偏微分方程数值解

1、Email: Phone: 02985583997第五章 偏微分方程数值解 Numerical Methods for Partial Differential EquationsNumerical Methods for Partial Differential Equations&5.1 5.1 偏偏微分方程简介微分方程简介 &5.2 5.2 离散化公式离散化公式 &5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算几种常见偏微分方程的离散化计算&5.4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解吸附床传热传质模型中偏微分方程求解偏微分方程数值解Email: Phone: 02985583997本章要求本章要求

2、 教学目的教学目的 讲解： 偏微分方程离散格式及求解的一般过程 教学要求教学要求E熟记 一阶及二阶偏微分方程的离散格式；C 精通 用EXCEL迭代对偏微分方程求解； 探索 用两数组交替更新的办法进行编程求解；F 延伸 对化学反应工程中物理场的模拟进行尝试。 教学重点教学重点各种偏微分方程的离散与求解EXCEL 循环迭代问题 教学难点教学难点 特殊边界条件的引入与应用偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975. 1 偏微分方程简介&偏微分方程如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程

3、就是偏微分方程。在化工或化学动态模拟方程中，常常有一个自变量是时间，其它的自变量为空间位置。如果只考虑一维空间，则只有两个自变量；如果考虑两维空间，则有3个自变量。 许多化工过程均是通过对偏微分方程的求解进行工艺参数的确定或数值模拟。偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.1 偏微分方程简介&偏微分方程的分类22222( )( )( )( )( )( )( )0uuuuuabcdefugx yxyxy 线性微分方程 Linear partial differencial equation拟线性微分方程 Quasilinear partial differencia

4、l equation非线性微分方程 Nonlinear partial differencial equation,x y 1, ,/,nx yuxy , ,/,nx yuxy 偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.1 偏微分方程简介&数学上的分类：椭圆方程 Elliptic抛物线方程 Parabolic双曲线方程 Hyperbolic&物理实际问题的归类：波动方程(双曲型）一维弦振动模型：热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程拉普拉斯方程（椭圆型）稳态静电场或稳态温度分布场）240bac 240bac 240bac 22222uutx 22uutx 2222

5、0uuxy偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.1 微分方程的求解思路&求微分方程数值解的一般步骤：Step1区域剖分：首先按一定规则将整个定义域分成若干小块Step2微分方程离散：构造离散点或片的函数值递推公式或方程Step3初始、边界条件离散：根据递推公式，将初值或边界值离散化，补充方程，启动递推运算Step4 数值解计算：求解离散系统问题&微分方程的定解问题 离散系统的求解问题偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.2 离散化公式&将自变量在时间和空间上以一定的间隔进行离散化，则应变量就变成了这些离散变量的函数。&一阶偏导的离

6、散化公式一般采用欧拉公式表示&有时为了保证系统和稳定性，对时间的差分往往采用向后公式, ,( , , , )ni j kt n t x i x yj y z k zuu t x y z 1, , ,1, , ,1, , ,1, ,nni j ki j kt n t x i x yj y z k znnij ki j kt n t x i x yj y z k znni jki j kt n t x i x yj y z k znni j ki j kt n t x i x yj y z k zuuuttuuuxxuuuyyuuuzx 1, , ,(1),nni j ki j ktnt x i

7、x yj y z k zuuutt 偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.2 离散化公式P对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化计算公式：112, , , ,22,21, , ,1, ,22,2,1, ,1, ,22,222()2()2()nnni j ki j ki j kt n t x i x yj y z k znnnij ki j kij kt n t x i x yj y z k znnni jki j kij kt n t x i x yj y z k zt n tuuuuttuuuuxxuuuuyyuz , ,1, , ,12

8、,2()nnni j ki j ki j kx i x yj y z k zuuuz 偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.2 离散化公式推导&将uk+1在uk处按二阶泰勒式展开：&将uk-1在uk处按二阶泰勒式展开：&二式相加得：22312()2!kkkkuuhuuhO hxx 22312()2!kkkkuuhuuhO hxx 211222()kkkuuuuxx 偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.3几种常见偏微分方程的离散化计算&1 1、 波动方程波动方程 其中： 为初值条件 为边值条件 当该波动方程只提供初值条件时，称此方

