金融数学第五讲期权定价二叉树方法

1、1期权定价：二叉树方法期权定价：二叉树方法浙江大学数学系李胜宏一个简单的二叉树模型一个简单的二叉树模型股票的现价为 $20三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18stock price = $22stock price = $18stock price = $20stock price = $22option price = $1stock price = $18option price = $0stock price = $20option price=?一份看涨期权一份看涨期权一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格为$ 21. 一个简单的二叉树模型

2、一个简单的二叉树模型股票的现价为 $20三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18stock price = $22stock price = $18stock price = $20考虑一个资产组合:持有 d 份股票 成为一份看涨期权的空头当 22d 1 = 18d or d = 0.25，资产组合是无风险的22d 118d构造无风险资产组合构造无风险资产组合资产组合的估值资产组合的估值( 无风险利率为无风险利率为 12% )无风险组合为: 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头三个月后组合的价值为 220.25 1 = 4.50组合在时刻0的价值为 4.5e 0.120.25 =

3、4.3670期权的估值期权的估值资产组合为 持有 0.25份股票 成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670股票的价值是 5.000 (= 0.2520 )从而，期权的价格为 0.633 (= 5.000 4.367 )推广到一般情形推广到一般情形一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 tsu usd ds推广到一般情形推广到一般情形(continued)考虑一个组合：持有d份股票，成为一份衍生证券的空头当 d满足下面的条件时，组合为无风险： sud u = sd d d ord udfsusdsud usdd d推广到一般情形推广到一般情形(continued)组合在时刻 t的价

4、值为 su d u组合在时刻0的价值为 (su d u )ert组合在时刻0 的价值又可以表达为 s d f从而 = s d (su d u )ert 推广到一般情形推广到一般情形(continued)于是，我们得到 = p u + (1 p )d ert其中 pedudrtrisk-neutral valuation = p u + (1 p )d e-rt变量 p和 (1 p ) 可以解释为股票价格上升和下降的风险中性概率衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值su usd dsp(1 p )最初例子的修正最初例子的修正由于 p 是风险中性概率，所以 20e0.12 0.25 = 2

5、2p + 18(1 p ); p = 0.6523或者，我们可以利用公式pdudrtee0. 12 0. 250 9110 90 6523.su = 22 u = 1sd = 18 d = 0s p(1 p )期权的估值期权的估值期权的价值为 e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633su = 22 u = 1sd = 18 d = 0s0.65230.3477两步二叉树模型两步二叉树模型每步长为3个月20221824.219.816.2欧式看涨期权的估值欧式看涨期权的估值在节点 b的价值 = e0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0

6、257在节点 a的价值 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0abcdef一个看跌期权的例子：一个看跌期权的例子：x52504.1923604072048432201.41479.4636abcdef美式期权该如何估值？美式期权该如何估值？ 505.0894604072048432201.414712.0abcdef1 二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型1.1 二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法 熟悉熟悉1.2 基本二叉树方法的扩展基本二叉树方法的扩展

7、熟悉熟悉1.3 构造树图的其他方法和思路构造树图的其他方法和思路 了解了解1.4 二叉树定价模型的深入理解二叉树定价模型的深入理解 熟悉熟悉2 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟2.1 蒙特卡罗模拟的基本过程蒙特卡罗模拟的基本过程 熟悉熟悉2.2 蒙特卡罗模拟的技术实现蒙特卡罗模拟的技术实现 熟悉熟悉2.3 减少方差的技巧减少方差的技巧 了解了解2.4 蒙特卡罗模拟的理解和应用蒙特卡罗模拟的理解和应用 了解了解3 有限差分方法有限差分方法3.1 隐性有限差分法隐性有限差分法 熟悉熟悉3.2 显性有限差分法显性有限差分法 熟悉熟悉3.3 有限差分方法的比较分析和改进有限差分方法的比较分析和改进 了解了解3

