函数的幂级数展开式的应用一近似计算PPT课件

1、一、近似计算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误差误差两类问题两类问题: :1.给定项数,求近似值并估计精度;2.给出精度,确定项数.关健关健: :通过估计余项,确定精度或项数.第1页/共22页常用方法常用方法:1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;例例1 1.10,5 使其误差不超过使其误差不超过的近似值的近似值计算计算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其

2、和.第2页/共22页余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 第3页/共22页例例2 2.,9sin! 3sin03并估计误差并估计误差的近似值的近似值计算计算利用利用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超过 .5

3、10 第4页/共22页二、计算定积分原函数不能用初等例如函数,ln1,sin,2xxxex., 难以计算其定积分函数表示解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数第5页/共22页第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值,得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精确到精确到的近似值的近似值计算计算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收敛的交错级数第6页/共22页三、求数项级数的和1.1.利用级

4、数和的定义求和利用级数和的定义求和: :(1)直接法;(2)拆项法;(3)递推法.例例4 4.21arctan12的和的和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 第7页/共22页181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1arctan1arctan nnsn)(4 n.421arctan12 nn故故,1arctan1kksk 假设假设221arctan1arctankkksk ,1arctan kk第8页/共22页2.2.阿贝尔法阿贝尔法( (构造幂级数法构造幂级

5、数法):):,lim010nnnxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (逐项积分、逐项求导)例例4 4.2121的和的和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 第9页/共22页 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx 2221)2(2limxxx )(lim1xsx , 3 . 32121 nnn故故第10页/共22页例例5 5.2!12的和的和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!

6、)1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 第11页/共22页四、欧拉公式复数项级数复数项级数: )()()(2211nnjvujvujvu.), 3 , 2 , 1(,为实常数或实函数为实常数或实函数其中其中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,则称级数则称级数 1)(nnnivu收敛收敛, , 且其和为且其和为 ivu . .第12页/共22页复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式,! 212 nx

7、xxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)(x收敛若nnvuvuvu2222221212数绝对收敛则绝对收敛称复数项级第13页/共22页的幂级数展开式的幂级数展开式由由xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxjnxxnnnnxjxsincos xcosxsin第14页/共22页xjxejxsincos jeexeexjxjxjxjx2sin2cosxjxejxsincos 又又 揭示了三角函数和复变量指数

8、函数之间的揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系一种关系. .欧拉公式欧拉公式)sin(cosyjyeexjyx 第15页/共22页五、小结、近似计算,求不可积类函数的定积分，、微分方程的幂级数的解法(第十二节介绍)求数项级数的和，欧拉公式的证明；第16页/共22页思考题思考题利用幂级数展开式, 求极限.sinarcsinlim30 xxxx 第17页/共22页思考题解答思考题解答,54231321arcsin53 xxxx,! 533! 33341sin55333 xxx)1( x)( x,sinarcsinlim30 xxxx 将上两式代入第18页/共22页 54231321lim5

9、30 xxxxx 5533! 533! 33341xx原式=)()(61lim33330 xoxxoxx .61 第19页/共22页一、一、 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值: : 1 1、3ln ( (精确到精确到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精确到精确到0001. 0).).二、二、 利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分 5 . 00arctandxxx ( (精确到精确到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 将函数将函数xexcos展开成展开成的幂级数的幂级数x . .练练 习习 题题第20页/共22页练习题答案练习题答案一、一、1 1、1.09