9、程为波动方程的初值问题，二者均提供时称为波动方程的混合问题。2222200012( , )( ),( )( ),( )ttxx luuaf x ttxuuxxtut ut 00012( ),( )( ),( )ttxx tuuxxtutut 偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.3.1 波动方程求解对于初值问题，是已知t=0时，u与 依赖于x的函数形式，求解不同位置，不同时刻的u值。而 u是定义在 的二元函数，即上半平面的函数。 对于混合问题除初值外，还有边值。是已知初值及x=0及x=l 时u依赖于t的函数，求解不同位置x，不同时刻的u值。此时u是定义在 的带形

10、区域上的二元函数。ut 0,tx xt 0a)初值问题初值问题tx0lb)混合问题混合问题偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.3.1 波动方程求解2222200012( , )( ),( )( ),( )ttxx luuaf x ttxuuxxtut ut 1121122(i1,2,m-1)22( , ) ()()(1,2,)nnnnnniiiiiiuuuuuuaf x ttxn 22212221211222()()()(22)()( , )()()()nnnnniiiiitttuauauauuxf x txxx 100012(),() (i1,2,m)(),

11、() (n1,2,)iiinnmuuuj xixtun tun t 方程离散化整理可得：边界条件初始条件离散化xxinniu1niu 1niu 偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.3.1 波动方程求解&例例5.1:5.1: 用数值法求解下面偏微分方程。 0012()3150,30,2501,0WnWjxttTtxTtttxx 110.01,0.1nnjjnnjjttttttxxx 110.020.680.3nnnjWjjtTtt 112()3nnnnjjjjjWntttttTx 此微分方程，是在不考虑流体本身热传导时的套管传热微分方程.由计算结果可知，当计算的

12、时间序列进行到7272时，传热过程已达到稳态，各点上的温度已不随时间的增加而改变。如果改变套管长度或传热系数，则达到稳态的时间亦会改变。偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.3.2 一维流动热传导方程 与波动方程的情形类似，用差商近似代替偏商，可以得到一维流动传热传导方程的混合问题的差分方程，以其解作为流动传热传导方程的近似解。222001( , ) 00 00 0 tx lxuuuabf u t (xl , t)txxu(x), (xl)u(t)xu (t) 0 (t) 12111201012(,)()() (i1 2)0 (0,1,2,)(nnnnnnnii

13、iiiiiinnmmnuuuuuuuabf i x n ttxxui x, ,muunxun ) (0,1,2,)tn 1, , ,21, , ,1, ,22,2,1, ,1, ,22,22,2()2()nni j ki j kt n t x i x yj y z k znnnij ki j kij kt n t x i x yj y z k znnni jki j kij kt n t x i x yj y z k zt n t x i x yj y z kuuuttuuuuxxuuuuyyuz , ,1, , ,122()nnni j ki j ki j kzuuuz 2 2、一维流动热传

14、导方程的混合问题、一维流动热传导方程的混合问题偏微分方程数值解Email: Phone: 02985583997将上式进行处理得到： 该式是显式格式。只要保证式中各项系数大于零，一般情况下是稳定的，可以获得稳定的解。 分析上式可以发现，当为了提高数值精度取适当小的x 时，最有可能小于零的系数是 uin的系数，若要保证此项系数大于零，此时t必须相应地更小,会导致计算量将大大增加，这是显式格式的缺点，为了克服此缺点，下面提出一种隐式格式： 偏微分方程在 点上进行离散化，且对时间的偏微分采用向后欧拉公式得到原偏微分方程的离散化公式：111111211122(,(1)()nnnnnnniiiiiiiu

15、uuuuuuabf i x nttxx 122211222(,)()(12)()()()nnnniiiitttttutf i x n tabuabuauxxxxx (,(1)i x nt 5.3.2 一维流动热传导方程偏微分方程数值解Email: Phone: 02985583997 从图5-3中可见要由初值及边界条件一排一排推上去是不行的，需解线性方程组,同时添上二边界条件： 正好共有m+2个方程，同时有m+2个变量，就能解出n+1排上各点值。这样，每解一个线性方程组，就可以往上推算一排点的u值，虽然引入了方程组的求解，有可能增加计算量，但由于隐式格式无条件稳定，t的取法与x 无关，可以少计

