北师大版八年级数学上册-第二章实数(同步+复习)精品串讲课件

1、第二章第二章 实数实数第一单元：认识无理数第一单元：认识无理数无理数的概念无理数的概念定义：无限不循环小数叫做无理数。定义：无限不循环小数叫做无理数。特征：小数部分无限；小数部分不循环；不特征：小数部分无限；小数部分不循环；不能表示成分数的形式。能表示成分数的形式。与小数的关系：与小数的关系：4.三种类型：根号型三种类型：根号型 与与有关型有关型 构造型构造型无理数有正的无理数和负的无理数无理数有正的无理数和负的无理数.小数小数有限小数有限小数无限循环小数无限循环小数无限循不环小数无限循不环小数有理数有理数无理数无理数【例【例2】说说谁说说谁“有理有理”，谁，谁“无理无理” 以下各数： 1,3

2、.14,4,3,0,2,0.2020020002 -(相邻两个2之间0的个数逐次加1) ，3.3 其中，是有理数的是其中，是有理数的是_，是，是无理数的是无理数的是_ . 在上面的有理数中，分数有在上面的有理数中，分数有_，整数有整数有_.23 【练习】【练习】 1.下列说法中正确的是（ ） A.不循环小数是无理数不循环小数是无理数 B.分数不是有理数分数不是有理数 C.有理数都是有限小数有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数是有理数 E.无理数分正无理数无理数分正无理数,0和负无理数和负无理数 F.无限循环小数不一定能化成分数无限循环小数不一定能化成分数.第二单元：平方根第二单元

3、：平方根平方根平方根定义定义:一般地一般地,如果一个数如果一个数x的平方等于的平方等于a,即即x2=a,那么那么,这个数这个数x就叫做就叫做a的平方根的平方根(也叫也叫 二次方根二次方根).性质性质:一个正数一个正数a的平方根有两个的平方根有两个,它们互为相它们互为相反数反数,分别用分别用+a和和a表示表示.合起来合起来a读读做做“正负根号正负根号a”。0的平方根是的平方根是0。负数没有。负数没有平方根。（平方根。（根指数根指数2省略不写省略不写）开平方：求一个数开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开的平方根的运算叫做开平方平方,a叫被开方数。乘方与开平方互为逆运叫被开方数。乘方与开平方互为逆

4、运算。开平方运算的结果叫做平方根。算。开平方运算的结果叫做平方根。平方根：正二零己负无。平方根：正二零己负无。【例例1】求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1）64；12149)2(（3）0.0004(4) (-25)2（5）111、初步了解：、初步了解：a 的一个重要特性：开的一个重要特性：开得尽时是一种运算。开不尽时可能就是一得尽时是一种运算。开不尽时可能就是一个数（无限不循环小数的简便写法）个数（无限不循环小数的简便写法）2、两个平方根只要求出其中的正根，另、两个平方根只要求出其中的正根，另一个根就是它的相反数（知一写一）一个根就是它的相反数（知一写一）算术平方根算术平方根定义：一

5、个正数定义：一个正数a有两个平方根有两个平方根a，其中，其中正的平方根正的平方根a叫做叫做a的算术平方根。的算术平方根。a表示表示a 的算术平方根。规定：的算术平方根。规定：0的算术平的算术平方根是方根是0。显然：负数没有算术平方根。显然：负数没有算术平方根。重要性质：重要性质：a的非负性：的非负性：a 0，a0( 双非负）。双非负）。a是非负数是非负数a的算术平方根；的算术平方根；-a是算术平方根的是算术平方根的相反数（另外一个平方根）。相反数（另外一个平方根）。a开得尽是运算；开不尽可能就是个数（最写）开得尽是运算；开不尽可能就是个数（最写）整理：初中阶段三个重要非负数：整理：初中阶段三个

6、重要非负数：IAI、A2 A。熟记活用。熟记活用。（6）10的算术平方根是（5）(4)2的算术平方根是（4）106的算术平方根是（3）0.01的算术平方根是（2） 9的算术平方根是（1）9的算术平方根是36= 1.44=214= 25=331 . 031041062 . 1235【例【例2 】【例【例3】填空】填空121的平方根是（的平方根是（ ）；算术平方根是（）；算术平方根是（ ）64=（ ）；）；-81=（ ）；）；36=（ ）；）；7的平方根是（的平方根是（ ）；算术平方根是（）；算术平方根是（ ）0的平方根是（的平方根是（ ）；算术平方根是（）；算术平方根是（ ）1的平方根是（的平方

