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1、物理学物理学第五版第五版1刚体的转动第 四 章 授课教师：张授课教师：张 伟伟email: 西南科技大学理学院西南科技大学理学院物理学物理学第五版第五版2物理学物理学第五版第五版3刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变在力的作用下不发生形变的物体在力的作用下不发生形变的物体 刚体是理想模型刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的刚体模型是为简化问题引进的说明：说明：物理学物理学第五版第五版4 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动平动：刚体中所有点的运动轨迹：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同都保持完全相同 特点特点：各点运动状态一样，如：各点运动状

2、态一样，如： 等都相同等都相同a、v4.1 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版5转动转动：分：分定轴定轴转动转动和非定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动刚体的平面运动 物理学物理学第五版第五版6刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成物理学物理学第五版第五版7x 定轴转动的描述定轴转动的描述z参考平面参考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标 约定约定r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方

3、向螺旋方向参考轴参考轴物理学物理学第五版第五版8角加速度角加速度t dd 刚体刚体定轴定轴转动转动( (一维转动一维转动) )的转的转动方向可以用角速度的正、负来表动方向可以用角速度的正、负来表示示. .00 在在冲击冲击等问题中等问题中 l常量常量3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律0mjl ，则，则若若=常量常量物理学物理学第五版第五版67例如：地球所受的力矩近似为零，地球自转角速度的大小方向例如：地球所受的力矩近似为零，地球自转角速度的大小方向均不变。地球赤道平面与黄道平面（公转轨道）的夹角均不变。地球赤道平面与黄道平面（公转轨道）的夹角 保持不变。保持不变。地

4、球在轨道上不同位置地球在轨道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季，形成春、夏、秋、冬四季的变化。的变化。 7223角动量守恒的第一类现象角动量守恒的第一类现象j 不变，角速度不变，角速度 的大小和方向均不变的大小和方向均不变物理学物理学第五版第五版68角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象乘积乘积保持不变保持不变变小则变小则变大，变大， 变大则变大则变小变小收臂收臂大大小小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂张臂大大小小物理学物理学第五版第五版69花样滑冰花样滑冰大大小小张臂张臂先使自己转动起来先使自己转动起来收臂收臂大大小小角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一

5、类现象乘积乘积保持不变保持不变变小则变小则变大，变大， 变大则变大则变小变小物理学物理学第五版第五版70花样滑冰花样滑冰物理学物理学第五版第五版71茹科夫斯基凳实验茹科夫斯基凳实验物理学物理学第五版第五版72直升机中的角动量守恒直升机中的角动量守恒（1）演习中直升机尾翼突然断裂演习中直升机尾翼突然断裂（2）直播直升机折断尾翼坠毁直播直升机折断尾翼坠毁物理学物理学第五版第五版73直升机中的飞行原理直升机中的飞行原理物理学物理学第五版第五版74物理学物理学第五版第五版75陀螺仪陀螺仪定轴陀螺仪定轴陀螺仪偏轴陀螺仪偏轴陀螺仪物理学物理学第五版第五版76被中香炉与陀螺仪被中香炉与陀螺仪-古人的智慧古人

6、的智慧物理学物理学第五版第五版77自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等物理学物理学第五版第五版78vo以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计物理学物理学第五版第五版79子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒

7、；物理学物理学第五版第五版80voomptr圆圆锥锥摆摆圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒物理学物理学第五版第五版81随堂小议（1）（2）（3）（4）两人同时到达；两人同时到达；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握绳不动者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。以上结果都不对。（请点击你要选择的项目）（请点击你要选择的项目）两人质量相等两人质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线终点线终点线滑轮质量滑轮质量既忽略既忽略轮绳摩擦轮绳摩擦又忽略又忽略讨讨 论论物理学物理学第五版第五版82（

8、请点击你要选择的项目）（请点击你要选择的项目）两人质量相等两人质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线终点线终点线滑轮质量滑轮质量既忽略既忽略轮绳摩擦轮绳摩擦又忽略又忽略讨讨 论论小议链接1（1）（2）（3）（4）两人同时到达；两人同时到达；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握绳不动者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。以上结果都不对。物理学物理学第五版第五版83系统的初系统的初态角动量态角动量系统的末系统的末态角动量态角动量不论体力强弱，不论体力强弱，两人等速上升。两人等速上升。可应用可应用质点系角动量定理质点系角动量定理进行具体进

