函数的连续性与连续函数的运算PPT课件

1、一、函数的连续性函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有两种描述：(1) 当自变量有微小变化时，对应的函数值的变化也很微小；(2) 连续函数的图形是一条不间断的曲线.xy1.6 函数的连续性与连续函数的运算第1页/共27页1.函数的增量设函数 在点 的某邻域内有定义，当yf x( ) x0自变量x在该邻域内从 变化到x时，对应的函x0数值从 变到 称 为自变量的增量，f x0()f x( ),xx0 记作 称 为函数的增量，记作x, f xf x0( )() y. xyOxyO)(xfy 0 xxx 0 x y )(0 xf0 xxx 0)(xfy y )(0 xfx 1.

2、6 函数的连续性与连续函数的运算第2页/共27页2.连续的定义设函数 在点 的某邻域内有定义，yf x( ) x0定义1yf xxf x00()(), xy0lim0 若则称函数 在 点连续，称yf x( ) x0 x0是 的连续点.f x( )定义2设函数 在点 的某邻域内有定义，yf x( ) x0若xxf xf x00lim( )() 则称函数 在 点连续.yf x( ) x0等价1.6 函数的连续性与连续函数的运算第3页/共27页 1. 函数在一点连续必须满足三个条件：)(lim0 xfxx(3)(0 xf )(lim0 xfxx(2)存在;f (x)在内有定义;(1)U x0()2.

3、 函数在一点连续提供了求极限的简便方法1.6 函数的连续性与连续函数的运算小结只需求出该点函数值即可第4页/共27页3. 左、右连续设函数 在点 的左邻域内有定义，yf x( ) x0若xxf xf x00lim( )(), 则称函数 在 点左连续.yf x( ) x0设函数 在点 的右邻域内有定义，yf x( ) x0若xxf xf x00lim( )(), 则称函数 在 点右连续.yf x( ) x01.6 函数的连续性与连续函数的运算第5页/共27页0 x0 x右连续xyOxyO左连续定理1处连续处连续在在函数函数0)(xxf处既左连续处既左连续在在函数函数0)(xxf 此定理常用于判定

4、分段函数在分段点.又又右右连连续续处的连续性.1.6 函数的连续性与连续函数的运算第6页/共27页例1 , 1, 1, 1,)(2xxxxxf讨论函数讨论函数解)(lim1xfx 2 ),1(f )(lim1xfx ),1(f 右不连续.1)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf)1(lim1 xx1lim21 xx1)( xxf在在所以左连续,1 x在在.1处的连续性处的连续性在在 xxyO11.6 函数的连续性与连续函数的运算第7页/共27页4. 连续函数与连续区间),()(baCxf 如果函数 在开区间 内任一点连续，),(ba)(xf则称函数 在开区间 内连续，并称f x( )

5、,(ba),(ba是函数 的连续区间.)(xf如果函数 在开区间 内连续，且在f x( ),(ba点处右连续，在 点处左连续，则xa xb 称函数 在闭区间 上连续.)(xfa b , 1.6 函数的连续性与连续函数的运算第8页/共27页例如,有理整式函数(多项式)内是连续的.因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数, ),(0 xnnxaxaaxP 10)(),( )()(lim00 xPxPxx )()()(xQxPxR 只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx 因此有理整式函数在都是连续的.1.6 函数的连续性与连续函数的运算第9页/共27页例2.),(sin内内

6、连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证),( x任取任取 y)2cos(2sin2xxx 1)2cos( xx ),(sin xxy对对任任意意函函数数即即内内在区间在区间函数函数),(cos xy)sin(xx xsin 都是连续的.类似可证,连续.122 x x 由夹逼准则0lim0 yx 22sinxx 1.6 函数的连续性与连续函数的运算第10页/共27页二、函数的间断点定义3处处在在若若0)(xxf出现如下三种情形之一:处处在点在点0)()1(xxf)(lim)2(0 xfxx)(lim)3(0 xfxx无定义;不存在;).(0 xf 间断点.的为)(0 xfx称函数 在 处不