8、.4 有限差分方法的应用有限差分方法的应用 了解了解5.6 二叉树定价模型二叉树定价模型1 1、从开始的、从开始的 上升到原先的上升到原先的 倍，即到达倍，即到达 ； 2 2、下降到原先的、下降到原先的 倍，即倍，即 。图图5.1 5.1 时间内资产价格的变动时间内资产价格的变动susudsd把期权的有效期分为很多很小的时间间隔把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，并假设在每一个时间间隔并假设在每一个时间间隔 内证券内证券价格只有两种运动的可能：价格只有两种运动的可能：t dtd其中其中 . .如图如图5.15.1所示。价格上升的概率假设为所示。价格上升的概率假设为 ，下降的概率假设为，下降

9、的概率假设为 。1u 1d p1ptd相应地，期权价值也会有所不同，分相应地，期权价值也会有所不同，分别为别为 和和 。ufdf1.二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型二叉树模型实际上是二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连度二值运动来模拟连续的资产价格运动续的资产价格运动 1.二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型二叉树模型可分为以下几种方法：二叉树模型可分为以下几种方法：（一）单步二叉树模型（一）单步二叉树模型 1. 1.无套利定价法无套利定价法 2. 2.风险中性定价法风险中性定价法 3. 3.风险中性定价法风险中性定价法（二）证券价格的树型结构（二）证券

10、价格的树型结构 4. 4.证券价格的树型结构证券价格的树型结构（三）倒推定价法（三）倒推定价法 5.5. 倒推定价法倒推定价法二叉树方法的一般定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例二叉树方法的一般定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例 6. 6.一般定价过程一般定价过程1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法构造投资组合包括构造投资组合包括 份股票多头和份股票多头和1 1份看涨期权空头份看涨期权空头当当 则组合为无风险组合则组合为无风险组合dsuusdfdd d 此时 udffsusdd 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得r tusfsufe

11、 ddd将将 代入上式就可得到：代入上式就可得到：udffsusdd 1r tudfepfp f d其中其中 dudeptrd1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法无套利定价法：无套利定价法：在风险中性世界里：在风险中性世界里：（1 1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2 2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, , 参数参数值满足条件：值满足条件：sdppsusetr)1 ( ddppuetr)1 ( d假设证券价格遵循几何布朗运动，则：假设证券

12、价格遵循几何布朗运动，则：22222222(1)(1) stps up s dspup dd 2222)1 ()1 (dppudpputd再设定：再设定： （第三个条件的设定则可以有所不同，（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是这是coxcox、rossross和和rubinsteinrubinstein所用的条件）所用的条件） 1/ud由以上三式可得，当由以上三式可得，当 很小时：很小时：tddudeptrdteudtedd从而从而 1r tudfepfp f d以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。1.1二叉树模型的基

13、本方法二叉树模型的基本方法一般而言，在一般而言，在 时刻，证券价格有时刻，证券价格有 种可能，它们可用符号表示为：种可能，它们可用符号表示为：tid1ijijdsu 其中其中0,1,ji注意：由于注意：由于 ，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 1ud1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端定价法，从树型结构图的末端t t时刻开始往回倒推，为期权定价。时刻开始往回倒推，为期权定价。 如果是欧式期权，可

14、通过将如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在时刻的期权价值的预期值在 时时间长度内以无风险利率间长度内以无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值；贴现求出每一结点上的期权价值； 如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有提前执行期权和继续再持有 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。中较大者作为本结点的期权价值。 ttdrtd1.1二叉树模型的基本方法二叉树模型的基本方法假设把一期权有效期划分成假设把一期权有效期划分成n

15、n个长度为个长度为 的小区间，同时用的小区间，同时用 表示结点表示结点 处的证券价格可得：处的证券价格可得：其中其中假定期权不被提前执行，假定期权不被提前执行， 后，则：后，则： （表示在时间（表示在时间 时第时第j j个结点处的欧式看跌期权的价值）个结点处的欧式看跌期权的价值）若有提前执行的可能性，则：若有提前执行的可能性，则：tdjijdsu),(jimax(,0)jnjnjfxsu d，0,1,jntd1,11,(1)r tijijijfepfp f d)0 ,0(ijnifijtid1,11,max,(1)jijr tijijijfxsu depfp f d1.1二叉树模型的基本方法二