9、行具体分析讨论。分析讨论。分析：分析：质点系质点系m1、m2，忽略轮、绳质，忽略轮、绳质量及轴摩擦。量及轴摩擦。若若 ，系统受合外力矩为零，系统受合外力矩为零，角动量守恒角动量守恒。12mm 22110mrmr vv21 vv若若 ，系统受合外力矩不为零，系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。角动量不守恒。12mm 同高从静态开始同高从静态开始往上爬往上爬1v2v1m2mr物理学物理学第五版第五版84 试求：当绳子到达试求：当绳子到达b点（此时绳子被拉紧）点（此时绳子被拉紧）时的速度。时的速度。 例例 p为一水平面，一小球系于长度为为一水平面，一小球系于长度为 l 的细绳的一端，绳的另一端固定于

10、的细绳的一端，绳的另一端固定于o点，开点，开始时绳子是松弛的，球位于始时绳子是松弛的，球位于a点，速度为点，速度为 ，其方向与其方向与ao垂直，球与垂直，球与o点的距离为点的距离为d 。v0解：由角动量守恒得解：由角动量守恒得=mv d0mvdl=v d0vv0voad物理学物理学第五版第五版85 例例 一长为一长为 l , 质量为质量为m 的竿可绕支点的竿可绕支点o自由转自由转动一质量为动一质量为m 、速率为、速率为v 的子弹射入竿内距支点的子弹射入竿内距支点为为a 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为300 . 问子弹的初速率为多问子弹的初速率为多少少? ?解解子弹、竿组成一系统，应用角动

11、量守恒子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamv物理学物理学第五版第五版86oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，e e =常量常量物理学物理学第五版第五版87例例 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，转速一起转动。如图所示，a和和b两飞轮的轴杆在同两飞轮的轴杆在同一中心线上，一中心线上，a轮的转动惯

12、量为轮的转动惯量为ja=10kg m2，b的的转动惯量为转动惯量为jb=20kg m2 。开始时。开始时a轮的转速为轮的转速为600r/min，b轮静止。轮静止。c为摩擦啮合器。求两轮啮合为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？ a acbacb物理学物理学第五版第五版88解解babbaajjjj 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是babbaajjjj以各量的数值代入得以各量的数值代入得srad /9.20 a acbacb物理学物理学第五版第五版89或共同转速为或共同转速为min/20

13、0 rn 在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为失的机械能为jjjjjebababa42221032. 1212121物理学物理学第五版第五版90 例例 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心的均匀细杆，可绕过其中心 o并与纸面垂直的轴在竖并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动直平面内转动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点o为为 l/4 处，并背离点处，并背离点o 向细杆的端点向细杆的端点a 爬

14、行设小虫与细杆的质量均为爬行设小虫与细杆的质量均为m问：问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0vl/4o物理学物理学第五版第五版91220)4(1214lmmllmvl0712 v解解虫与杆的碰撞前后，系虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒统角动量守恒物理学物理学第五版第五版92l0712 v由角动量定理由角动量定理tjtjtlmddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg物理学物理学第五版第五版93 例例一杂技演员

15、一杂技演员m由距水平跷板高为由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端处自由下落到跷板的一端a，并把跷，并把跷板另一端的演员板另一端的演员n弹了起来问演员弹了起来问演员n可弹起多高可弹起多高? ?ll/2cabmnh物理学物理学第五版第五版94设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为质量为 ，跷板可绕中部支撑点，跷板可绕中部支撑点c 在竖直平面内在竖直平面内转动，演员的质量均为转动，演员的质量均为m假定演员假定演员m落在跷板上，与跷板的碰撞是落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性完全非弹性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前m落在落在 a点的速度点的速度21m)2( ghv碰撞后的瞬间，碰撞

16、后的瞬间，m、n具有相同的线速度具有相同的线速度2lu 物理学物理学第五版第五版95m、n和跷板组成的系统，角动量守恒和跷板组成的系统，角动量守恒22m21121222mllmlmujlmvll/2cabmnh物理学物理学第五版第五版96lmmghmmllmlm)6()2(621222122mv解得解得演员演员n以以u起跳，达到的高度：起跳，达到的高度：hmmmglguh2222)63(8222m21121222mllmlmujlmv物理学物理学第五版第五版97例例一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴端的竖直固定光滑轴 转动

17、，棒的质量为转动，棒的质量为 长度为长度为 对轴的转动惯量为对轴的转动惯量为 ，初始，初始时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，子弹的质量一端，并留在棒中，子弹的质量 速率速率 okgm5 . 1kgm020. 0ml0 . 132mlj 1400sm问问（1）棒开始和子弹一起转动时角速度）棒开始和子弹一起转动时角速度 ？ （2）若棒转动时受到大小为）若棒转动时受到大小为 的恒的恒阻力矩作用，棒能转过的角度阻力矩作用，棒能转过的角度 ？mnmr0 . 4jm光o物理学物理学第五版第五版98（2）转动定律）转动定律jm光转动