16、算许多排节点上的u 值，相应于显式格式来说，最终反而节省了计算量。 111011(1), nnnmmuntuu 5.3.2 一维流动热传导方程偏微分方程数值解Email: Phone: 02985583997&例5.2 考虑纵向导热的套管换热器内管各点温度分布微分方程： 解：首先根据前面的知识，将所求 的方程离散化：代入微分方程并化简得：分析上式可知，如果知道了某一时刻的各点t，（，（j=0,1,2.10,11），），就可以求下一时刻的各点温度值t(j=1,2.10),现在已经知道了零时刻管内各点的温度分布及入口处在任何时刻的温度，如想求下一时刻的温度值，根据上面的离散化计算公式，还需知道在j

17、=11处的温度，这个温度可利用给定的边界条件离散化求得： 有了以上各式，上面的微分方程就可以求解了。220012()0.0013150,30,3001,0WnWjxtttTtxxTtttxx 11211222()0.01,0.1nnjjnnjjnnnjjjttttttxxttttxxx 1110.020.0010.6780.301nnnnjWjjjtTttt 110nnjjxtttxx 5.3.2 一维流动热传导方程偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.3.3 稳态导热/扩散方程&3 3、稳态导热、稳态导热/ /扩散方程扩散方程 在化工导热及扩散过程中，没有物流

18、的流动，仅靠导热及扩散进行热量及质量的传递。如果此时系统达到稳定状态，也就是说系统中每一个控制单元的各项性质如温度、浓度等不再随时间的改变而改变，系统中的各种性质只与其所处的位置有关，利用化工知识，我们可以得到下面二维、三维的稳态导热或扩散偏微分方程： 二维： 三维：二维的稳态导热或扩散偏微分方程又称调和方程。22220uuxy2222220uuuxyzuu un ()uun 常见有三种边界条件： 第一类边界条件： 第二类边界条件： 第三类边界条件：偏微分方程数值解Email: Phone: 02985583997& 离散化公式：& 取 ，经化简得：& 外节点（边界节点）和内节点& 求解方法划

19、分网格建立节点离散方程迭代求解（或解稀疏方程组）1,1,1,122220()()iji jiji ji ji juuuuuuxyxy ,1,11,11()4i jiji jiji juuuuu xy求解区域N 节点边界五点格式示意图5.3.3稳态导热/扩散方程求解偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.3.3稳态导热/扩散方程求解 常用的3种迭代格式： (1)同步迭代： (2)异步迭代： (3)超松弛迭代：当计算范围R 为 矩阵区域，x方向m等分，y方向n等分，最佳松弛因子为：由数学知识可知，用这些迭代法求解上面的偏微分方程均收敛。 (1)( )( )( )( )

20、,1,11,11()4kkkkki jiji jiji juuuuu (1)( )( )(1)(1),1,11,11()4kkkkki jiji jiji juuuuu ( )( )(1)(1)1,11,1(1)( ),1()4(1)kkkkiji jiji jkki ji juuuuuuwuw u (,)axb cyd 22coscos112wmn 紧凑迭代偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.3.3 稳态导热/扩散方程求解例例5.35.3 ：处于传热平衡状态的某保温，假设其形状为长方体，在x，y两个方向上存在热传导，且导热系数相等，已知边界温度分布如下图所示

21、： 解：取某一微元进行能量衡算，由于已达传热平衡状态，故可得： 传导入热量-传导出热量=0 1xy10(1,1)24( , ) 30 27001,0t x yyyx 1( , ) 30 27001,0t x yxxy 2( , )30001,0tx yyx3( , ) 30001,1t x yxy ()yttyyx zy ()xttxxy zx ytx zy xty zx xyz22220 xyttxy偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.3.3 稳态导热/扩散方程求解&Microsoft Excel 迭代计算公式中的循环引用在“工具工具”菜单上，单击“选项”，

22、再单击“重新计算”选项卡。 选中“迭代”复选框。 若要设置 Microsoft Excel 进行重新计算的最大次数，请在“最多迭代次数”框中键入迭代次数。迭代次数越高，Excel 用于计算工作表的时间越多。 若要设置两次迭代结果之间可以接受的最大误差，请在“最大误差”框中键入所需的数值。数值越小，结果越精确，Excel 用于计算工作表的时间也越多。偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.4 吸附床传热传质模型中偏微分方程求解实例&5.4.1 5.4.1 基本设定及假设基本设定及假设 1.吸附器结构参数的设定 上图所示的是套筒式吸附器，该吸附器的有效长度为L，其有效