7、根是（ ）；算术平方根是（）；算术平方根是（ ）9的平方根是（的平方根是（ ）16的平方根是（的平方根是（ ）三个重要公式三个重要公式若若x2=a 则则 x=a(用来解方程）。用来解方程）。(a )2=a (a0)(a2 )2 = IaI ( 需分类讨论需分类讨论). 特别注意公式特别注意公式2、3的区别：的区别：先开后平就自先开后平就自己；先平后开加绝对。己；先平后开加绝对。IAI= a-b 的相反数是的相反数是b-a；a+b的相反数是的相反数是- a-bA（A0）A（A0）数形结合判正负数形结合判正负【例【例4】做一做】做一做解方程：解方程：64 (x-1)2=361. 化简化简(a-b)

8、2-(a+b)2+(a-1) 2 +(1-b)2;)4(. 22;8 . 0. 32 1-10aba,b在数轴上的位置如图所示。在数轴上的位置如图所示。解：由已知，得解：由已知，得 0)2(12yx0201yx且2, 1yx3)2(12222 yx 已知已知x、y满足满足 求求 的值。的值。04412yyx22yx 【练习【练习2】“平方根平方根”的定义：的定义：“平方根平方根”的表示方法的表示方法： x就记作就记作 ，即，即x = 。aa注意：注意： 叫做算术平方根，叫做算术平方根， 叫做负平方根。叫做负平方根。aa 一般地，如果一个数一般地，如果一个数x的平方等于的平方等于a，即，即x2=

9、a，那么这个数那么这个数x就叫做就叫做a的平方根的平方根(二次方根二次方根)。五、整理复习五、整理复习【典例【典例2】若若则则xy的值为的值为 。 211yxxx【典例【典例3】使代数式使代数式 有意义的有意义的x的取值范围是（的取值范围是（ ）。）。 43xx【典例【典例4】已知式子已知式子在实数范围内有意义，则点在实数范围内有意义，则点P(m,n) 象限象限 mnm1 【典例【典例5】下列各数中没有平方根的数是下列各数中没有平方根的数是（ ） A.(2)3B.33 C.a0D.（a2+1）第三单元：立方根第三单元：立方根立方根立方根定义：一般地，如果一个数定义：一般地，如果一个数x的立方等

10、于的立方等于a,即即x3=a,那么，这个数那么，这个数x就叫做就叫做a的立方根的立方根（也叫做三次次方根）。（也叫做三次次方根）。每个数每个数a（正、负、零）都只有一个立方根，（正、负、零）都只有一个立方根，记作：记作：“3 a”，读作，读作“三次根号三次根号a”.性质：性质：正数的立方根是正数；正数的立方根是正数；0的立方根是的立方根是0；负数的立；负数的立方根是负数。方根是负数。(3 a)3 =a 3 a3 =a求一个数求一个数a的立方根的运算叫做开立方。的立方根的运算叫做开立方。a叫叫做被开方数。若做被开方数。若x3=a，则，则x= 3 a .【例【例1】1、求下列各数的立方根：求下列各

11、数的立方根：2、求下列各式的值、求下列各式的值.512,278,8000,2161, 1,001. 0.27,)125(,)3(,641,83333333二二. .平方根、算术平方根、立方根的概念的异同平方根、算术平方根、立方根的概念的异同1平方根：若平方根：若x2a(a0)，则，则x叫做叫做a的的_，记作，记作_2算术平方根：正数算术平方根：正数a的的_叫做叫做a的算术平方根的算术平方根.0的算术平方根是的算术平方根是_当当a0时，时，a的算术平方根记作的算术平方根记作_3立方根：如果立方根：如果x3a，那么，那么x叫做叫做a的立方根的立方根(或三次方根或三次方根)，记作记作_正数的立方根是