18、定律：转动定律：dtdddlmjmr)(2dlmjdmr)(200（1）角动量守恒）角动量守恒20lmjlm物理学物理学第五版第五版99一根质量为一根质量为 m、长度为、长度为 l的匀质细直棒，平放在水平桌面上。若它与桌面间的的匀质细直棒，平放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为滑动摩擦系数为 ，在，在 时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为始角速度为 0，则棒停止转动所需时间为，则棒停止转动所需时间为 。例例物理学物理学第五版第五版100 求：棒从碰撞求：棒从碰撞开始到停止转动所开始到停止转动所用的时间。用的时间。

19、例例 质量为质量为m1,长度为长度为 l 的均匀细棒，静止平的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可的水平桌面上，它可绕端点绕端点o转动。另有一水平运动的质量为转动。另有一水平运动的质量为m2的的小滑块，它与棒的小滑块，它与棒的a端相碰撞，碰撞前后的速端相碰撞，碰撞前后的速度分别为度分别为及及 v1v2。amvl1v21m2o物理学物理学第五版第五版10113=jm1l2+=jm v l21m v l22=+mv21mvl123()aomvl1v21m2解：由角动量守恒得解：由角动量守恒得im v l21=m v l22棒上棒上dx段与桌面间的摩擦力为：段与桌面

20、间的摩擦力为：gxfmdm1=ld=dmfdx=gxmdm1lxdx段所产生摩擦力力矩为：段所产生摩擦力力矩为：物理学物理学第五版第五版102 m0=gxmdm1lxl12=gmm1l=+mv21mvl122()mt摩擦力力矩为：摩擦力力矩为：dm=gxmdm1lx由角动量原理：由角动量原理： m0=ttdmt013m1l2=)=13m1l2+mv21mvl123(.所用的时间为：所用的时间为：物理学物理学第五版第五版103例例一匀质的薄圆盘状飞轮，质量为一匀质的薄圆盘状飞轮，质量为mm，半径为，半径为r r，绕过，绕过盘心且垂直盘面的竖直轴转动，轴的摩擦忽略不计。当盘心且垂直盘面的竖直轴转动

21、，轴的摩擦忽略不计。当它以初角速度它以初角速度0 0转动时，由于上下表面受到空气的摩转动时，由于上下表面受到空气的摩擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表面任擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表面任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度大意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度大小，比例常数为小，比例常数为k k，求它一共能转多少圈？，求它一共能转多少圈？ 解此题的关键解此题的关键是求出是求出摩擦阻力矩摩擦阻力矩。为此首先要明确摩擦阻力矩。为此首先要明确摩擦阻力矩有什么特点？有什么特点？ 因为单位面积受到的摩擦阻力，正比于该点处的线速度，所因为单位面积受到的摩擦阻力

22、，正比于该点处的线速度，所以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力大小一样，方向不同，但它们产生的大小一样，方向不同，但它们产生的力矩方向相同力矩方向相同。 转动过程中，由于角速度转动过程中，由于角速度不断变化，所以同一点处摩擦力不断变化，所以同一点处摩擦力的大小也要随时间变化，是一个的大小也要随时间变化，是一个变力矩变力矩的问题。的问题。方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。物理学物理学第五版第五版104方法一：应用转动定律方法一：应用转动定律rdrf单位面积元单位面

23、积元所受的摩擦力为：所受的摩擦力为：rkkf圆环上所有面元的力矩方向相同，即均向里，圆环上所有面元的力矩方向相同，即均向里，drrkrdrrrkdm322rdrrkdmm032224rk物理学物理学第五版第五版105由转动定律由转动定律ddjdddtdjjmrdrf4rkm221mrj 00202mddkr202 krm22042krmn物理学物理学第五版第五版106方法二、角动量定理方法二、角动量定理12d21lltmtt因为力矩和角动量方向在同一直线上，因为力矩和角动量方向在同一直线上，000jmdtt4rkm004jdtkrt02421mrkr)(ddt 物理学物理学第五版第五版107本

24、章主要讨论了本章主要讨论了刚体的定轴转动刚体的定轴转动及其规律，并学习了及其规律，并学习了刚体的定轴转动定律，角动量和动能定理、角动量守刚体的定轴转动定律，角动量和动能定理、角动量守恒和机械能守恒定律。恒和机械能守恒定律。1. 理解理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.2. 理解理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.3. 理解理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题动情况下的角动量守恒问题.4. 理解理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律的问题中正确地应用机械能守恒定律.物理学物理学第五版第五版108刚刚 体体 的的 转转 动动刚体刚体刚体