7、连续，)(xfx01.6 函数的连续性与连续函数的运算第11页/共27页间断点的类型:第二类间断点:第一类间断点:左极限及右极限均存在,左极限及右极限中至少一个不存在.称 为可去间断点.0 x若称 为跳跃间断点.0 x若其中有一个为振荡,若其中有一个为, 称 为无穷间断点.0 x称 为振荡间断点.0 x若左、右极限相等，左、右极限不相等，的为)(0 xfx间断点1.6 函数的连续性与连续函数的运算第12页/共27页例如,1)(xxf 函数函数xxf1)( 由于函数处处在在0)( xxf无定义,0 x故为f (x)的 间断点,)(lim0 xfx )(lim0 xfx 且第二类且是无穷间断点.,

8、 xyO可能是连续点,分段函数的分段点可能是间断点,也需要判定.注1.6 函数的连续性与连续函数的运算第13页/共27页例3讨论函数xxf xx,0,( )10,0, xyO10解xxf xx00lim( )lim0但f (0)10, 所以 为函数的间断点， x0 且为第一类可去间断点.此时改变函数在 点处的定义，令x0 f (0)0 则函数在 点连续.x0 在 点处的连续性.x0 1.6 函数的连续性与连续函数的运算第14页/共27页1-1xyo例4讨论函数xf xx( ) 的连续性.解在 点处无定义.x0 函数xxxf xx00lim( )lim1,xxxf xx00lim( )lim1,

9、 xxf xf x00lim( )lim( ), 所以 为函数的间断点， x0 且为第一类跳跃间断点.1.6 函数的连续性与连续函数的运算第15页/共27页例5.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x函数值在-1、1之间振荡，为振荡间断点.1.6 函数的连续性与连续函数的运算第16页/共27页三、连续函数的性质与四则运算.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定

10、理21.四则运算的连续性例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx有限个连续函数经过有限次四则运算所得的函数在其定义域内都是连续的1.6 函数的连续性与连续函数的运算第17页/共27页2.反函数的连续性单调的连续函数必有单调的连续反函数.定理3例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.cot,arctan上单调且连续在xarcyxy),(反三角函

11、数在其定义域内皆连续.1.6 函数的连续性与连续函数的运算第18页/共27页定理4 设函数由函数与函数复合而成,yfx ( ) yf u( ) ux ( ) 3. 复合函数的连续性若函数 在ux ( ) xx0 连续, ，且函数 在 连续， yf u( ) uu0 ux 00() 则复合函数 在 处连续. fx ( )xx0 xxxxfxfxfx000lim ( ) ()lim( ).求复合函数极限时极限运算可以与函数运算交换次序！由此可见1.6 函数的连续性与连续函数的运算第19页/共27页xxxx00lim( )() 当时, 有xxuu00( )()对上述由此当xx 0时,uu0 从而fx

12、fx0 ( ) () f uf u0( )() , uuf uf u00lim( )(), 证 0, 0,当时, 有uu 0f uf u 0( )() 0, 0,xx 0又即xxfxfx00lim ( ) (). 1.6 函数的连续性与连续函数的运算第20页/共27页例6.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解例7.1lim0 xexx 求求)1ln(lim0yyy 原式原式解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim . 1 注意求极限过程中变量替换的技巧！1.6 函数

13、的连续性与连续函数的运算第21页/共27页内容小结1.函数的连续性2.函数的间断点在一点连续的定义，必须满足的三个条件.无穷型,振荡型间断点分类第一类间断点:跳跃型可去型，第二类间断点:1.6 函数的连续性与连续函数的运算第22页/共27页可去型第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点0 xxyOxyOxyO0 x内容小结1.6 函数的连续性与连续函数的运算xyO0 x第23页/共27页内容小结3.函数的连续性与连续函数的运算连续函数的和差积商的连续性；复合函数的连续性.反函数的连续性；1.6 函数的连续性与连续函数的运算第24页/共27页思考练习1.6 函数的连续性与连续函数的运算的连续性.讨论函数nnnnnxxxxxf2lim)( 1,