12、正数的立方根是_，0的立方根是的立方根是_，负数的立方根是，负数的立方根是_特别提醒：特别提醒：负数没有平方根和算术平方根负数没有平方根和算术平方根平方根平方根正的平方根正的平方根0正数正数0负数负数考点聚焦考点聚焦包考探究包考探究重点：被开方数的区别；方根个数的区别；化简去根号的区别！重点：被开方数的区别；方根个数的区别；化简去根号的区别！【练习】【练习】 1、已知：一个数的平方是、已知：一个数的平方是64，则这个数的，则这个数的立方根是（立方根是（ ） 2、填空、填空2参考参考认识开方运算认识开方运算na被开方数被开方数根号根号根指数根指数若若xn=a,则则x叫做叫做a的的n次方根次方根-

13、！第六单元：实数的认识第六单元：实数的认识实数的概念实数的概念常见的无理数：常见的无理数：家族；根号家族；人造种家族；根号家族；人造种家族；其它无理数家族；其它无理数-实数：有理数和无理数统称为实数。实数：有理数和无理数统称为实数。实数的分类（两分法和三分法）：实数的分类（两分法和三分法）：见下页见下页实数实数实数实数有理数有理数无理数无理数整数整数分数分数正无理数正无理数负无理数负无理数正实数正实数 0负实数负实数正有理数正有理数正无理数正无理数负有理数负有理数负无理数负无理数无限不循环小数无限不循环小数正整数正整数0负整数负整数正分数正分数负分数负分数有限小数无有限小数无限循环小数限循环小

14、数（小数）（小数）（自然数）（自然数）人有两性分男女人有两性分男女数有三性正负零数有三性正负零绝对根号平方式绝对根号平方式式中不忘非负数式中不忘非负数小数有理也无理小数有理也无理自然之数不丢零自然之数不丢零【例【例1】把下列各数填入相应的集合内：把下列各数填入相应的集合内：935646. 043039313. 0（1）有理数集合：）有理数集合： （2）无理数集合：）无理数集合： （3）整数集合：）整数集合： （4）负数集合：）负数集合：（5）分数集合：）分数集合：（6）实数集合：）实数集合：3539433996439646. 043313. 06. 04313. 0935646. 043393

15、13. 0实数的基本概念和性质实数的基本概念和性质相反数相反数:a与与-a互为相反数互为相反数;0的相反数是的相反数是0。 a与与b互为相反数互为相反数 a+b=0a-b与与b-a互为相反数互为相反数;a+b 与与-a-b互为相反数互为相反数.倒数倒数:任何非零数任何非零数a的到数是的到数是 ；0没有倒数；没有倒数；a与与 b互为倒数互为倒数 ab=1 ；一个数和它的倒数同号；一个数和它的倒数同号；1的倒数是它本身。的倒数是它本身。绝对值绝对值1aIaI=a(a0)a(a0)正数的绝对值是它本身正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相负数的绝对值是它的相反数零的绝对值等于反数零的绝对值等于0去

16、绝对值口诀去绝对值口诀正数扒皮身不变正数扒皮身不变负数扒皮一刀串负数扒皮一刀串【例【例2】做一做】做一做1.实数和数轴上的点的一一对应关系实数和数轴上的点的一一对应关系数与数轴数与数轴数轴上的点数轴上的点,有的表示有理数有的表示有理数,有的表示无理数有的表示无理数.有有理数和无理数一起装满了数轴理数和无理数一起装满了数轴.数轴上的点与实数是一一对应关系数轴上的点与实数是一一对应关系:任一点对应任一点对应一个实数一个实数;任一实数对应一个点任一实数对应一个点.无理数对应的点的作法无理数对应的点的作法:利用勾股定理可以利用勾股定理可以作一些无理数作一些无理数.如如2、3、5等。等。（1）如下图，）

17、如下图，OA=OB，数轴上，数轴上A点对应的数是什么？点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被 填满了吗？填满了吗？21012BA2每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。和数轴上的点是一一对应的。【例2】【练习】【练习】四四.【例2】D 第七单元：实数的运算第七单元：实数的运算无理数的乘除法法则无理数的乘除法法则 babababa（

18、）,0, 0ba baba babababa（）,0, 0ba（）,0, 0ba（）,0, 0ba（）,0, 0ba1.2.注意公式成立的条件注意公式成立的条件,不符合条件不能用公式不符合条件不能用公式!（1）（2） 1235;236例题例题1、计算、计算631254129(3)无理数的化简无理数的化简最简无理数最简无理数(带根号的数带根号的数)满足的二个条件满足的二个条件被开方数不能含有开得尽的因数被开方数不能含有开得尽的因数.分母中不含根号分母中不含根号.根号中不含分母根号中不含分母.化简无理数的依据化简无理数的依据3.化简无理数的化简无理数的 步骤：步骤： 一化（化掉分母）一化（化掉分母

