同济-高等数学-第三版(21)第一节导数的概念

1、导数和微分不仅是微分学的两个基本概念，也是研导数和微分不仅是微分学的两个基本概念，也是研究函数性质的基本方法。究函数性质的基本方法。 研究函数不仅要了解函数如何随自变量变化而变化研究函数不仅要了解函数如何随自变量变化而变化, ,还需要了解当自变量发生一定改变时，因变量相应改变还需要了解当自变量发生一定改变时，因变量相应改变了多少及其随自变量变化的快慢程度，这就是微分及导了多少及其随自变量变化的快慢程度，这就是微分及导数研究的问题。数研究的问题。 曲线切线的研究是一个古老的问题，它是导致微分曲线切线的研究是一个古老的问题，它是导致微分学产生的源头问题之一。在微积分创立之前，这一问题学产生的源头问

2、题之一。在微积分创立之前，这一问题一直没有得到完全解决。一直没有得到完全解决。 古希腊人最初研究的是圆古希腊人最初研究的是圆的切线，通过对圆的切线的认的切线，通过对圆的切线的认识将曲线的切线定义为和曲线识将曲线的切线定义为和曲线只有一个交点的直线。只有一个交点的直线。 通过对圆锥曲线的研究又将切线的通过对圆锥曲线的研究又将切线的定义修改为和曲线只有一个交点并位于定义修改为和曲线只有一个交点并位于曲线一侧的直线是曲线的切线。曲线一侧的直线是曲线的切线。 近代通过对函数曲线的研究又进近代通过对函数曲线的研究又进一步认识到，曲线切线的确定是一个一步认识到，曲线切线的确定是一个动态的过程，它是常量数学

3、所不能表动态的过程，它是常量数学所不能表 述和解决的。只有通过变量数学的研究述和解决的。只有通过变量数学的研究才能最终解决曲线的切线问题，而才能最终解决曲线的切线问题，而 切线问题的研究和解决又推动和切线问题的研究和解决又推动和 激发近代数学的形成和发展。激发近代数学的形成和发展。xy2s i nf xxx 通过对函数曲线的研究，曲线切通过对函数曲线的研究，曲线切线的古典定义显得不能满足要求了。线的古典定义显得不能满足要求了。 C 尽管曲线和坐标系及函数有着密切的联系，尽管曲线和坐标系及函数有着密切的联系，但曲线但曲线本身还是独立的几何概念，因此仍有必要用几何方法独本身还是独立的几何概念，因此

4、仍有必要用几何方法独立定义曲线的切线。立定义曲线的切线。 从运动和极限的观点看，从运动和极限的观点看，曲线切线和相应的割线之间有曲线切线和相应的割线之间有着密切联系，曲线切线可看成着密切联系，曲线切线可看成是由割线按一定的方式运动所是由割线按一定的方式运动所形成的。于是可将曲线切线定义为形成的。于是可将曲线切线定义为当动点趋于定点时，割线的极限位置。当动点趋于定点时，割线的极限位置。 设有曲线设有曲线 C 及及 C 上一点上一点 M ，另取，另取 C 上一点上一点 N，作，作曲线曲线 C 的割线的割线 M N ，当点，当点 N 沿曲线沿曲线 C 趋于点趋于点 M 时，时，如果割线如果割线 M

5、N 绕点绕点 M 旋转而趋于旋转而趋于极限位置极限位置 M T，则直线，则直线 M T 就称为就称为曲线曲线 C 在点在点 M 处的切线。处的切线。 割线的极限位置的含义是：割线的极限位置的含义是：只要弦长只要弦长| |MN | 0，就有，就有 NMT 0 . . TNM000limxxf fxxKxx 在直角坐标系中，若曲线在直角坐标系中，若曲线 C 的方程为的方程为 y = f( x ). .设有设有 C 上一定点上一定点 M 0 ，其坐标为，其坐标为 M0( x 0 , ,y 0 )，另取，另取 C 上上一点一点 N ，其坐标为，其坐标为 N( x , ,y )，则点，则点 N 沿曲线沿

