达式可写成：，振动表达式可写成：求它们合成振动的振幅和初相。求它们合成振动的振幅和初相。1233cos,cos(),cos(2 ),cos(1) xatxatxatxatN2sin22cos2NRANRA2sin2Ra 2sin2sinNaA )(21NCOM)(21COP) 1(21NMOP振幅振幅初相初相二、同方向、不同频率简谐振动的合成二、同方向、不同频率简谐振动的合成设质点同时参与两个同方向不同频率的简谐振动（初位相相同）：设质点

26、同时参与两个同方向不同频率的简谐振动（初位相相同）：)cos(11tAx)cos(22tAx合成后：合成后： )2cos()2cos(21212ttAx第一个因子第一个因子 )2cos(212tA可看作振幅，作长周期缓慢变化；可看作振幅，作长周期缓慢变化； 第二个因子为频率等于第二个因子为频率等于 212因此，合成结果可看作振幅作周期性变化的准周期振动。因此，合成结果可看作振幅作周期性变化的准周期振动。 的准谐振动。的准谐振动。拍拍( (Beat) )：振幅时大时小的现象。合振幅每变化一个周期称为一拍，：振幅时大时小的现象。合振幅每变化一个周期称为一拍，单位时间内拍出现的次数称为拍频。单位时间

27、内拍出现的次数称为拍频。由于由于 12拍易得：易得： 1212222拍拍可见，拍频等于两个分振动频率之差。可见，拍频等于两个分振动频率之差。1212用旋转矢量法说明：两旋转矢量同方向时，振动加强，振幅最大；反用旋转矢量法说明：两旋转矢量同方向时，振动加强，振幅最大；反方向时，振动减弱，振幅最小。（类比时针和分针）方向时，振动减弱，振幅最小。（类比时针和分针）音叉：一个套上橡皮，同时敲击时可听到音叉：一个套上橡皮，同时敲击时可听到“嗡嗡嗡嗡嗡嗡”的声音。的声音。注：拍现象只限于线性叠加，当两个不同频率的振动系统出现物理上非线性注：拍现象只限于线性叠加，当两个不同频率的振动系统出现物理上非线性耦合

28、时，可能出现耦合时，可能出现“同步锁模同步锁模”，即两个振动系统锁定在同一频率上。惠更，即两个振动系统锁定在同一频率上。惠更斯首先观察到同步锁模现象（发现家中挂在同一木板墙壁上的两个挂钟因相斯首先观察到同步锁模现象（发现家中挂在同一木板墙壁上的两个挂钟因相互影响而同步的现象）。互影响而同步的现象）。激光未锁模激光未锁模激光锁模激光锁模不同纵模的振荡不同纵模的振荡可以彼此独立地可以彼此独立地发生，它们相互发生，它们相互之间的位相关系之间的位相关系对时间来说是随对时间来说是随机变化的，彼此机变化的，彼此之间不能产生持之间不能产生持续的相干作用续的相干作用 众多纵模之间众多纵模之间保持同步振荡保持同

29、步振荡和彼此之间相和彼此之间相互互“干涉干涉”作作用的结果，导用的结果，导致输出激光呈致输出激光呈现为一系列规现为一系列规则的脉冲系列则的脉冲系列 三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 分振动分振动)tcos(Ax101 )tcos(Ay202 0(1)1020 0221 )AyAx(xAAy12 讨论讨论合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线象限内的直线12AA斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移yx)tco

30、s(AAyxS 222122 1020(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移yx)tcos(AAyxS 222122合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴线的椭圆轴为轴线的椭圆)tcos(Ax101 质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。yx)tcos(Ay2101 2(4)1020 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴线的椭圆轴为轴线的椭圆)tcos(Ax101 )tcos(Ay2

31、101 质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。yx2(3)1020 12212 AyAx12212 AyAx = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。0 时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。四、四、垂直方向不同频率垂直方向不同频率简谐振动的合成简谐振动的合成可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2- 1随随t 缓慢变化，合成运动轨迹将按缓慢变化，合成运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。上页图依次缓慢变化。yxA1A2o o- -A2- -A1)()(xyxyt 4023

