函数的微分74953PPT课件

1、1再如,03时时处处的的改改变变量量为为在在点点设设函函数数xxxy 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有? 它是什么? 如何求?.y 求函数的改变量求函数的改变量第1页/共24页2,)(00在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数xxxxfy 定义)()(00 xfxxfy 如果如果,0无关的常数无关的常数而与而与是仅依赖于是仅依赖于其中其中xxA )(

2、 xoxAy 时时可可表表示示为为当当0 x是是)( xo ，高高阶阶的的无无穷穷小小量量比比 x 即即或或记作记作,dd00 xxxfy 则则称称函函数数)(xfy 在在点点0 x可可微微， 并并称称xA 为为)(xf在在点点0 x相相应应于于自自变变量量x 的的微微分分, xAyxx 0d第2页/共24页3由定义知:;d)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xy ;)(d)2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxoyy ;d,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当yyA yyd ).0(1 x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA

3、 ).(d,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当yyx )()()(00 xoxAxfxxfy 第3页/共24页4).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充分必要条件是可微的充分必要条件是在点在点函数函数定理证(1) 必要性,)(0可微可微在点在点设设xxf),( xoxAy 即即,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数 0)(lim00 xxxfyx. . 于于是是 )()(xoxxfy , , 即即 )( xoxAy , , (2) 充分性,)(0可可导导在在点点

4、函函数数设设xxf)(lim00 xfxyx .)( 0可可微微在在点点函函数数xxf第4页/共24页5可可导导可可微微 .)(d)(xxfyxfy 的的微微分分为为函函数数Axf )(0 xxfyd)(d 时时，当当xxf )( ).(ddxfxy 所以导数也称为“微商”.)( xoxAy .1dd xxxy 所所以以，1)( xf第5页/共24页6二、微分的几何意义二、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）yxo x 几何意义:(如图).d,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当yy xx0 P .,MNMPMx可近

5、似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 以直代曲 )( xoxAy xyy d第6页/共24页7例1解求求函函数数xysin 在在点点0 x和和2 x的的微微分分. xxyd)(sind ,dcosxx 所以xyxd)0(cosd0 ,dx xyxd)2(cosd2 .0 例2解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxyd)(d 3 ,d32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy.24. 0 第7页/共24页8三、基本微分公式三、基本微分公式xxfyd)(d 0)(d Cxxxd)(d1 xaaaxxdln)(d x

6、xxde)e (d xaxxadln1)(logd xxxd1)(lnd xxxdcos)(sind xxxdsin)(cosd xxxdsec)(tand2 xxxdcsc)(cotd2 xxxxdtansec)(secd xxxxdcotcsc)(cscd xxxd1)1(d2 xxxd21)(d 第8页/共24页9xxxd11)(arcsind2 xxxd11)(arctand2 xxxd11)(arccosd2 xxxd11)cotarc(d2 三、基本微分公式三、基本微分公式xxfyd)(d 第9页/共24页10四、微分法则四、微分法则1、函数和、差、积、商的微分法则例如，从函数的商

7、的求导法则 2)(vvuuvvu 以及以及xuudd 和和在在xvvdd ，即有，即有 )(dvu2ddvxvuxuv xvud)( .dd2vvuuv vuvudd)(d uCCud)(d vuuvuvdd)(d 2dd)(dvvuuvvu 第10页/共24页11结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx xxfyd)(d 2、复合函数的微分法则设设)(xfy 可可导导，则则xxfyd)(d 。 而而 ttgxd)(d , 因此又有因此又有 xxfyd)(d , , ttgxfyd)()(d 此性质称为一阶微分的形式不变性. 若若

8、又又有有)(tgx , ,g可可导导， 则则复复合合函函数数)(tgfy 的的微微分分为为 第11页/共24页12例3解法1.d, )eln(2yxyx求求设设 ,ee2122xxxxy .dee21d 22xxxyxx 解法2)e(de1d22xxxxy .dee2122xxxxx 分析xxfyd)(d 微分的计算：计算函数的导数, 乘以自变量的微分.也可利用复合函数的微分法则。第12页/共24页13例4解.d),12sin(yxy求求设设 )12(d)12cos(d xxy.d) 12cos(2xx 例5解.d,cose31yxyx求求设设 )(cosde)e (dcosd3131xxyx

9、x xxxxxxd)sin(ed)e3(cos3131 .d)sincos3(e31xxxx vuuvuvdd)(d 第13页/共24页14例6解.d,e1tanyxyx求求设设 xxe1tand2)e1()e1(dtan)(tand)e1(xxxxx .d)e1(tanesec)e1(22xxxxxx 2dd)(dvvuuvvu 第14页/共24页15例7抽象函数微分法： 解设设函数函数)(uf可可微微，求求)(ln xfy 的的微分微分。 xxfylnd)(lnd .d)(lnxxxf 例8解设设函函数数)(uf可可微微，求求)e (e)(xxffy 的的微微分分。 )e (de)e ()

10、e (dd)()(xxfxxfffy xxxfxxfffxfde)e (e)e ()(de)()( .d)e (e)e ()(e)(xffxfxxxxf 第15页/共24页16例9解隐函数微分法： .d,222yayx求求设设 两边微分，0d2d2 yyxx.dd xyxy 例10解.darctanyyxy求求，设设 两边微分，21dddyyyxxy .d)1(1)1(d22xyxyyy 第16页/共24页17训练：训练：设设)(xyy 由由03 yxyx确确定定，求求0d xy. 解方程两边同时求微分得xd当当0 x时时, ,1 y .d)13ln(d 0 xyx ,0d3lndd xyx代

11、入得yd yx3 3ln)dd(yxxy ,0 第17页/共24页18有有很很小小时时且且处处的的导导数数在在点点若若,0)()( 00 xxfxxfy 例11解,2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrAA 2d05. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00dxxxxyy 五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用)()()()(000 xxxfxfxf )(0 xx 第18页/共24页19例12.0360coso的的近近似似值值计计算算 解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为弧度为弧度xxxf ,360 x,21)3( f)3603cos(03

12、60cos o 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 49242356. 0精确值精确值，23)3( f第19页/共24页20常用近似公式)(很小时很小时x;)(sin)4(为为弧弧度度xxx (1) 证,e)(xxf 设设,e)(xxf .1)0(,1)0( ff. )(tan)5(为为弧弧度度xxx ；xx )1ln()3(;1)1()2(xx ;1e)1(xx .1exx )()0()0()(很很小小时时，特特别别xxffxf . )(211cos)6(2为弧度为弧度xxx 第20页/共24页21例13.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解.e)2(;5 .998)1(03. 03 335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11