6、曲线 C 趋向于趋向于点点 M 0 的过程对应于的过程对应于 x x 0 割线割线 M0 N 的极限位置对应于过的极限位置对应于过点点 M 0 ，并以，并以 为斜率的直线为斜率的直线 M 0 T . . : C yfxxy2s i nf xxx0 xNM0y0Mxy00: L y y Kx x 从分析角度看，曲线从分析角度看，曲线 y = f( x )在点在点 M( x 0 , ,y 0 )处处存在切线对应于函数存在切线对应于函数 f( x )在点在点 x 0 有有限的斜率值。有有限的斜率值。 若采用增量记号若采用增量记号 x = x - - x 0， y = f( x )- - f( x 0

7、 ),则此斜率可表为则此斜率可表为 由此可见，函数曲线切线问题本质上是函数在某由此可见，函数曲线切线问题本质上是函数在某点的点的“变化率变化率”问题，这与变速直线运动速度问题在问题，这与变速直线运动速度问题在本质上是一样的。本质上是一样的。 0 000t a nl i m l i m .x xxff yxxKx x x 例：例：设有作变速直线运动的物体，其路程函数为设有作变速直线运动的物体，其路程函数为 S = S( t )，t 0 , ,T ， 求该物体在时刻求该物体在时刻 t = t 0 时的速度时的速度 V( t 0 )对非匀速直线运动，由于在同样长的时间段内对非匀速直线运动，由于在同样

8、长的时间段内物体走过的路程不尽相同，故不能直接利用速度公式物体走过的路程不尽相同，故不能直接利用速度公式 V = S/ /T 计算其速度。计算其速度。0t0tt 然而，变和不变是相对的，因此可考虑取较短的时然而，变和不变是相对的，因此可考虑取较短的时间段，在此时间段内物体可近似看作间段，在此时间段内物体可近似看作匀速直线运动，于匀速直线运动，于是可是可将将变速直线运动局部视作变速直线运动局部视作匀速直线运动进行考察。匀速直线运动进行考察。 因此，可借助于平均速度考察物体其在时刻因此，可借助于平均速度考察物体其在时刻 t = t 0时的速度时的速度 V( t 0 ). . 取小时间段取小时间段

9、t 0 , ,t 0+ + t ，在该时间段内物体运动的，在该时间段内物体运动的平均速度为平均速度为 0000.SttS tSVtVttt 由速度函数的连续性，该平均速度是物体在时刻由速度函数的连续性，该平均速度是物体在时刻 t = t 0 时时的速度的速度V( t 0 )的近似值，且的近似值，且| | t | |=| | t - - t 0 | |越小，越小， 作为作为 V( t 0 )的近似值就越精确，故有的近似值就越精确，故有 然而，不论然而，不论| | t | |=| | t - - t 0 | |多么小，多么小， 毕竟只是毕竟只是V( t 0 )的具有某种精确度的近似值，而非精确值。

10、的具有某种精确度的近似值，而非精确值。 由于精确与近似是相对的，为求由于精确与近似是相对的，为求 V( t 0 )的精确值，的精确值，只需让只需让 | | t | 0 ，于是有，于是有0Vt 0000000l i ml i ml i m .ttttS ttS t SV V tttt 00 00limlim.xxyffxxxxx 0 000t a nl i m l i m .x xxff yxxKx x x 00 0 0 0l i m l i m.x xx xyf fx x xyx x 函数的变化率问题不仅普遍存在，而且具有更深刻函数的变化率问题不仅普遍存在，而且具有更深刻分析意义，它反映了函数