32、xyyx,:两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小若两振动的频率成整数比若两振动的频率成整数比合成的轨迹合成的轨迹为稳定的闭合曲线，称为为稳定的闭合曲线，称为李萨如图形李萨如图形 x y2 13 13 2 x = 0： y = 08 y 4 y 83 y 2 y y x0五、振动的频谱分析五、振动的频谱分析振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析：谐振分析：若周期振动的频率为若周期振动的频率为 : : 0则各分振动的频率为则各分振动的频率为: : 0、2 0、3 0( (基频基频 , , 二次谐频二次谐频 , , 三次谐频三次谐频 ,

33、), )按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开)t(x)Tt(x 01( )(cossin)2nnnax tan tbn tT 22 任一周期性振动可以分解为有限个谐振动之和。任一周期性振动可以分解为有限个谐振动之和。任一非周期性振动可分解为无限个频任一非周期性振动可分解为无限个频率连续变化的简谐振动之和。率连续变化的简谐振动之和。分立频谱分立频谱连线频谱连线频谱方波的分解方波的分解x00 x10 x30 x50 x1+x3+x5+x0222sinsin3sin5235AAAAxttttttttxo ot t锯齿波锯齿波A 0 03 3 0 05 5 0 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图一个非周期性振动可

34、分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。xo ot t阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o o A一、一、 阻尼振动（阻尼振动（Damped harmonic motion）阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动（减幅振动）。能量随时间减小的振动称阻尼振动（减幅振动）。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出

35、去。辐射出去。4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振如：音叉如：音叉, ,不仅因为摩擦而消耗能量，同时也因为辐射声波而减少能量。不仅因为摩擦而消耗能量，同时也因为辐射声波而减少能量。注：通常将辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼处理。注：通常将辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼处理。阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子运动学方程振子运动学方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr 022022 xdtdxdtxd 弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻

36、力仅与速度的一次方成正比。对物体的阻力仅与速度的一次方成正比。 阻力系数阻力系数mk 0 系统固有角频率系统固有角频率m2 阻尼系数阻尼系数弱阻尼弱阻尼每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。0 )tcos(eAxt00 220 0220222 T阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期弱阻尼弱阻尼( )x tt临界阻尼临界阻尼t)(tx临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来到平衡位置并停下来0 te )tcc(x 21

37、过阻尼过阻尼t)(tx过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置回到平衡位置0 t )(t )(ececx20220221 在过阻尼和弱阻尼情况下，振动物体都需要较长时间才能静止，在过阻尼和弱阻尼情况下，振动物体都需要较长时间才能静止，而只有在临界阻尼情况下，物体才能最快的回到平衡位置。而只有在临界阻尼情况下，物体才能最快的回到平衡位置。 二、二、 受迫振动（受迫振动（Forced oscillation）受迫振动受迫振动: : 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼

38、谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程202cosd xdxmkxFptdtdt tpcosfxtddxtdxd 20222 令令mk 0 周期性外力周期性外力策动力（策动力（Driving force）ptcosFF0 2m00Ffm稳定解稳定解)ptcos(Ax (1)频率频率: : 等于策动力的频率等于策动力的频率p p (2)振幅振幅: :00022222 1/20(, )()4fAffppp(3)初相初相: :2202pptg 特点特点: :稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化00(cos)cos()txA etApt阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动注：受迫振动在稳定之前一个周期内，阻尼力总是注：受迫振动在稳定之前一个周期内，阻尼力总是做负功，而策动力有时做正功，有时做负功，但总做负功，而策动力有时做正功，有时做负功，但总功肯定为正功，并且要大于阻尼力作功的绝对值。功肯定为正功，并且要大于阻尼力作功的绝对值。三、三、共振（共振（Resonance）在一定条件下在一定条件下, , 振幅出现极大值振幅出现极大值, , 振动剧烈的现象。振