初等函数微分PPT课件

1、一、和、差、积、商的求导法则定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu第1页/共35页证(1)、(2)略.证(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()

2、()()()()(lim0 第2页/共35页hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf第3页/共35页注（1）即是和、差的导数等于导数的和、差（2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数（3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方 （1）可推广到任意有限个可导函数的情形; )( )(11 niiniixfx

3、f （2）也可推广到任意有限个函数的情形第4页/共35页wuvwvuvwuuvw )(; )()()()()()()()( )(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf 作为（2）的特殊情况uccucv )(，则，则若若);( )(xfCxCf 或或即常数因子可以提到导数符号的外面)( )(11xfkxfkniiiinii 第5页/共35页即线性组合的导数等于导数的线性组合说明求导是一线性运算作为（3）的一种特殊情况，2)1(, 1vvvu 则则若若二、例题分析例1.sin223的导数的导数求求xxxy 解23xy x4 .cos x 第6页/共35页例2

4、.ln2sin的导数的导数求求xxy 解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例3.tan的导数的导数求求xy 解)cossin()(tan xxxy第7页/共35页xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得.csc)(cot2xx 例4yxy 求求sec解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得xxxcotcsc)(csc 第8页/共

5、35页例5).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解,0时时当当 x, 1)( xf,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 第9页/共35页,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf第10页/共35页三、反函数的导数定理.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间

6、在某区间如果函数如果函数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.第11页/共35页例6.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x 同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc第12页/共35页例7.log的导数的导数求函数求函数xya 解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax, 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(

7、1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 特别地.1)(lnxx 第13页/共35页四、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数基本初等函数经有限次四则运算的结果的导数，但是像12sin,tanln22 xxexx等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数先看一个例子例8 yxy ，求，求22)1(第14页/共35页22)1(xy 4221xx 344xxy )1(42xx 这里我们是先展开，再求导，若像10002)1(xy 求导数，展开就不是办法，再像521xy 求导数，根本无法展开，又该怎么办？ 仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构我们从复合函数的角度来分析一

8、下上例的结果。22)1(xy 复复合合而而成成的的和和是是由由221xuuy uyu2 xux2 )1(4)2(22xxxuuyxu xy 第15页/共35页再如xy2sin )cossin2( xxy)(cossincos)(sin2 xxxx)sin(cos222xx x2cos2 注意到xy2sin xuuy2,sin uyucos 2 xuuuyxucos2 x2cos2 xy 由以上两例可见：由)(),(xuufy 复合而成的函数)(xfy 的导数xy 恰好等于y对中间变量u的导数uy 与中间变量u对自变量x的导数xu 的乘积xuxuyy 这就是链式法则第16页/共35页定理).()

9、(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)dxdududydxdyIxfyIxuIxIufyIxu 上可导，且有上可导，且有在在则复合函数则复合函数上可导上可导在在上可导，上可导，在在若若)(,)(,)()(11 第17页/共35页证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx

10、 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 第18页/共35页注1.链式法则“由外向里，逐层求导”2.注意中间变量推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例9.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 第19页/共35页例10.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 x

11、x例5.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy )0( a解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa 第20页/共35页例11.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例12.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第21页/共35页例13.sinh的导数的导数求求xy 解 )(21)(sinh xxeexy)(

12、21xxee .cosh x 同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 例14 求幂函数的导数)( xy xeln )ln(ln xex xx1 1 x第22页/共35页例15.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 第23页/共35页注1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和

13、精神支柱，要深刻理解 ，熟练应用注意不要漏层3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在。第24页/共35页例16 0001)(1xxexxfx)(xf 求求解时时0 x xexxf11)(2111)1(11xxxeexe 时时0 x0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 1 第25页/共35页0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 0 )0()0( ff处不可导处不可导在在0)( xxf 00)1(11)(2111xxee

14、xexfxxx不存在不存在第26页/共35页五、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 第27页/共35页2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（ 1 ） vuvu )(, （ 2 ）uccu)(（ 3 ）vuvuuv)

15、(, （ 4 ）)0()(2vvvuvuvu.( 是常数)C 第28页/共35页3.复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.4.双曲函数与反双曲函数的导数第29页/共35页xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xxxcoshsinhtanh xxxx222coshsinhcosh)(tanh 即xx2cosh1)(tanh )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx ar第30页/共35页)11(1122xxxx 211x 同理112 xar)cosh( x211x ar)tanh( x第31页/共35页五、小结注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.关键: 正确分解初等函数的复合结构.第32页/共35页思考题 若若)(uf在在0u不