高等代数选讲数域P上的一元多项式环文档资料

1、1目录 下页 返回 结束 2一、数域的定义一、数域的定义 ,0,1.,( ,),01,ppa bp a bab abpabppb 设设 是是复复数数集集的的一一个个非非空空子子集集 且且如如果果对对任任意意可可以以相相同同 都都有有且且当当时时那那么么 就就称称为为 定定义义一一个个数数域域. ., ,q r c全全体体有有理理数数组组成成的的集集合合 全全体体实实数数组组成成的的集集合合, ,全全体体复复数数组组成成的的集集合合 例例如如有有理理数数域域, ,实实数数域域, ,都都是是数数域域. .分分别别称称为为, ,分分别别用用字字母母复复数数域域来来代代表表. .,全全体体整整数数组组

2、成成的的集集合合 不不是是数数域域. .因因两两个个整整数数之之商商不不一一定定 是是整整数数. .首页 上页 下页 返回 结束 3二、例二、例1 2 | ,( 2)paba bqpq 设设则则 是是数数域域 这这 域域用用例例个个数数表表示示. .0,1.p 证证 显显然然2,2,abcdp (2)(2)()() 2,abcdacbdp (2)(2)(2)() 2,abcdacbdadbcp 20,20,abab 设设则则,20,0,0,20,;abbaab 事事实实上上 若若则则当当时时 有有于于是是与与假假设设矛矛盾盾首页 上页 下页 返回 结束 42.与与是是无无理理数数的的事事实实矛

3、矛盾盾0,2,abqb当当时时 有有首页 上页 下页 返回 结束 2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab 而而 22222222acbdadbcpabab 22(2)() 22acbdadbcab ( 2)2 | ,.qaba bq 故故是是数数域域5首页 上页 下页 返回 结束 ()| ,.qpabp a bq p 同同样样可可证证是是素素数数是是数数域域 任任何何数数域域都都包包含含有有定定理理理理数数域域. .6首页 上页 返回 结束 三、一元多项式的基本概念三、一元多项式的基本概念其中其中 称为系数在数域称为系数在数域p中的中的一元多一元多项式项式, 或者简称为数域或者简

4、称为数域p上的一元多项式上的一元多项式.01,na aap 1110 (1)nnnna xaxa xa 定义定义2 设设n是一非负整数是一非负整数, 形式表达式形式表达式0(1),().iiia xaiai 在在多多项项式式中中称称为为为为 次次项项的的系系数数叫叫做做或或次次项项零零次次项项常常数数项项 常用常用 f (x), g (x), ，或，或 f, g, 来表示一元多来表示一元多项式项式.设设p是一个数域是一个数域, x是一个符号是一个符号(或称文字或称文字).7四、次数公式四、次数公式定理定理 设设 f (x), g(x)是数域是数域p上的两个非零多项式上的两个非零多项式, 则则(

5、i)( )( )0,( ( )( )max( ( ( ), ( ( )f xg xf xg xf xg x 当当时时 (ii)( ) ( )( )( ( )f x g xf xg x 定义定义 所有系数在数域所有系数在数域p上的一元多项式的全体上的一元多项式的全体, 称为数域称为数域p上的上的一元多项式环一元多项式环, 记为记为px,p称为称为px的的系数域系数域.8222 1. ( ), ( )( ),: ( )( )( )( )( )( )0.f xg xh xfxxgxxhxf xg xh x设设和和是是实实数数域域上上多多项项式式 证证明明 若若则则 2. ( ), ( )( ).f

6、xg xh x求求一一组组满满足足上上式式的的不不全全为为零零的的复复系系数数多多项项式式和和9 ( ), ( ) , ( )0,( ), ( ) , ( )( ) ( )( ) (1)( ( )( ( )(0).(f xg xp xg xq x r xp xf xq x g xr xr xg xr x 带带余余除除设设则则唯唯一一存存在在使使得得其其中中或或者者法法 定定理理 (1)式中的式中的g(x)与与r(x)分别称为分别称为g(x)除除 f (x)所得的所得的商式商式与与余式余式.五、带余除法五、带余除法10322( )3456, ( )31,( )( ),.f xxxxg xxxg

7、xf x 设设用用去去 除除求求商商式式余余式式 例例和和 231xx ( )g x323456xxx ( )f x32393xxx13 21386xx2133913xx317x ( )r x ( )q x 3x解解故商式故商式余式余式( )313,q xx ( )317.r xx ( )(313) ( )(317).f xxg xx于是于是112322111 xx+1x +xx 求求一一个个次次数数最最低低的的实实系系数数多多项项式式， 使使其其被被除除余余式式为为， 例例 被被除除余余式式为为。12六、整除概念及性质六、整除概念及性质 定义定义 设设 f (x), g(x)px, 如果存在

8、如果存在h(x)px,使使 f (x) = g(x)h(x)则称则称g(x)整除整除 f (x), 记为记为g(x)| f (x), 并称并称g(x)是是 f (x)的的因式因式, f (x)是是g(x)的的倍式倍式.当当g(x)不整除不整除 f (x)时时, 记为记为注注: (1) “整除整除”只是多项式间的一种关系而不是一只是多项式间的一种关系而不是一种运算种运算. (2) 任何一个多项式任何一个多项式g(x)都能整除零多项式都能整除零多项式.(3) 零多项式能且只能零多项式能且只能整除零多项式整除零多项式.13 (4) 零次多项式零次多项式(即数域即数域p中非零数中非零数)是任何多项式是

