函数的极限_PPT课件

1、一、自变量趋于有限值时函数的极一、自变量趋于有限值时函数的极限限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xx 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作 1. 函数极限的定义分析:当xx0时 f(x)A 当|x-x0|0时 |f(x)-A|0 当|x-x0|小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e 任给e 0 存在d 0 使当|x-x0|d 时 有|f(x)-A|e 0limxxf ( x) A或f ( x) A (当x0 x) 第1页/共18页定义定义1 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有

2、定义 ,0e,0d当d00 xx时, 有e Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0e,0d当),(0dxx时, 有若记作e Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:d0 xd0 xeAeAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界函数局部有界(P36定理2)这表明: 第2页/共18页注注1） 语言表述 d de e 2） 表示 时 有00 xx 00,xxxx )(xf3) e e 任意给定后，才能找到d d ， d d 依赖于 e e ，一般的e e 越小，d d 越小.4) d d 不唯一，也不必找最大

3、的，只要存在即可.,0e,0d当),(0dxx时, 有e Axf)(Axfxx)(lim0)(0 xf无极限 与 有无定义没有关系.第3页/共18页.lim0CCxx .lim00 xxxx 例例1 1,lim0CCxx 证明 (C为常数) 证证, 0 e e, 0 d d当当 时时,d d 00 xxAxf )(CC e0 成立成立,例例2 2.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 e e,e ed d 取取e ed d 00 xx当当 时时,0)(xxAxf e成立,第4页/共18页例例3. 证明1)12(lim1xx证证: :Axf)(1) 12(x12x欲使,

4、0e取,2ed则当d10 x时 , 必有e1) 12()(xAxf因此,)(e Axf只要,21ex1)12(lim1xx第5页/共18页例例4. 证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0e取,ed当d10 x时 , 必有e2112xx因此211lim21xxx1 x第6页/共18页例例4. 证明: 当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0e且. 0 x而0 x可用e0 xx因此,)(e Axf只要,00exxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xxed则当d00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx第

5、7页/共18页 2. 单侧极限 当 自 变 量 x 从 x 0 的 左 ( 或 右 ) 侧 趋 于 x 0 时 ， 函 数 f ( x ) 有 极限A，则称A为函数f(x)当xx0时的左(右)极限，记作00()lim( )xxxxf xA或00() ( ()f xAf xA思考题: 写出左右极限的精确定义 3. 单侧极限和极限的关系 函数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限与右极限均存在且相等，即 Axfxx)(lim0Axfxf )0()0(00 第8页/共18页例例5. 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11

6、xy解解:因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .第9页/共18页 4. 极限的性质定理定理1 (函数极限的唯一性) 定理定理2 (函数极限的局部有界性) 如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 定理定理3 (函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么在x0的某一去心邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 如果当xx0时f(x)的极限存在, 那么这极限是唯一的定理定理4 4 (函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的

7、极限存在 xn是任一收敛于x0的数列 则函数值数列f(xn)必收敛 且 )(lim)(lim0 xfxfxxnn 第10页/共18页证 因为,)(lim0Axfxx 所以取, 1 e e则, 0 d d当 时,有d d 00 xx 1)(Axf, 1)()( AAAxfxf记, 1 AM则定理则定理2获得证明获得证明.,)(lim0Axfxx 定理定理2 （函数极限的局部函数极限的局部有界性有界性）如果）如果 则则d d 00 xx存常数存常数M 0和和0, 使得当使得当 时时,有有|f(x)|M.返回第11页/共18页,)(lim0Axfxx 定理定理3 （函数极限的局部函数极限的局部保号性

8、保号性）如果）如果 而而d d 00 xx且且A 0(或或A0, 使得当使得当 时时,有有f(x)0 (或或f(x)0.)某一去心邻域 ，当x 时，就有)(0 xU。2)(Axf )(0 xU。)0()(lim AAxfn定理定理3 如果，那末就存在着x0的证: 就A0的情形证明.0lim( )0,xxf xA因为所以取, 02 Ae e则, 0 d d当 时,有d d 00 xx 2)(AAxf. 022)( AAAxf 推 论 如 果 在 x0的 某 一 去 心 邻 域 内 f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ) 且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0) 返回第12页/共1

9、8页二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限xlimf(x)A xlimf(x)A 和xlimf(x)A 类似地可定义 如果当|x|无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数A叫做函数f(x)当x时的极限 记为e 0 X0 当|x|X时 有|f(x)A|e xlimf(x)A 精确定义 结论结论 xlimf(x)Axlimf(x)A 且xlimf(x)A 结论 第13页/共18页XXeAeAoxy)(xfy A几何解释几何解释: e e 0, , X 0, ,当|x|X时 有|f(x) A|e e: :水平渐近线水平渐近线 水平渐近线水平渐近线 如果如果xlimf( x) c 则直线则直线y c称为函数称为函数y f ( x)的图形的的图形的 第14页/共18页例例6.6. 证明. 01limxx证证: :01xx1取,1eX,时当Xx e01x因此01limxx注注: :就有故,0e欲使,01ex即,1exoxyxy1.10的水平渐近线为xyy第15页/共18页思考与练习思考与练习1.