11、变化的剧烈程度。这种函数变分析意义，它反映了函数变化的剧烈程度。这种函数变化剧烈程度的量化不仅更深刻地揭示化剧烈程度的量化不仅更深刻地揭示函数的内在性质，也成为研究函数函数的内在性质，也成为研究函数性质的工具和方法。性质的工具和方法。 将这一概念抽象成一般数学形将这一概念抽象成一般数学形式就是导数。式就是导数。 设函数设函数 y = f( x )在点在点 x 0 的某个邻域内有定义，当的某个邻域内有定义，当自变量自变量 x 在点在点 x 0 处取得增量处取得增量 x( x 0 + x 也在该邻域内也在该邻域内)时，相应地函数时，相应地函数 y 取得增量取得增量 y = f( x )- - f(

12、 x 0 ). . 如果如果 y 与与 x 之比当之比当 x 0 时极限存在，则称时极限存在，则称函数函数 y = f( x )在点在点 x 0 处可导，并称此极限为函数处可导，并称此极限为函数 f( x )在点在点 x 0 处的导数，记为处的导数，记为：y | x = x 0 ，即即 微积分初创时，诸多数学家投入了微积分的研究，微积分初创时，诸多数学家投入了微积分的研究，由于当时科技界尚缺乏统一管理，数学家大都独立从事由于当时科技界尚缺乏统一管理，数学家大都独立从事研究。对导数这一新概念，早期的研究者们多采用各自研究。对导数这一新概念，早期的研究者们多采用各自的符号表示，当人们发现有必要对数

13、学记号进行统一时的符号表示，当人们发现有必要对数学记号进行统一时, ,先行者们已用各自的记号发表了诸多文章和书籍，以至先行者们已用各自的记号发表了诸多文章和书籍，以至统一符号后人将难以看懂这些文献。统一符号后人将难以看懂这些文献。 此外，不同导数记号虽表达同此外，不同导数记号虽表达同一概念，但也有一些细微的差别，一概念，但也有一些细微的差别，应用时各有其利弊。因此这些早应用时各有其利弊。因此这些早期的导数记号便被保留下来了。期的导数记号便被保留下来了。 000 d dd dx xx xy fxfxx x , , , , . . 函数函数 y = f( x )在点在点 x 0 处可导有时也说成是

14、处可导有时也说成是 f( x )在在点点 x 0 具有导数或导数存在，导数记号也可记作：具有导数或导数存在，导数记号也可记作： 常用的导数定义形式还有常用的导数定义形式还有： 不同导数记法虽然形式上不尽相同，但它们在概念不同导数记法虽然形式上不尽相同，但它们在概念上是一致的，这些记法也都是等价的。上是一致的，这些记法也都是等价的。 00 00limhffxhxfxh; ; 00 00lim.xxffxxfxxx 0000limlimxx xyffxxxxx 不不 存存 对应于极限对应于极限 在的情形，称函数在的情形，称函数 y = f( ( x ) )在点在点 x 0 处不可导，但若处不可导，

15、但若 ，通常称，通常称 f( x )在点在点 x 0 处的导数为无穷。处的导数为无穷。这样称呼的原因在于当导数为无穷时，虽然同是导数不这样称呼的原因在于当导数为无穷时，虽然同是导数不 存在，但此时函数性质与导数存在的存在，但此时函数性质与导数存在的情形是类似的。情形是类似的。 从几何上看，当导数为无穷时，从几何上看，当导数为无穷时，曲线仍然有切线，所不同的只是此曲线仍然有切线，所不同的只是此时的切线是铅直的而已。时的切线是铅直的而已。 0l i mxyx yfxxyO0 x x 0 xx y 0000 0l i m l i mx xyf fxxxfxx x 000limxxf fxxKxx如果

16、函数如果函数 y = f( x )在开区间在开区间 I 内每一点都可导，内每一点都可导，称函数称函数 f( x )在开区间在开区间 I 内可导。内可导。 开区间开区间 I 可以是有限区间，也可以是无穷区间。可以是有限区间，也可以是无穷区间。如如 I =( a , ,b )， I =( - - , ,+ )， I =( a , ,+ )等等。 0limxffxx xfxx 根据函数在开区间内可导的定义，由给定函数根据函数在开区间内可导的定义，由给定函数y = f( x )可定义一个与之相关的新函数可定义一个与之相关的新函数 导函数。导函数。 若函数若函数 y = f( x )在开区间在开区间 I