16、叉树模型的基本方法1.2基本二叉树方法的扩展基本二叉树方法的扩展当标的资产支付连续收益率为当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为增长率应该为 ， 因此：因此：qrqdppuetqr)1 ()(ddudeptqrd )(teudtedd1.2基本二叉树方法的扩展基本二叉树方法的扩展对于股价指数期权来说，对于股价指数期权来说， 为股票组合的红利收益率；为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，对于外汇期来说， 为国外无风险利率，为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。因此以上式子可用于股价指数和外

17、汇的美式期权定价。qq支付已知红利率资产的期权定价（支付已知收益资产的期权定价）支付已知红利率资产的期权定价（支付已知收益资产的期权定价） 可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格； 如果时刻如果时刻 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：在除权日之前，则结点处证券价格仍为：ijdsujij, 1 , 0,tid如果时刻如果时刻 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：tidjijdus )1 (0,1,ji若在期权有效期内有多个已知红利率，则若在期权有效期内有多个已知红利率，则 时刻结点的相应的证

18、券价格为：时刻结点的相应的证券价格为：jijidus)1 (tid（ 为为0 0时刻到时刻到 时刻之间所有除权日的总红利支付率）时刻之间所有除权日的总红利支付率）itid1.2基本二叉树方法的扩展基本二叉树方法的扩展 将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。内所有未来红利的现值。 假设在期权有效期内只有一次红利，除息日假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在到之间，则在时刻不确定部分的价值为：在到之间，则在时刻不确定部分的价值为：*()()s i ts i tdd 当当 时时i td *(

19、)()()ri ts i ts i tde ddd当当 时（表示红利）时（表示红利）i td 在在 时刻：时刻：当当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：时，这个树上每个结点对应的证券价格为：tidi td *()0jijri ts u dde d当当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：时，这个树上每个结点对应的证券价格为：dti*0jijs u d0,1,ji（ 为零时刻的为零时刻的 值）值）*0s*s1.2基本二叉树方法的扩展基本二叉树方法的扩展已知红利额已知红利额利率是时间依赖的情形利率是时间依赖的情形 假设假设 ，即在时刻，即在时刻 的结点上，其应用的利率等于的结点上，其应用的利

20、率等于 到到 时间内的远期利率，则：时间内的远期利率，则： rf tttttd f ttedpudd 1f ttuepudd这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图1.2基本二叉树方法的扩展基本二叉树方法的扩展的二叉树图的二叉树图0.5p 在确定参数在确定参数 、 和和 时，不再假设时，不再假设 ，而令，而令 ，可得：可得： pud1ud0.5p 222r qttue d d222r qttde d d该方法优点在于无论该方法优

21、点在于无论 和和 如何变化，概率总是不变的如何变化，概率总是不变的 td1.3构造树图的其他方法和思路构造树图的其他方法和思路三叉树图三叉树图 每一个时间间隔每一个时间间隔 内证券价格有三种运动的可能：内证券价格有三种运动的可能：1 1、从开始的、从开始的 上升到原先的上升到原先的 倍，即到达倍，即到达 ；2 2、保持不变，仍为、保持不变，仍为 ；3 3、下降到原先的、下降到原先的 倍，即倍，即tdsususdsd1.3构造树图的其他方法和思路构造树图的其他方法和思路一些相关参数：一些相关参数：3 tued1du2211226dtprqd 2211226utprqd23mp 1.3构造树图的其

22、他方法和思路构造树图的其他方法和思路控制方差技术控制方差技术 基本原理：期权基本原理：期权a a和期权和期权b b的性质相似，我们可以得到期权的性质相似，我们可以得到期权b b的解的解析定价公式，而只能得到期权析定价公式，而只能得到期权a a的数值方法解。的数值方法解。假设：假设： （ 代表期权代表期权b b的真实价值，的真实价值， 表示关表示关于期权于期权a a的较优估计值，的较优估计值， 和和 表示用同一个二叉树、相同的表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）则期权则期权a a 的更优估计值为：的更优估计值为