9、任何多项式的因式的因式, 且反之亦然且反之亦然. ( ), ( ) , ( )0,( )|( )1( (.f xg xp xg xg xf xg xf x 设设则则除除的的余余理理式式为为零零定定14 1. ( )|( ), ( )|( ) ( )( ), .f xg xg xf xf xcg xc 如如果果，则则为为非非零零常常数数多项式的整除有如下的一些多项式的整除有如下的一些基本性质基本性质:2. ( )|( ), ( )| ( ), ( )| ( ).f xg xg xh xf xh x若若则则(整除的传递性整除的传递性)1122 3. ( )|( ), ( ) , 1,2, ,( )

10、|( )( )( )( )( )( )iirrf xg xu xp xirf xu x gxux gxux gx 若若则则4. ().零零次次多多项项式式 即即非非零零常常数数 能能整整除除任任一一多多项项式式5. , ( )|( ).cc f xf x设设 是是非非零零常常数数 则则有有151|1| .dnxxd n 证证明明：例例1 1|,|nnnnxa xaxa xa 证证明明：又又问问何何时时例例2 2？42331322=mnt 求求g g( (x x) ) x x + +x x + +1 1 整整除除f f( (x x) )= =x xx xx x 的的条条件件. . ( (或或者者

11、 例例3 3g g( (x x) ) x x + +x x+ +1 1）16七、最大公因式七、最大公因式( ), ( ),( )|( ),( )|( ),( )( )( ).f xg xxf xxg xxf xg x 设设是是两两个个多多项项式式 如如果果多多项项式式且且则则称称与与的的一一个个公公因因式式为为( ), ( ) ,( ) ,: 1) ( )|( ), ( )|( ); 2) ( )|( ), ( )|( ),( )| ( ).(6)( )( ).f xg xp xd xp xd xf x d xg xh xf x h xg xh xd xd xf xg x定定义义 设设如如果果

12、有有满满足足下下列列条条件件若若都都有有则则称称是是与与的的一一个个最最大大公公因因式式 例如例如 对于任意多项式对于任意多项式 f (x), f (x)就是就是 f (x)与与0的的一个最大公因式一个最大公因式. 特别地特别地, 两个零多项式的最大公因式就是两个零多项式的最大公因式就是0(唯一唯一). 17211( )( )( )( ),( ( )( )ssssssrxqx rxr xr xrx 11( )( ) ( )0.sssrxqx r x 312112( )( )( )( ),( )( )ssssssrxqx rxrxrxrx 111( )( ) ( )( ),( ( )( ( )f

13、 xqx g xr xr xg x 21221( )( ) ( )( ),( ( )( ( )g xqx r xr xr xr x 132332( )( ) ( )( ),( ( )( ( )r xqx rxrxrxrx 211( )( )( )( ),( ( )( )iiiiiirxqx rxr xr xrx 这种方法称为这种方法称为辗转相除法辗转相除法.18即两个多项式的最大公因式即两个多项式的最大公因式, 如不计零次因式的差异如不计零次因式的差异是唯一的是唯一的. 当当 f (x), g(x)不全为零时不全为零时, 用记号用记号( f (x), g(x)来表来表示示 f (x)和和g(x

14、)的的首项系数为首项系数为1的最大公因式的最大公因式. 由最大公因式定义可知由最大公因式定义可知, 若若 都是都是 f (x)与与g(x)的最大公因式的最大公因式, 则则 于是由整除的性质于是由整除的性质, 12( ),( )dx dx1221( )|( ),( )|( )dxdxdxdx且且，12( )( )0,. dxcdxccp，19 定理定理2 对任意对任意 f (x), g(x)px, 其最大公因式其最大公因式d(x)存在存在, 且有且有u(x), v(x)px, 使使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) (2)1) 适合定理条件的适合定理条件的u(x), v(

15、x)不是唯一的不是唯一的.2) 对任意的对任意的u(x), v(x), 由由( )( ) ( )( ) ( )d xu x f xv x g x ( )( ), ( ).d xf xg x是是的的最最大大公公因因式式 20八、互素八、互素定义定义7 如果如果( f (x), g(x)=1, 则称则称 f (x)与与g(x)互素互素. 显然显然, f (x)与与g(x)互素互素 它们除零次因式外不再它们除零次因式外不再有其它公因式有其它公因式.几个简单事实几个简单事实: (1) 若若 f (x)与与g(x)互素互素, 则则 f (x)与与g(x)不全为零多项不全为零多项式式. (2) 零多项式与

16、零次多项式互素零多项式与零次多项式互素, 且只与零次多项且只与零次多项式互素式互素.(3) 零次多项式与任意多项式互素零次多项式与任意多项式互素.21( ), ( ) ,( ( ),( )1( ), ( ) ,( ) ( )( ) ( )13 f xg xp xf xg xu x v xp xu x f xv x g x 设设则则存存理理在在定定使使 ( ( ), ( )1,( )|( ) ( ),( )| (4). f xg xf xg x h xf xh x 定定理理若若且且则则121212( )|( ),( )|( ),( ),( )1,( )( )|( ). fxg xfxg xfxfxfx fxg x 若若 推推论论1 1则则 (