17、 内可导，将导数定义式内可导，将导数定义式看成是一个对应法则。按这个法则看成是一个对应法则。按这个法则，对对 x I，极限值，极限值 是一个与是一个与 x 有关的数，对于不同的有关的数，对于不同的 x I，f ( x )总有确总有确定的值与之对应。定的值与之对应。 由函数定义，这就构成了一个新函数由函数定义，这就构成了一个新函数 y = f ( x )，称此函数为给定函数称此函数为给定函数 f( x )的导函数。在不至于引起混的导函数。在不至于引起混淆的情况下，也将导函数淆的情况下，也将导函数 f ( x )称为称为 f( x )的导数。的导数。 0lim.xffxxxfxx 按导函数定义按导

18、函数定义 其间既含其间既含 x 又含又含 x 对对极限过程而言，变量是极限过程而言，变量是 x ，而而 x 则则是常数，当极限计算完是常数，当极限计算完成后成后, ,x 已不再出现，故已不再出现，故 f ( x )仅是仅是 x 的函数。的函数。 0 000 l i mx xxx xf fx xxffxxx 按导函数定义，函数按导函数定义，函数 f ( x )在点在点 x 0 处的导数处的导数 f ( x 0 )就是导函数就是导函数 f ( x )中中 x 取取 x 0 的情形，故导函数的情形，故导函数 f ( x )和导数值和导数值 f ( x 0 )之间有如下关系：之间有如下关系： 从计算角

19、度看，这一关系可理解为，对于给定函数从计算角度看，这一关系可理解为，对于给定函数 y = f ( x )，若要求其在某点，若要求其在某点 x 0 处的导数处的导数 f ( x 0 )，可先，可先求出导函数求出导函数 f ( x )的一般形式，再在的一般形式，再在 f ( x )中代入中代入 x 0 . 对初等函数而言，由于求导函数计算相对方便，对初等函数而言，由于求导函数计算相对方便，因而此关系实际给出了求初等函数导数值的一般方法。因而此关系实际给出了求初等函数导数值的一般方法。 0limxyx . . 导数概念是复合概念，其定义过程导数概念是复合概念，其定义过程是是“构造性构造性”的的, ,

20、即先由函数即先由函数 f( x )及自变量及自变量 x 的增量的增量 x 确定函数确定函数“平均变化率平均变化率 y / / x”，再通过对平均变化率取极限，再通过对平均变化率取极限构造出函数的导数。构造出函数的导数。 导数定义的这种导数定义的这种“构造性构造性”实际也给出了导数的计实际也给出了导数的计算方法。它可分为三个步骤：算方法。它可分为三个步骤： 求增量求增量 y f( x + x )- f( x )； 算比值算比值 y / / x ； 取极限取极限 nnyf fxxxxxx 例例：设设 f( x )= x n，求求: : f ( a ). . 01nnkkknknknknnkkCxx

21、Cxxx . . 11nkknknkyCxxxx 112 !2!2nnnnnxxxxn . . 112 00 !limlim2!2 !nnnxxynnxxxxxn 1 .nnx 1 .0 xxx , , 于是求得于是求得 ( x n ) = n x n- - 1 . . 由导数值与导函数的关系，代入由导数值与导函数的关系，代入 x = a 有有 f ( a )=( x n )|x = a = n x n - - 1|x = a = na n 1 . . 以上计算是就幂函数的指数为正整数的情形讨论以上计算是就幂函数的指数为正整数的情形讨论的。实际上这一结论对幂指数为一般实数的情形也成的。实际上这

