高等代数课件：5-1 二次型的矩阵表示

1、解析几何中解析几何中选择适当角度选择适当角度,逆时针旋转逆时针旋转坐标轴坐标轴 (标准方程标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线中心与坐标原点重合的有心二次曲线 222faxbxycy cossincossinxxyyxy22fa xc y 代数观点下代数观点下作适当的作适当的非退化线非退化线性替换性替换 只含平方项的多项式只含平方项的多项式二次齐次多项式二次齐次多项式11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc ycycy (标准形标准形)12(,)nf x xx：设设P为数域，为数域，称为数域称为数域P上的一个上的一个n元二次

2、型元二次型212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x xn个文字个文字 的二次齐次多项式的二次齐次多项式12,nx xx, ,1,2, ,ijaP i jn2222222nna xax x2333332nna xax x 2nnnax 注意注意2) 式式 也可写成也可写成21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 1) 为了计算和讨论的方便为了计算和讨论的方便,式式中中 的系数的系数()ijxij 写成写成 2.ija1） 约定约定中中aij= =aji，ij ，由，由 xixjxjxi，有有212111121211(,)nnnf

3、 x xxa xa x xa x x2212122222nna x xa xax x 21122nnnnnnna x xax xax11nnijijija xx 111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa 令令()n nAp 则矩阵则矩阵A称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵.12(,)nf x xx12,nxxXx 2 2令令) )由由1112112122221212.(,.,).nnnnnnnnaaaxaaaxX AXx xxxaaa 1121211(,.,)njjjnjjnjnnjjja xa xx xxa x 于是有于是有12(,.,).nf xxxX AX 112211

4、1nnnjjjjnnjjjjjxa xxa xxa x11()nniijjijxa x 11nnijijija xx 注意注意:2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具矩阵是一个有力的工具. .AB 若若 且且 ，则，则X AXX BX ,AABB1）二次型的矩阵总是对称矩阵二次型的矩阵总是对称矩阵,即即.AA （这表明在选定文字下，二次型（这表明在选定文字下，二次型 完全由对称矩阵完全由对称矩阵A决定决定.)12(,.,)nf x xxX AX 12,.,nx xx例例11）实数域）实数域R上的上

5、的2元二次型元二次型 3）复数域复数域C上的上的4元二次型元二次型它们的矩阵分别是：它们的矩阵分别是：2） 实数域实数域R上的上的3元二次型元二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537f x x xxx xx xxx xx 2)12341214223(,35(3)f x xxxix xx xxi x x ,a bb c32322 232 5,3732232232320050.000000iiii ：是两组文字是两组文字,，关系式，关系式1212,;,nnx xxyyy11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc y

6、cyxcycycy , ,1,2,.ijcP i jn称为由称为由的一个的一个线性替换线性替换; ;1212,nnx xxyyy到到若系数行列式若系数行列式|c|cij| |0,0,则称则称为为非退化线性替换非退化线性替换. . .0 xy它是非退化的它是非退化的.系数行列式系数行列式 cossin1.sincos 例例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度旋转解角度 cossinsincosxxyyxy 即变换即变换x y 则则可表示为可表示为X=CY若若|C| 00，则则为非退化线性替换为非退化线性替换. .注注1）或或为非退化的为非退化的 为可逆矩阵为

7、可逆矩阵 . ij= cn nC 1112111222122212.,.nnnnnnnncccxyxycccXYCxyccc 令令2）若）若XCY为非退化线性替换为非退化线性替换，则有非退化则有非退化线性替换线性替换. .1YCX 即，即，B为对称矩阵为对称矩阵. B CAC令 | 0C XCY事实上，事实上， 12(,.,)nf x xxX AX ()BC ACC A CC ACB 又又()Y C AC Y ()()CYA CY 12(,.,)nY BYg yyy 12(,.,)nY BYg yyy 是一个是一个 二次型二次型. 12,nyyy1）合同具有合同具有对称性：对称性：传递性传递性

8、: :即即C1C2可逆可逆.反身性反身性:注注:：设设 ，若存在可逆矩阵，若存在可逆矩阵,n nA BP 使使 ，则称，则称A与与B合同合同.,n nCP BC AC AE AE ,| 0BC AC C 11()()ACB C 112212,| 0,| 0BC AC DC BCCC2112()DCC AC C1212()()C CA C C 1212| | 0,C CCC3）与对称矩阵合同的矩阵是与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵对称矩阵. . 2）合同矩阵具有合同矩阵具有相同的秩相同的秩. .A与与B合同合同. .二次型二次型X AX可经非退化线性替换化为二次型可经非退化线性替换化为二次型Y B

9、Y进而，有进而，有: C可逆可逆( )( )BA秩秩秩秩,BC AC ,AA BC ACC可可逆逆()BC ACC A CC ACB ,若若AABB例例2证明：矩阵证明：矩阵A与与B合同，其中合同，其中1122,iininAB , ,12, ,ni ii是是1, 2, , n的1, 2, , n的一个排列一个排列.证：作二次型证：作二次型222121122(,)nnnf x xxX AXxxx 故矩阵故矩阵A与与B合同合同. .1212niiniyxyxyx 对作非退化线性替换对作非退化线性替换12(,)nf x xx121212(,)nniiinf x xxX AXyyy 则二次型化为（注意

10、则二次型化为（注意 的系数为的系数为 ）jixji Y BY 写出下列二次型的矩阵写出下列二次型的矩阵1213231.422x xx xx x1123231 3 52. (,) 2 4 67 8 5xx xxxx2113.niijiij nxx x 其中其中214.() ,niixx 11.niixxn 02 11.201110 111111111111.4.nnnnnnnnnnnnnnn 5252162.4 767 51112221112221112221.1.3. 1 - - 4. 解：解：222111()2nnniiiiiixxxxxnx22221111()()nnniiinniiixxx22111()nniiniixx221111(2)nniiijniiij nxxx x 21211nniijnniij nxx x ，或，或X=CY， |C| 0.基本概念基本概念,.n nBCACCP可逆1211(,)nnnijijijf x xxa x xX AX (),ijn nAaAA 11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 基本