23、： bbffaaffbfafafbfaaffbbff1.3构造树图的其他方法和思路构造树图的其他方法和思路在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。 即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长步长 进一步细分，如分为进一步细分，如分为 ，每个小步长仍然采用相，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程同的三叉树定价过程 td4td1.3构造树图的其他方法和思路构造树

24、图的其他方法和思路适应性网状模型适应性网状模型 通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。 其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率应概率 隐含树图的主要作用在于从交易活跃的常规期权中得到的关隐含树图的主要作用在于从交易活跃的常规期权中得到的关

25、于波动率微笑和期限结构的信息，来为奇异期权定价于波动率微笑和期限结构的信息，来为奇异期权定价 1.3构造树图的其他方法和思路构造树图的其他方法和思路隐含树图隐含树图 二叉树图模型的基本出发点：二叉树图模型的基本出发点：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率中的概率 ，从而为期权定价，从而为期权定价p取当前时刻为取当前时刻为 ，在给定参数，在给定参数

26、 、 和和 的条件下，当的条件下，当 时，时，二叉树公式：二叉树公式：ttdpud0td ,1,r tf s ttpf su tp f sd te dd可以在可以在 进行泰勒展开，最终可以化简为：进行泰勒展开，最终可以化简为：,s t2222,1,02f s tf s tf s trssrf s tottssd在在 时，二叉树模型收敛于布莱克斯科尔偏微分方程。时，二叉树模型收敛于布莱克斯科尔偏微分方程。0td 1.4二叉树定价模型的深入理解二叉树定价模型的深入理解monte carlo: based on probability & chance基本思路：基本思路：由于大部分期权价值实际上都可

27、以归结为期权到期回报由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报( (payoff) )的期望值的贴现；的期望值的贴现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。2.1 蒙特卡洛模拟的基本过程蒙特卡洛模拟的基本过程 随机路径：随机路径：在风险中性世界中，在风险中性世界中， 为了模拟的路径，我们把期权的为了模拟的路径，我们把期权的有效期分为有效期分为n个长度为时间段，则上式的近似方程为个长度为

28、时间段，则上式的近似方程为 dsrq sdtsdz 2lnln2s tts trqttdd d 2exp2s tts trqttdd d或 （是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）（是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的期望值折现后就得到了期权的期望值2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现蒙特卡洛模拟的技术实现单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟：单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟：1、当回报仅仅取决于到期时、当回报仅仅取决于到期时 的最终价值时的最终价值时 可直接用一个大步（可直接用一个

29、大步（ ）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期权价值：价格，得到期权价值：s0t 20 exp2s tsrqtt2、当回报依赖于多个市场变量时、当回报依赖于多个市场变量时每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每次模拟运算可以得出期权的终值。次模拟运算可以得出期权的终值。 的离散过程可以写为：的离散过程可以写为：i （期权依赖于（期权依赖于 个变量，个变量， ， 为为 的波动率，的波动率， 为为 在风险中性世界中的期望增长率，在风险中性世界中的

30、期望增长率， 为为 和和 之间的瞬间相关系数）之间的瞬间相关系数） iiiiiiitttmttsttdd dn1iin isiimiikik2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现蒙特卡洛模拟的技术实现 常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：）：. 其中，其中， 表示风险中性世界中的期望。表示风险中性世界中的期望。 利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）：）： 为有效期内瞬间无风险利率的平均值。为有效期内瞬间无风险利率的平均值。rttfee f e rt

31、tfe efr2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现蒙特卡洛模拟的技术实现随机样本的产生和模拟运算次数的确定：随机样本的产生和模拟运算次数的确定：1. 的产生的产生 是服从标准正态分布的一个随机数。是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中其中 是是0到到1的相互独立的随机数。的相互独立的随机数。2. 模拟运算次数的确定模拟运算次数的确定如果对估计值要求如果对估计值要求95的置信度，则期权价值应满足的置信度，则期权价值应满足 （ 是进行运算的个数，是进行运算的个数， 为均值，为均值， 是标准差）是标准差）1216iirir112