22、一结论对幂指数为一般实数的情形也成立。由复合函数的求导规则还可进一步求得立。由复合函数的求导规则还可进一步求得 0 000t a nl i m l i m .x xxff yxxKx x x 00c o sc o sl i ml i mhhf x h f x xx hf xh h例例：求函数求函数 f( ( x )= cos x 的导数。的导数。 于是求得于是求得 ( cos x ) = - - sin x ，x ( - - ,+ ). . 类似地可求得类似地可求得 ( sin x ) = cos x ，x ( - - ,+ ). .0122 l i ms i ns i n22hxhhh 0s

23、 in2=lim s in=s in22hhhxxh. . 0s inlim1xxx 在上述导数计算中用到了在上述导数计算中用到了三角函数的三角函数的重要极限。重要极限。这这一情形是必需注意的，因为一情形是必需注意的，因为 cos x 是最基本的三角是最基本的三角函数，各类三角及反三角函数导数计算都要用到此导函数，各类三角及反三角函数导数计算都要用到此导数结果。同时，积分学基本公式又是由导数公式逆转数结果。同时，积分学基本公式又是由导数公式逆转而来的。因此该而来的。因此该极限是极限是微积分计算的一个重要支柱。微积分计算的一个重要支柱。 重要极限重要极限 是在弧度制下导出的，其特是在弧度制下导出

24、的，其特点是形式简单，应用方便。但若不在弧度制下其形式点是形式简单，应用方便。但若不在弧度制下其形式就就 0 000t a nl i m l i m .x xxff yxxKx x x 000s ins ins inlimlimlim1 8 0 1 8 01 8 0 xxxxxx . . 在在设圆心角在度分秒制下的角度值为设圆心角在度分秒制下的角度值为 度，在弧度，在弧度制下的角度值为度制下的角度值为 x 弧度，则由二者的换算关系有弧度，则由二者的换算关系有 =( 180/ / )x，故故 x 0 0 . . 由于由于 sin = sin x，故下在度分秒制下故下在度分秒制下有有即下在度分秒制

25、下有即下在度分秒制下有 而在弧度制下而在弧度制下，( cos x ) = - - sin x . . 可见，可见，在弧度制下导数计算公式是最简洁的在弧度制下导数计算公式是最简洁的。 000sincos22limlim sinlim22 s i n1 8 0 . . cossin .180 xx 00limlimxhxhhf x h f xaaf xhh例例：求函数求函数 f( ( x )= a x ( ( a 0, ,a 1 ) )的导数。的导数。 于是求得于是求得 ( a x ) = a x lna，x ( - - ,+ ). . 特殊地，当特殊地，当 a = e 时有时有 ( e x )

26、= e x ，x ( - - ,+ ). . ln001e1limlimhhaxxhhaaahh0lnlimln.xxhhaaaah 00lo glo glimlimaahhf xh f xxhxf xhh例例：设设 f( x )= log a x，( a 0 , ,a 1 )，求求: : f ( x ). . 故求得故求得 特殊地，当特殊地，当 a = e 时有时有00ln1111limlim.lnlnlnhhhhxxxxxhaxhaxa0011lim loglimlog 1aahhx hxhhxx hx 1log0lnaxxxa, , , , , , 1ln0 xxx, , , , . .

27、 1l i m1exxx 在如果没有极限结果在如果没有极限结果 ，对数函数的，对数函数的导数就无法求出。相应地，指数函数的导数也无法导导数就无法求出。相应地，指数函数的导数也无法导出。出。而对数函数和而对数函数和指数函数都指数函数都是基本初等函数。因是基本初等函数。因此此, ,该该极限也是极限也是微积分计算的又一支柱。微积分计算的又一支柱。关键是利用它们的性关键是利用它们的性质，取什么样的数为底并不特别重要。因此为计算上质，取什么样的数为底并不特别重要。因此为计算上方便，在各类工程计算中大都采用以方便，在各类工程计算中大都采用以 e 为底的对数函为底的对数函数和指数函数。数和指数函数。 0 0