23、内径为D,环隙宽度为，吸附器壁厚为b。导热流体通过环隙将热量传入或传出吸附器，吸附质通过吸附器上端的小管进入或离开吸附器。吸附器结构示意图吸附器结构示意图 DL热流体偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.4.1 基本设定及假设2.吸附床外流体传热的一些基本假设： 1). 忽略流体在环隙宽度上的温度梯度； 2). 忽略热损失； 3). 忽略吸附器壁厚b上的温度梯度，用集中参数法求取吸附器壁面温度。.吸附床内传热传质的一些基本假设： 1). 吸附床内的吸附质气体处于气滞状态； 2). 忽略蒸发器、冷凝器和吸附床之间的压力差； 3). 吸附床内各计算微元内达到吸附平衡

24、。吸附量可利用回归方程计算； 4. 吸附热利用微分吸附热，随吸附量和吸附温度的改变而改变；比热采用有效比热，亦随温度改变，但在计算微元内，可认为是常数；5. 床层活性炭导热系数采用当量导热系数，可由实验测量得到。 偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.4.2流体传热模型的建立在轴方向上取一环隙微元，作能量分析如下：1.流体通过流动流入环隙微元的能量为 2.流体通过流动流出环隙微元的能量3.流体热传导在x 处的热量导入 7 总能量平衡方程fffTTTxxxxx 流体传热微元模型流体传热微元模型 infffpffquSCT ()fou tfffpffTquSCTxx

25、 outqinqxqfxffTqSx 其中： f 流体的密度 uf 环隙的流体速度， Sf 环隙的横截面积，Cpf流体的比热。4. 流体热传导在x+ x处的热量导入 5. 微元体传递给吸附床的热量 qt 6. 微元体内的能量变化率 为流体的横截面积xxq(/)()fFxxffTTxqxSxx ()tffwqhxDTT cq()fpfffcCSx Tqt 221()ffffffwffffTuThDTTTtxSx fffpfC fS偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.4.3 吸附床内吸附剂传热传质模型的建立&吸附床内发生着热量和质量的传递，但质量的传递是建立在热量

26、传递基础上的，故只要建立热量传递方程，就可以根据平衡吸附量方程求出各处的吸附量。吸附床内的热量传递主要以热传导为主，既有经向的热传导，也有轴向的热传导，为了便于建模分析，选取如图所示的吸附床微元体，进行衡算： 2bxaTqrrx x+ x x xrr+ r吸附床内传热传质微元体1.轴向导入热量 :2.轴向导出热量3.径向导入热量 4.径向导出热量 5.微元体内的能量变化率 其中 为吸附床层内的有效比热。6.总能量平衡方程 222()bbxxaTTqrrxxx 2braTqrxr 222 ()()bbdraTTqrrxrrr 2bceffaTqrrx Ct ()effpapbPmCCmCHT 2

27、22211bbbbeffTTTTtrrxraeffaeffC 偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975 .4 .4 吸附器内/外无量纲化方程吸附器内/外无量纲化方程2,021()()fwwwfwwbswswshDThDTTTTTxSSx ,sswpsssC 221()ffffffwffffTuThDTTTtxSx fffpfC 222211bbbbeffTTTTtrrxraeffaeffC *2000000,ffwbininintxrxrtLRLTTTTTTTTTTTT 无量纲化处理无量纲化处理偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975 .

28、4 .4 吸附器内吸附器内/ /外无量纲化方程外无量纲化方程2*2()PeKA Bitxx 20*2()sswsfswsfDrBiBiBiBitx 22222,fffffbbefffbbffffwsswsfsswswuC LhDLSDrPeBiKASShDLhDLLDrBiBiCSSR 22*2*2*bDrCCtxrrr整理可得：其中：偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975 .4 .4 吸附器内吸附器内/ /外无量纲化方程外无量纲化方程*(,0)0(,0)0(,0)0 xtxtxrt *0*1(0,)1 0(1,)(1 ,) 0 xxxtxxtxtx *1000 0 0 xxrxxr*0*()/bwrRhRr 初始条件：边界条件偏微分方程数值解Email: Phone: 029855839975.4.6 模型的离散化,1,*,1,*21,1,