32、i 1.961.96fmmm2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现蒙特卡洛模拟的技术实现（一）对偶变量技术（二）控制方差技术（三）重点抽样法（四）间隔抽样法（五）样本矩匹配法（六）准随机序列抽样法（七）树图取样法2.3 减少方差的技术减少方差的技术主要优点：主要优点： 1. 1. 在大多数情况在大多数情况下，人们可以很直接地下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型而无需对期权定价模型有深刻的理解有深刻的理解 2. 2. 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛的适用情形相当广泛主要缺点：主要缺点：1. 1. 只能为欧式期权定只能为欧式期权定价，难以处理提前

33、执行价，难以处理提前执行的情形。的情形。2. 2. 为了达到一定的精为了达到一定的精确度，一般需要大量的确度，一般需要大量的模拟运算。模拟运算。2.4蒙特卡洛模拟的理解和应用蒙特卡洛模拟的理解和应用222212fffrssrftss转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近 、 和和 各项，之后用各项，之后用迭代法求解，得到期权价值。迭代法求解，得到期权价值。具体地说，有限差分方法就是用有限的离散区域来替代连续的时间和资产价格具体地说，有限差分方法就是用有限的离散区域来替代连续的时间和资产价格在坐标图上，有限差分方法则体现为格点（在坐标图上，有限差

34、分方法则体现为格点（gridsgrids）ftfs22fs3 有限差分方法有限差分方法可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如图所示：可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如图所示：下面介绍一下下面介绍一下 、 和和 的差分近似的差分近似ftfs22fs3.1 隐形有限差分方法隐形有限差分方法1. 1. 的近似的近似对于坐标方格内部的点对于坐标方格内部的点 ，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示：示： 、 和和2. 2. 的近似的近似对于对于 点处的点处的 ，我们则采取前向差分近似以使，我们则采取前向差分近似以

35、使 时刻的值和时刻的值和 时刻的值相关联：时刻的值相关联：3. 3. 的近似的近似 点点 处的处的 的后向差分近似为的后向差分近似为 ，因此点处期权价值对标的资产，因此点处期权价值对标的资产价格的二阶差分为价格的二阶差分为这个二阶差分也是中心差分，其误差为这个二阶差分也是中心差分，其误差为 。fs, i j,1,i ji jffsd,1i ji jffsd,1,12i ji jffsdft, i jfti td1itd1,iji jfffttd22fs,1i j fs,1,i ji jffsd,1,12,1,1,222i ji ji ji ji ji ji jfffffffssfsssdddd

36、2osd3.1 隐形有限差分方法隐形有限差分方法差分方程差分方程把以上三个近似代入布莱克舒尔斯偏微分方程，整理得到：把以上三个近似代入布莱克舒尔斯偏微分方程，整理得到：其中，其中， ,1,11,ji jji jji jija fb fc ff221122jarj tjtd d221jbjtr t d d221122jcrj tjt d d0,1,.,1in0,1,.,1jm3.1 隐形有限差分方法隐形有限差分方法边界条件边界条件1. 时刻看跌期权的价值为 其中 2. 当股票价格为零时，下方边界上所有格点的期权价值： 3. 当股票价格趋于无穷时 t,max,0n jtfxstsj s d0,1,

37、.,jm0s ,0ifx0,1,.,in,0i mf0,1,.,in3.1 隐形有限差分方法隐形有限差分方法求解期权价值：求解期权价值：联立联立 个方程：个方程： 和和 时，时， 时，时，解出每个解出每个 的期权价值的期权价值最后可以计算出最后可以计算出 ，当，当 等于初始资产价格时，该格点对应的等于初始资产价格时，该格点对应的 就是我们要求的期权价值。就是我们要求的期权价值。 1m 1,11,1,1,jnjjnjjnjn ja fb fc ff1,.,1jm0j 1,0nfxjm1,0nmf1,njf0, jfj sdf3.1 隐形有限差分方法隐形有限差分方法页面呈现页面呈现显性有限差分法显