28、00t a nl i m l i m .x xxff yxxKx x x 0limxffx xxfxx 例：例：试证试证： 若若 f( x )是可导奇函数，则是可导奇函数，则 f ( x )为偶函数为偶函数； 若若 f( x )是可导偶函数，则是可导偶函数，则 f ( x )为奇函数为奇函数。这是函数一般性质的证明问题，由于并未给出这是函数一般性质的证明问题，由于并未给出f( x )的具体特性，故宜考虑根据导数定义进行讨论。的具体特性，故宜考虑根据导数定义进行讨论。 设设 f( x )是奇函数，即有是奇函数，即有 f( - x )= - f( x )，要证，要证， f ( -x )= f (

29、x ). 记记 f( x )的可导区间为的可导区间为 I，则对，则对 x I 有有 0limxffxxxx 0 lim.xffxxxfxx 即即 f ( x )为偶函数为偶函数。 0l i mxf fxxxx 设设 f( x )是偶函数，即有是偶函数，即有 f( - x )= f( x )，要证，要证， f ( -x )= - - f ( x ). 记记 f( x )的可导区间为的可导区间为 I，则对，则对 x I 有有即即 f ( x )为奇函数为奇函数。 0limxffxxxx 0 lim.xffxxxfxx 0000 l i ml i mxxf fy xxxx x 导数作为极限是双侧极限

30、的概念，因此通常的导数导数作为极限是双侧极限的概念，因此通常的导数可称作双侧导数。可称作双侧导数。 然而，在一些问题中却需要考然而，在一些问题中却需要考虑相应的单侧变化率，如闭区虑相应的单侧变化率，如闭区间端点处的导数问题，分段函间端点处的导数问题，分段函数在分段点处的导数问题等，数在分段点处的导数问题等，因而便产生了所谓单侧导数概念。因而便产生了所谓单侧导数概念。 C. P. U. Math. Dept. 杨访杨访 设设 f( x )在点在点 x 0 的某个左邻域内有定义，若极限的某个左邻域内有定义，若极限 存在，则称此极限存在，则称此极限为为 f( x )在点在点 x 0 处的左导数，记作

31、：处的左导数，记作：f -( x 0 ) ，即，即 设设 f( x )在点在点 x 0 的某个右邻域内有定义，若极限的某个右邻域内有定义，若极限 存在，则称此极限存在，则称此极限为为 f( x )在点在点 x 0 处的右导数，记作：处的右导数，记作：f +( x 0 ) ，即，即 00 00lim.xffxxxfxx 0000 limlimxxffyxxxxx 00 00 lim.xffxxxfxx 2 2 01m ax12xxfxxxxx, , , , , ,. . 由双侧极限与单侧极限的关系知，函数由双侧极限与单侧极限的关系知，函数 f( x )在点在点 x 0 处导数存在的充要条件是：处

32、导数存在的充要条件是： f( x )在在 x 0 处的左、右导数存在并相等，即处的左、右导数存在并相等，即 若函数若函数 f( x )在开区间在开区间( a , ,b )内可导，且在区间端内可导，且在区间端点处点处 f + +( a )、 f - -( b )都存在，就称都存在，就称 f( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上可导。上可导。 若分段函数在各子段上都是初等函数，则分段函数若分段函数在各子段上都是初等函数，则分段函数的导数一般应分两部分考虑：的导数一般应分两部分考虑： 在各子段对应的可导开区间内的按导数公式和导数在各子段对应的可导开区间内的按导数公式和导数规则求导，而在分段点处

33、则根据导数定义或分左、右导规则求导，而在分段点处则根据导数定义或分左、右导数分别计算。数分别计算。 例例：设设 f( x )= Max x ,x 2 ，x ( 0 , ,2 )，问：问：f( x )在点在点 x = 1 处是否可导？处是否可导？ f( x )是分段函数，是分段函数，x = 1 是其分段点，故应按是其分段点，故应按左右导数考察其在左右导数考察其在 x = 1 处的可导性。处的可导性。 由由 f( x )的定义可写出其初等函数分段表达式，由的定义可写出其初等函数分段表达式，由此可作出的图形并作直观分析。此可作出的图形并作直观分析。2yx1yO0 x x yx 2 0112xxfxx

