高三第一轮复习导学案3.2导数与函数的单调性、极值、最值教师版

1、第第三章导数及其应用3.2 导数与函数的单调性、极值、最值（文理合用）【考纲要求】1.了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).【考点预测】导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内容,主要考查导数的相关知识,知识的载体主要是基本初等函数,综合“把关题”是其考查的主要题型.考查的角度主要有:(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题;(2)函数、导数

2、与不等式、方程等的综合问题;(3)以函数为载体的实际应用题.【使用说明与学法指导】1.复习教材 文：选修1-1 p89p100 理：选修2-2 p22p33，理解和掌握定义，并完成优化设计p41知识梳理部分，夯实基础。2.对探究部分认真审题并完成；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。【双基自测】1 函数有（ ）A 极大值，极小值 B 极大值，极小值C 极大值，无极小值 D 极小值，无极大值2. 函数单调递增区间是（ ）A B C D 3. 函数的最大值为（ ）A B C D 4. 已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）A B C D 5. 对于上可导的任意函数，若满足

3、，则必有（ ）A B 2 / 34C D 6. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A 个 B 个 C 个 D 个7. 函数在区间上的最大值是 8. 若在增函数，则的关系式为是 基础达标参考答案一、选择题1 C ，当时，；当时， 当时，；取不到，无极小值把，代入到得；把，代入到得，所以和2 C 令3 A 令，当时，；当时，在定义域内只有一个极值，所以4 B 在恒成立，5 C 当时，函数在上是增函数；当时，在上是减函数，故当时取得最小值，即有得6. A 极小值点应有先减后增的特点，即二、填空题7. ，比较处的函数值，得8. 恒成立，则 【探究案】 探究

4、点一 根据单调性求参数范围例1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).（2）f（x）在R内单调递增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex0，a0.（3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立

5、.ex在（-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.跟踪训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解 由已知=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，=3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3

6、x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时，=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a0.（2）解 由=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a=3时，=3(x2-1),在x(-1,1)上，0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3.故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 f(-1)=a-20,即e-ax(-ax2+2x)0,得0x.f(x)在（-,0),上是减函数，在上是增函数.当02时,f(x）在（1，2）上是减函数,f（x）max=f（1）=e-a. 当12,即1a2时，f(x)在上

7、是增函数，在上是减函数，f(x)max=f=4a-2e-2. 当2时，即0a1时，f(x)在（1，2）上是增函数，f（x）max=f（2）=4e-2a.综上所述，当0a2时，f(x)的最大值为e-a. 跟踪训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)处的切线方程；（2）当a0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,=-3x2+4x-1,-12+8-1=-5,当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2)处的切线方程为5x+y-8=0.（2）f

8、(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令=0,解得x=或x=a.由于a0，以下分两种情况讨论.若a0，当x变化时，的正负如下表：x(-,)(,a)a(a,+)-0+0-f(x)0因此，函数f(x)在x=处取得极小值f（），且f（）=-函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.若a0，当x变化时，的正负如下表：x(-,a)a(a,)(,+)-0+0-f(x)0-因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；函数f(x)在x=处取得极大值f（）,且f（）=-. 【训练案】一、选择题1. 若,则等于（

9、 ）A. B. C. D. 2函数y=x33x在1，2上的最小值为（ ）A、2B、2C、0D、43设函数的导函数为，且，则等于 ( )A、 B、 C、 D、4已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A、1a2 B、3a6 C、a2 D、a65、设函数f(x)kx33(k1)x21在区间（0，4）上是减函数，则的取值范围是 （ ）A、B、C、D、6、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f (x)可能为 （ ）xyOxyOAxyOBxyOCxyOD8、已知二次函数的导数为，对于任意实数，有，则的最小值为( ) 9、f()是定义

10、在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下 列关于函数g（）的叙述正确的是（ ）A若a0,则函数g（）的图象关于原点对称.B若a=1，2b0,则方程g（）=0有大于2的实根.C若a0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.D若a1,b2,则方程g（）=0有三个实根.13. 已知直线x+2y4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当PAB面积最大时，P点坐标为 .14、对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:（1）求函数的“拐点”A的坐标;（2）求证的图象关于“拐点”

11、A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.15.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有.16.已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.17.已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值.（）求函数f(x)的解析式；（）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.18.已知，其中是自然常数，（）讨论时, 的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，;（

12、）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案1. A BBDD6-9y=-9x+16或y=-2 P(4,4)14、解析（1），.令得 ， .拐点（2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得左边,右边右边=右边在图象上关于A对称猜想：所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。15. （1）由得因为，所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，有成立，从而两式相加得16. 解析：的定义域为， 1分 的导数. 3分令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. 5分所以，当时，取得最小值. 6分（）解法一：令，则，

13、8分 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即. 10分 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，即，与题设相矛盾. 13分综上，满足条件的的取值范围是. 14分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 8分令， 则. 10分当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是， 13分所以的取值范围是. 14分17. 解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即 解得a=1，b=0. f(x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1，1上为减函数，f

14、max(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=26分对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=48分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.10分设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增

15、，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=112分关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m1)()求导数f? (x); ()若不等式f(x1)+ f(x2)?0成立，求a的取值范围 18、已知在时有极大值6，在时有极小值，求的值；并求在区间3，3上的最大值和最小值.19、设函数（）求的单调区间和极值；（）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.（）已知当恒成立，求实数k的取值范围.B一、选择题1向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系如图所示，那么水瓶的形状是（）2在下列命题中，正确的是（）导数为零的

16、点一定是极值点如果在附近的左侧，右侧，则是极大值如果在附近的左侧，右侧，则有极小值如果在附近的左侧，右侧，则是极大值3函数的单调递增区间是（）与4函数在上（）是增函数是减函数有最大值有最小值5要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）cm100cm20cmcm6设在和处均有极值，则下列点中一定在轴上的是（）二、填空题7若恰有三个单调区间，则的取值范围为8函数在上取最大值时，的值为9函数，则有一个最值为10直线与函数的图象有相异的三个公共点，则的取值范围是11中午12点整甲船以6km/h的速度向东行驶，乙船在甲船正北16km处，以8km/h的速度向南行驶，下午一点钟两

17、船距离的变化速度为12若函数的图象过点，当时，此函数有极值0，则，三、解答题13找出函数的单调区间14某厂生产一种产品，其总成本为，年产量为，产品单价为，三者之间存在关系：问：应确定年产量为多少时，才能达到最大利润？此时，产品单价为多少？15已知为实数，（1）求导数；（2）若是函数的极值点，求在上的最大值和最小值；（3）若在和上都是递增的，求的取值范围C（理科）参考答案：A1.B; 2.D; 3.B; 4.D; 5.B; 6.C; 7.B; 8.A; 9.C; 10.D; 11. ; 12.; 13. ;14. ;15、(I)解：令 得 若 则，故在上是增函数，在上是增函数 若 则，故在上是减函数 (II) 16、解：（）当,化为故，满足（）条件的集合为 （） 要使f（x）在区间（0，+）上是单调减函数，必须， 即 ，但时，为常函数，所以 17、.解:（I） （II）因 又由（I）知 代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得 18、.解：（1）由条件知 （2）x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3006由上表知，在区间3，3上，当时，时，19、解:（） 当，的单调递增区间是，单调递减区间是当；当 （）由（）的分析可知图