38、性有限差分法： 其中，其中， 即直接从即直接从 时刻的三个相邻格点的时刻的三个相邻格点的期权价值求出期权价值求出 时刻资产价格为时刻资产价格为 时时的期权价值，可理解为从格点图外部推知内的期权价值，可理解为从格点图外部推知内部格点期权价值的方法部格点期权价值的方法*,1,11,1,1i jjijjijjijfa fb fc f*22111122jarj tjtr td d d*22111jbjtr td d*22111122jcrj tjtr td d d1itdi tdj sd3.2 显形有限差分方法显形有限差分方法有限差分方法有限差分方法树图方法树图方法相同点：两种方法都用离散的模型模拟资

39、产价格的连续运动相同点：两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动不同点：树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形；不同点：树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形；有限差分方法中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的变化，以反映有限差分方法中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。改变了的扩散情形。 3.3有限差分方法的比较和改进有限差分方法的比较和改进隐 性 有 限隐 性 有 限差分方法差分方法显 性 有 限显 性 有 限差分方法差分方法 显性方法计算比较直接方便，无需象隐性方法那样需要求解大量的联立方程，工作量小，显性方法计算比较直接方便，无需象

40、隐性方法那样需要求解大量的联立方程，工作量小，易于应用。但是，显性方法存在一个缺陷：它的三个易于应用。但是，显性方法存在一个缺陷：它的三个“概率概率”可能小于零，这导致了这种方法的可能小于零，这导致了这种方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解。而隐性方法则不存在这个问题，它始终是有效不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解。而隐性方法则不存在这个问题，它始终是有效的。的。变量置换：变量置换： 在使用有限差分方法时，人们常常把标的变量在使用有限差分方法时，人们常常把标的变量 置换为。置换为。这样偏微分方程改为这样偏微分方程改为slnzs2222122fffrrftzz3.3有限差分方

41、法的比较和改进有限差分方法的比较和改进有限差分方法还可以进一步推广到多个标的变量的情形；有限差分方法还可以进一步推广到多个标的变量的情形；在标的变量小于三个的时候，这一方法是相当有效率的；在标的变量小于三个的时候，这一方法是相当有效率的；但是超过三个变量时蒙特卡罗模拟方法就更有效了。但是超过三个变量时蒙特卡罗模拟方法就更有效了。同时有限差分方法也不善于处理期权价值取决于标的变量历史路径同时有限差分方法也不善于处理期权价值取决于标的变量历史路径的情况。的情况。 3.4有限差分方法的应用有限差分方法的应用假设标的资产为不付红利股票假设标的资产为不付红利股票, ,其当前市场价为其当前市场价为5050

42、元元, ,波动率为每年波动率为每年40%40%，无风险，无风险连续复利年利率为连续复利年利率为10%10%，该股票，该股票5 5个月期的美式看跌期权协议价格为个月期的美式看跌期权协议价格为5050元，求该元，求该期权的价值。期权的价值。答案：为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于答案：为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.08330.0833年）。根据式（年）。根据式（8.48.4）到（）到（8.68.6），可以算出：），可以算出： 4924.015076.08909.01224.1dddpdudepedeutrtt（结点处上面一个表示股票价格，下面

43、一个表示期权价值） 假设无红利的股票价格运动服从式（8.12），年预期收益率为14，收益波动率为每年20，时间步长为0.01年，则根据式（8.12）有 通过不断从标准正态分布样本中抽取 的值，代入上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径0.14 0.010.2 0.01sssd第五章第五章期权定价的离散模型期权定价的离散模型二叉树模型二叉树模型1. crr模型模型coxrossrubinstein0s0usus0dsds0vud风险中性概率同同s0无关无关v0 = ert (q u + (1 q) d)看涨期权执行价为k：假设sd k suu = su k = u s0 kd = 0c0 =