34、x, , , ,. . 000limxxf fxxKxx 001111limlim1 111xxffxxfxx; ; 由直观可见，由直观可见， f( x )在点在点 x = = 1 处不可导，但要说明处不可导，但要说明这一点还需计算并比较这一点还需计算并比较 f( x )在点在点 x = = 1 处的左右导数：处的左右导数： 因为因为 f - -( x 0 ) f +( x 0 )由函数在一点可导的充要由函数在一点可导的充要条件知：条件知：f( x )在在 x = = 1 处不可导。处不可导。 000211111limlimlim2 1111xxxffxxfxxx. . 2 c os100.x

35、xfxxx, , , ,例例：设设 求求: : f ( x ). .求分段函数导函数问题。求分段函数导函数问题。这样的问题应分两部分考虑：这样的问题应分两部分考虑： 在各子段的可导区间内的导数按在各子段的可导区间内的导数按导数公式和导数规则计算，分段点处导数公式和导数规则计算，分段点处的导数按左、右导数讨论。的导数按左、右导数讨论。 该分段函数定义域为该分段函数定义域为( - - , ,+ )，分段点为分段点为 x = 0，易看出，在分段点的两侧区间，易看出，在分段点的两侧区间( - - , , 0 )和和( 0 , ,+ )内，函数表达式都是初等函数，因而都是可内，函数表达式都是初等函数，因

36、而都是可导的，其导数只需按导数规则计算。在分段点导的，其导数只需按导数规则计算。在分段点 x = 0 处处的可导性是未知的，因而需讨论其可导性。的可导性是未知的，因而需讨论其可导性。( - - , 0 )( 0 , ,+ ) 当当 x ( - - , , 0 )时，时， = cos x - - 1， f = - sin x 当当 x ( 0 , ,+ )时，时， = x 2， f = 2 x 00c o s 01 000l i m l i m0hhf fhhfhh 分段点分段点 x = 0 处的左、右导数分别为处的左、右导数分别为 由于由于 f -( 0 )= f +( 0 )= 0，故，故

37、在在 处可导处可导, ,且有且有 f ( 0 )= 0 . . 22 0022s i n22l i ml i m0.22hhhhhh 000lim0hffhfh 2 0000limlim0.hhhhh sin0sin000 2020 xxxxfxxxxxx, , , , , , , , , . 于是求得：于是求得： 0000l i mt a n .xf fxxxfxx 由曲线切线的讨论知：由曲线切线的讨论知： 函数函数 f( x )在一点在一点 x 0 处的导数处的导数 f ( x 0 )的几何意义的几何意义为曲线为曲线 y = f( x )在点在点 M 0( x 0 , ,f( x0 )处切

38、线处切线 MT 的斜率的斜率. . 设设 为切线为切线 MT 与与 x 轴正向的交角，则有轴正向的交角，则有:CyfxyO0 x x 0 xM 0fx 0 x x x y T0M 00 t a nyf fxxxx x 0000limxffxxxfxx t a n . . 0000t a ny f fx x x x x x , , 由导数的几何意义容易写出曲线由导数的几何意义容易写出曲线 y = f( x )在点在点 M 0( x 0 , ,y 0 )处的切线方程与法线方程。处的切线方程与法线方程。 切线方程切线方程: : 法线方程法线方程: : 00t a n2yfxxx 001.xxfx 由导数几何意义知，函数在一点的可导性与曲线在由导数几何意义知，函数在一点的可导性与曲线在相应点切线的存在性有着对应关系，即若函数相应点切线的存在性有着对应关系，即若函数 f( x )在在点点 x 0 处可导，则曲线处可导，则曲线 y = f( x )在点在点 M 0( x 0