变化率与导数1

1、导数及其应用导数及其应用第一章第一章 ?.:,.?高度是多少高度是多少距水面的最大距水面的最大他他度度速速如何求他在某时刻的如何求他在某时刻的示示表表可用函数可用函数单位单位度度运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高后后已知起跳已知起跳赛的瞬间赛的瞬间照片中锁定了运动员比照片中锁定了运动员比你看过高台跳水比赛吗你看过高台跳水比赛吗10569412 ttthmhs!,.化率与导数的学习吧化率与导数的学习吧开始变开始变题题让我们从其中的两个问让我们从其中的两个问随处可见随处可见丰富多彩的变化率问题丰富多彩的变化率问题1.1变化率与导数气球膨胀率气球膨胀率问题问题1?,.,.描述这种现象呢描述这种

2、现象呢如何如何从数学的角度从数学的角度的半径增加得越来越慢的半径增加得越来越慢气球气球增加增加随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的可以发现可以发现回忆一下吹气球的过程回忆一下吹气球的过程很多人都吹过气球很多人都吹过气球 ,):(:,334rrvdmrlv 之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343vvrvr 那么的函数表示为体积如果把半径 ,.,cmrrlv6200110 气球半径增加了时增加到从当空气容积 ./.ldmrr6200101 气球的平均膨胀率为 ,.,dmrrll1601221 增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地 ./.ldmrr1601212 气球的

3、平均膨胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少均膨胀率是多少气球的平气球的平时时增加到增加到当空气的容量从当空气的容量从思考思考21vv高台跳水高台跳水问题问题2 .:,1056942 ttthstmh存在函数关系存在函数关系单位单位与起跳后的时间与起跳后的时间单位单位面的高度面的高度运动员相对于水运动员相对于水在高台跳水运动中在高台跳水运动中人们发现人们发现那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 这段时间里在 ./.,smhhvt28121221 这段时间里在 ?:,状态有什么问题吗状

4、态有什么问题吗动动运动员运运动员运度描述度描述你认为用平均速你认为用平均速静止的吗静止的吗运动员在这段时间里是运动员在这段时间里是并思考下面的问题并思考下面的问题里的平均速度里的平均速度这段时间这段时间计算运动员在计算运动员在探究探究2149650 t ,.,1212211212xxxxxxchangeofrateaveragexxxfxxxfxfxf 即即表表示示用用习习惯惯上上的的到到从从数数我我们们把把这这个个式式子子称称为为函函示示表表式式子子那那么么问问题题中中变变化化率率可可用用表表示示函函数数关关系系用用如如果果上上述述两两个个问问题题中中的的平均变化率平均变化率.,相乘相乘与与

5、而不是而不是是一个整体符号是一个整体符号xx .,;, 12211xfxffxxxxx 类似地类似地代替代替可用可用增量增量的一个的一个看作是相对于看作是相对于可把可把.,xf平平均均变变化化率率可可表表示示为为于于是是 ?,.表示什么表示什么变化率变化率平均平均图图的图象的图象观察函数观察函数思考思考1212111xxxfxfxfxf oxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111 .图图 ?,?,.).tan(.,时时的的瞬瞬时时速速度度是是多多少少比比如如度度呢呢如如何何求求运运动动员员的的瞬瞬时时速速那那么么度度在在某某时时刻刻的的瞬瞬时时速速她她他他度度不不一

6、一定定能能反反映映运运动动员员的的平平均均速速的的速速度度称称为为我我们们把把物物体体在在某某一一时时刻刻是是不不同同的的度度运运动动员员在在不不同同时时刻刻的的速速在在高高台台跳跳水水运运动动中中2 tvelociyeousins瞬时速度瞬时速度 .,.,;,.,.可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值正值可以是是时间的改变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察vtttttttttt 22222202200222 tthhvtt 2222220这段时间内在时,ttt 113942.11394. t;.,.05113010 vt时当;.,.09

7、51130010 vt时当;.,.099511300010 vt时当;.,.09995113000010 vt时当;.,.0999951130000010 vt时当 2222220 ththvtt这段时间内在时,ttt113942. 11394. t;.,.14913010 vt时当;.,.1049130010 vt时当;.,.100491300010 vt时当;.,.10004913000010 vt时当;.,.1000049130000010 vt时当 ?,有什么样的变化趋势有什么样的变化趋势平均速度平均速度时时趋近于趋近于当当观察观察vt0.,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一

8、时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看 .,.lim,11302113220 定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时的极限时的极限趋近于趋近于当当是是我们称确定值我们称确定值022113tthth .,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无

9、限变小时时间间隔从物理的角度看 .,.lim,11302113220 定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时的极限时的极限趋近于趋近于当当是是我们称确定值我们称确定值022113tthth ?.?.示示处处的的瞬瞬时时变变化化率率怎怎样样表表在在函函数数的的瞬瞬时时速速度度怎怎样样表表示示运运动动员员在在某某时时刻刻探探究究0021xxxft .lim|xxfxxfyxfxxx0000 即即或或记作记作 ,limlim,derivativexxxfyxfxxfxxfxxxfyxx处的处的在在我们称它为函数我们称它为函数处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是在在函

10、数函数一般地一般地000000 导数导数.|处的导数处的导数在在关于自变量关于自变量表示函数表示函数00 xxyyxx .;:,求已知曲线的切线求已知曲线的切线二是二是数求速度和加速度数求速度和加速度体的路程关于时间的函体的路程关于时间的函一是根据物一是根据物导数的产生导数的产生的两类问题直接导致了的两类问题直接导致了其中其中到的四类问题到的四类问题现为本章引言中提现为本章引言中提突出地表突出地表它们它们新的要求新的要求这些发展对数学提出了这些发展对数学提出了进的发展进的发展得了突飞猛得了突飞猛文等方面取文等方面取力学、航海、天力学、航海、天世纪世纪17.;,胀率胀率导数就是气球的瞬时膨导数就

11、是气球的瞬时膨的的关于体积关于体积气球半径气球半径就是运动员的瞬时速度就是运动员的瞬时速度的导数的导数关于时间关于时间高度高度我们知道我们知道由导数的定义由导数的定义vrth.)pr(,的增长率等等的增长率等等的缩写的缩写产总值产总值效率、点密度、国内生效率、点密度、国内生如如的瞬时变化率的瞬时变化率导数可以描述任何事物导数可以描述任何事物实际上实际上oducisticdomegrossgdp .,).(:,.,并并说说明明它它们们的的意意义义的的瞬瞬时时变变化化率率原原油油温温度度时时和和第第计计算算第第为为单单位位的的温温度度原原油油时时如如果果在在和和加加热热行行冷冷却却油油进进对对原原需需要要品品产产柴柴油油、塑塑胶胶等等各各种种不不同同将将原原油油精精炼炼为为汽汽油油、例例hhxxxxfcxh6280157120 ,根据导数的定义 xfxfxf22 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 xxx152721527222 ,