19、） 二开（把能开出去二开（把能开出去 的因式开出去）的因式开出去）【例【例2】化简】化简125.0.557.432.372.254.1二次根式的加减法二次根式的加减法同类二次根式：化简后被开方数相同的二次同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。根式。按照乘法的分配律，同类二次根式可以合并按照乘法的分配律，同类二次根式可以合并为一项（一个数）。为一项（一个数）。公式：公式：ba+ca=(b+c)a与合并同类项的原理和方法都相同。与合并同类项的原理和方法都相同。二次根式加减法法则：一化（化简）二找二次根式加减法法则：一化（化简）二找（同类二次根式同类二次根式）合三（合并同类二次根）合三（合并同

20、类二次根式）。式）。【例【例3】计算】计算723121121828实数的混合运算实数的混合运算运算分级：一级：乘方、开方；二级：乘法、运算分级：一级：乘方、开方；二级：乘法、除；三级：加法、减法。除；三级：加法、减法。运算顺序：括号运算顺序：括号-乘方、开方乘方、开方-乘法、除法乘法、除法-加加法减法。（由高级到低级，同级依次算）。法减法。（由高级到低级，同级依次算）。运算律：有理数运算律仍然适用。运算律：有理数运算律仍然适用。运算公式：乘法公式等仍然适用。运算公式：乘法公式等仍然适用。结果要求：最简（整数、分数、无理数结果要求：最简（整数、分数、无理数-）。）。运算技巧：一定顺序二开算，计算

21、结果要最运算技巧：一定顺序二开算，计算结果要最简，加减一般先化简，遇到乘除算优先，公简，加减一般先化简，遇到乘除算优先，公式法则要熟练，步步回头防错解。式法则要熟练，步步回头防错解。25（+1）2121（1） 1235;【例【例4】化简】化简(3)(4)第八单元：二次根式第八单元：二次根式二次根式的概念二次根式的概念定义：一般地，形如定义：一般地，形如a（a0)的式子叫做二的式子叫做二次根式。次根式。理解理解从从“长相长相”看，必须含有根号看，必须含有根号。且满足：。且满足： a0被开方数被开方数a可数、可母、可式。（注意：数亦式）可数、可母、可式。（注意：数亦式）a 是是a的算术平方根，的算

22、术平方根，a包含两个非负数。包含两个非负数。a与与a 都是非负数。（必须的）。都是非负数。（必须的）。二次根式前的系数若为带分数，一定要写成假分二次根式前的系数若为带分数，一定要写成假分数。数。“根指数根指数”必须是必须是2：只是省略不写。：只是省略不写。题型：二次根式的辨识；根式有无意义。题型：二次根式的辨识；根式有无意义。最简二次根式和同类二次根式最简二次根式和同类二次根式定义：被开方数不含分母（分母中没有根定义：被开方数不含分母（分母中没有根号），且没有开得尽的因数或因式，这样的号），且没有开得尽的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。二次根式叫做最简二次根式。辨识二次根式：一瞧（

23、有无分母）二分（被辨识二次根式：一瞧（有无分母）二分（被开方数分解因式）；三看（每个因式的指数开方数分解因式）；三看（每个因式的指数都小于都小于2）。）。化简：一去（分母）二分（分解）三开。化简：一去（分母）二分（分解）三开。同类二次根式：化简后被开方数相同的几个同类二次根式：化简后被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式（可合并）。二次根式叫做同类二次根式（可合并）。【例【例3】做一做做一做2522216121)3( ;1442581)2( ;945) 1 (. 2.;.;18.;31. 1abyxDyxCBA化简式的是（）二次根下列二次根式，是最简【练习【练习2】做一做】做一做2243)4()25(, 22. 450. 32322. 2322. 1mxxba化简已知化简：的大小。与比较：面。根号外的数移到根号里把【例【例4】化简（计算）】化简（计算）)0; 0(. 63238. 5327. 4)32(27. 314441. 22135. 153baabba先按照法则计算先按照法则计算结果是而次根式结果是而次根式的再化简。遇乘的再化简。遇乘除先计算后化简除先计算后化简二次根式的混合运算二次根式的混合运算运算分级：一级：乘方、开