44、ert (q u s0 k q)如果 k su?看跌期权执行价为k：假设sd k kf1(t) = s(t) k + k = s(t)f2(t) = 0 + s(t) = s(t) 如果s(t) kf1(t) = 0 + k = kf2(t) = k s(t) + s(t) = k因此f1(t) = f2(t)所以f1(t) = f2(t)价格单一定律价格单一定律如果ct + k er(tt) pt + st怎样套利？如果ct + k er(tt) pt + st怎样套利？3. 后向推导法后向推导法股票价格二叉树模型p0s0us0ds1p这里p是实际股票上升的概率因此(q = 1 p)es1

45、= p us0 + q ds0 = (pu + qd) s0漂移系数0s0us0ds20u s0dus0uds20d s20ud s30d s20du s30u s0duds20u ds20d us0udus3q2p q2pq3p2p q2pq2p q2pq多时期概率332222333030(33)()e sp up qu dpq udq dspuqds因此一般01()() kkkke spuqdse spuqd e s简化股票二叉树0s0us0ds20u s0uds20d s30u s20u ds20ud s30d sp33p2q3pq2q3概率n期价格是ukdnk s0的概率 = cnk

46、pkqnk欧式看涨期权的二叉树定价假设 s0 = 10 k = 10.5 u = 1.1 d = 0.9 r = 0.05期权在t = 3 年到期10.011.013.3110.898.917.298.19.912.19.0u = 1.1, d = 0.9股票价格二叉树 t = 1 t = 2 t = 3在一个典型的分叉xabq1 q(1) )rxeqaq b我们有风险中性概率 q = 0.7564这是欧式期权的价格2.810.390002.1120.2811.5850.2021.187期权价格二叉树另一种计算方法到期价值概率2.81q30.4327670.393q2(1 q)0.418121

47、03q(1 q)20.1346570(1 q)30.014455期望值 evt = 1.37914v0 = ert evt = 1.1869r = 0.05t = 3美式看跌期权的二叉树定价假设 s0 = 10 k = 10 u = 1.1 d = 0.9 r = 0.05期权在t = 3 年到期股票数据同上例一样风险中性概率 q = 0.756410.011.013.3110.898.917.298.19.912.19.0u = 1.1, d = 0.9股票价格二叉树 t = 1 t = 2 t = 3期权价格二叉树001.09 = 10 8.912.71 = 10 7.29xabq1 q在

48、一个典型的分叉(1) )rxeqaq bq = 0.7564, 1 q = 0.2436q1 - q2.711.09x = e 0.05 (0.75641.09 + 0.24362.71)= 1.4121.4121.9001.900执行期权能得到的收益收益 = 10 8.1 = 1.9最大值期权价格二叉树001.092.711.4121.9001.900q1 - q00q1 - q1.0900000.2530.1000.253x = e 0.05 (0.75640 + 0.24361.09) = 0.253提前执行 = 10 9.9 = 0.1x = e 0.05 (0.75640 + 0.2

49、4360) = 0提前执行 = 0期权价格二叉树001.092.711.4121.9001.9000000.2530.1000.253q1 - q1.90.253q1 - q0.25300.6221.0001.0000.05900.059x = e 0.05 (0.75640 + 0.24360.253) = 0.059提前执行 = 0 x = e 0.05 (0.75640.253 + 0.24361.9) =0. 622提前执行 = 1期权价格二叉树001.092.711.4121.9001.9000000.2530.1000.2530.05900.0590.6220.1000.1000.27400.274回望期权的二叉树定价回望期权：到期日可以得到整个时期最高的股票价格。假设 s0 = 10 u = 1.2 d = 0.9 r = 0.05期权在t = 3 月到期风险中性概率q = (e0.05/12 0.9)/(1.2 0.9) = 0.34725101217.2812.969.727.298.110.814.49uuu17.28股票价格二叉树101217.2812.969.727