函数与极限连续PPT课件

1、 设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2-u1就叫做变量u 的增量，记作Du ，即Du =u2-u1 1.3.1 函数的连续性f(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0 xyO 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x 在这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)，因此函数y的对应增量为 Dy = f(x0+Dx)- f(x0)一、函数连续的概念变量的增量:第1页/共48页 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果当自变量的增量Dx =x-x0趋于零时，对应的函数的增量Dy = f(x0+

2、Dx)- f(x0)也趋于零，即那么就称函数y=f(x)在点x0处连续函数连续的定义: :等价关系：0limDx f(x0+Dx)- f(x0)=0，0limDx f(x0+Dx)- f(x0)=00limxx f(x)=f(x0)第2页/共48页 用用e-de-d语言叙述的函数的连续性定义：语言叙述的函数的连续性定义： 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果对于任意给定义的正数e ，总存在着正数d ，使得对于适合不等式|x-x0|d 的一切x ，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-f(x0)|0，a 1)；对数函数：log ax (a0，a 1)； 证明 指数函数ax

3、(a0，a1)对于一切实数x 都有定义，且在区间(-，+)内是单调的和连续的，它的值域为(0，+)由定理4，对数函数logax (a0，a1)作为指数函数ax的反函数在区间(0，+)内单调且连续4初等函数的连续性幂函数：xm 第26页/共48页 因此，幂函数xm可看作是由y=au ，u=m logax 复合而成的，由此，根据定理6，它在(0，+)内连续如果对于m取各种不同值加以分别讨论，可以证明幂函数在它的定义域内是连续的幂函数连续性的证明： 幂函数y=x m 的定义域随m 的值而异，但无论m 为何值，在区间(0，+)内幂函数总是有定义的可以证明，在区间(0，+)内幂函数是连续的事实上，设x0

4、，则y=x m=xaalogm，第27页/共48页 结论1：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的结论2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的注：所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间第28页/共48页 如果f(x)是初等函数,且x0是f(x)的定义区间内的点,则初等函数的连续性在求函数极限中的应用：0limxxf(x)=f(x 0) 例如 点x0=0是初等函数f(x)=21 x-的定义区间-1，1上的点，所以0limx21 x-=1=1； 又如 点x 0=2 是初等函数f(x)=ln sin x 的一个定义区间（0，）内的点，所以2limx ln sin x=ln sin2 =0第29页/共

5、48页 举例 : 解 解 例 5 求0limxxx112-+0limxxx112-+0limxxx112-+=0limx) 11() 11)(11(222+-+xxxx=0limx112+ xx=20=0 例 6 求0limxxxa)1 (log+0limxxxa)1 (log+0limxxxa)1 (log+=0limxxax1)1 (log+0limxxax1)1 (log+=log a e =aln1第30页/共48页 解 令a x -1= t， 则x=log a (1+t)，当x 0时t 0，于是=lna . 例 7 求0limxxax1-0limxxax1-0limxxax1-=)1

6、 (loglim0ttat+第31页/共48页 1.3.3 闭区间上的连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理举例 ： 最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x 0I，使得对于任一x I都有f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)，则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值） 函数f(x)=1+sin x在区间0，2上有最大值2和最小值086420246801222.85361e-0061sin ()x6.27681-6.28319x012第32页/共48页 xyO1-1 函数f(x)=sgn x 在区间(-，+)内有最大值 1和最小值-1又如 ： 在

7、开区间(0，+)内，sgn x的最大值和最小值都是1第33页/共48页 但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值xyOy=xab又如 ：第34页/共48页 注1 ： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，那么至少有一点x1a，b，使f(x1)是f(x)在a，b上的最大值，又至少有一点x2a，b，使f(x2)是f(x)在a，b上的最小值abxyf(x1)xx1Of(x2)x2y=f(x) 定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值 和最小值第35页/共48页 注2： 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就

8、不一定有最大值或最小值 在开区间(a，b) 考察函数y=x 函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值xyOy=xab第36页/共48页 在闭区间0，2 考察函数yx2112O 函数 y=f(x)在开区间0，2内既无最大值又无最小值 y=f(x)= +-=+-. 21 , 3, 1 , 1, 10 , 1xxxxx第37页/共48页 证明 设函数f(x)在闭区间a，b上连续由定理1，函数f(x)在区间a，b上有最大值M 和最小值m ，使任一x a，b满足 mf(x)M上式表明，f(x)在a，b上有上界M和下界m ，因此函数f(x)在a，b上有界 定理2（有界性定理）在闭区间上连续

9、的函数一定在该区间上有界第38页/共48页 二、零点定理与介值定理零点： 如果x0使f(x0)=0，则x0称为函数f(x)的零点abOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b)第39页/共48页 定理2（零点定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续， 且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0），那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x (ax0， f(1)=-20根据零点定理，在(0，1)内至少有一点x ，使得f(x)=0，即 x 3-4x 2+1=0 (0 x1)这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有一个根是x 第41页/共48页

10、 定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点x ，使得f(x)=C (axb) 连续曲线弧y= =f(x)与水平直线y= =C至少交于一点.abOxyy=f(x)f(a)f(b)x1xx2y= CC 介值定理的几何意义：第42页/共48页 介值定理的证明 设j(x)=f(x)-C，则j(x)在闭区间a，b上连续，j(a)=A-C与j(b)=B-C异号根据零点定理，在开区间(a，b)内至少有一点x 使得j(x)=0 (axb)但j(x)=f(x)-C，因此由上式即得f(x)=C (axb)第43页/共48页 abOxyy=f(x)mMx1xx2y= CmCMC推论的几何意义： 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值第44页/共48页本节总结 9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10. 了解连续函数的性质和初等函数一的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质 第45