分析力学基础第二类拉格朗日方程（课堂PPT）

1、M1-15 第二类第二类拉格朗日方程拉格朗日方程质点质点 i 的虚位移的虚位移将上式代入动力学普遍方程（将上式代入动力学普遍方程（3-15）式：）式：因因qk是独立的，所以是独立的，所以注意广义力可得注意广义力可得11()nNiii ikkikmqqrFr1()01, 2,niii ikimkNqrFr11,2,3,Niikkkqinqrr1. 基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程11()0Nniii ikkkimqq rFrM1-2上式应用起来很不方便。我们要作变换上式应用起来很不方便。我们要作变换上式中的第二项与广义力相对应，称为上式中的第二项与广义力相对应，称为广义惯性力。广义惯

2、性力。注意到广义力可得注意到广义力可得11, 2,niki ikiQmkNqrr拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：就是把主动力的虚功改就是把主动力的虚功改造为广义力虚功。造为广义力虚功。拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：就是改造惯性虚功项，就是改造惯性虚功项，使之与系统的动能的变化联系起来。使之与系统的动能的变化联系起来。 1()01, 2,niii ikimkNqrFrM1-3 变换变换11d1d2nnii ii iikkiimmtqqrrr rddiikktqqrr2. 3. 1. iikkqqrr111ddddn

3、nniiii iiii ikkkiiimmmqtqtqrrrrrr11ddnniiiii ikkiimmtqqrrrrddkkTTtqq22ii11d11d22nniikkiim vm vtqqM1-4可得可得由由11, 2,niki ikiQmkNqrrd1, 2,dkkkTTQkNt qq为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。其中：其中：1nikikiQqrF主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量（不包含约束反力）（不包含约束反力） 2i112niiTm v体系相对惯性系

4、的动能体系相对惯性系的动能 kkTpq广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量 M1-52. 保守体系的拉格朗日方程保守体系的拉格朗日方程 如果主动力都是保守力，即如果主动力都是保守力，即V F ，则为广义力，则为广义力 11nniikikikkiirrVVQFqrqq 11nniiiikiixiyiziikkkkrxyzQFFFFqqqq1niiiiikikikkVxVyVzVxqyqzqq M1-62. 保守体系的拉格朗日方程保守体系的拉格朗日方程 将将Qk代入代入拉格朗日方程拉格朗日方程式，得式，得d()0dkkkTTVtqqq想一想：上式的成立、

5、适用条件是什么？想一想：上式的成立、适用条件是什么？保守体系的拉格朗日方程为：保守体系的拉格朗日方程为：(, )kkLTVL qqt为拉格朗日函数为拉格朗日函数（动势）（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用，是表征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数。等性质的特征函数。势能势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数不包含广义速度，引入拉格朗日函数d()0dkkLLtqqM1-73. 对拉格朗日方程的评价对拉格朗日方程的评价(1) 拉氏方程的特点（优点）：拉氏方程的特点（优点）：n 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形

6、式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。u方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方

7、程为把力学规律推广到其学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。桥梁。M1-83. 对拉格朗日方程的评价对拉格朗日方程的评价(2) 拉氏方程的价值拉氏方程的价值 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了提供了统一的程序化统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义的方法，不

8、仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。学技巧。M1-9 应用拉氏方程解题的步骤：应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力计算广义力 ，计算公式为：，计算公式为：(1,2

9、,)jQjk)(1jiijiijiinijqzZqyYqxXQ或或()jjjWQq 若主动力为有势力，也可将势能若主动力为有势力，也可将势能 V 表示为广义坐标的函数。表示为广义坐标的函数。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。求出上述一组微分方程的积分。M1-10 例例 物块物块C的质量为的质量为m1，A，B两轮两轮皆为均质圆轮，半径皆为均质圆轮，半径R，质量为，质量为m2，求系统的运动微分方程求系统的运动微分方程。 2011()2Vkxm gx解解：图示机构只有一个自由度，图示机构只有一个自

10、由度，所受所受约束皆为完整、理想、定常的，以物约束皆为完整、理想、定常的，以物块平衡位置为原点，取块平衡位置为原点，取x 为广义坐标。为广义坐标。系统势能系统势能：(以弹簧原长为弹性势能零点)M1-11 系统动能系统动能：12222mmxLTVd()0dkkLLtqq系统的拉格朗日函数（动势）系统的拉格朗日函数（动势）2221111222BBIATm xJJ2222212211 11 322 22 2BAm xm Rm R12220121()22mmxkxm gx代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程1201(2)()0mmxkxm gM1-12 注意到注意到可得系统的运动微分方程可得系统的运动微分

11、方程01km g12(2)0mmxkxM1-13已知：已知：M1的质量为的质量为m1， M2的质量为的质量为m2，杆长为杆长为l。试建立此系统的运动微分方程。试建立此系统的运动微分方程。解：图示机构为两个自由度，取解：图示机构为两个自由度，取x1， 为广义坐标，则有。为广义坐标，则有。系统动能系统动能：10y 2cosyl2221 122211()22Tm xmxy求导求导：21sinxxl10y 2sinyl 21cosxxl 22212111()(2cos )22m lmmxlxM1-142(1cos )Vm gl系统势能系统势能：（选质点（选质点 M2 在最低位置为零势能位置）在最低位置

12、为零势能位置）求导运算可得：求导运算可得：12121()cosTmmxm lx110 xVQx 10Tx2121221d()cossindTmmxm lm ltxd()dkkkTTQtqq由拉格朗日方程由拉格朗日方程 得得212122()cossin0mmxm lm lM1-15同理：同理：2221cosTm lm lx21sinVQm glx 21sinTm lx2111d(cossin)dTm l lxxtxd()dkkkTTQtqq由拉格朗日方程由拉格朗日方程 得得2112(cossin)sinm l lxxm gl M1-16 例例 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆水平面内运动的行星

13、齿轮机构。均质杆OA：重：重P，可绕，可绕O点转动；均质小齿轮：重点转动；均质小齿轮：重Q，半径，半径 r ，沿半径为，沿半径为R的固定大齿的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示位于图示OA0位置。系杆位置。系杆OA受大小不变力偶受大小不变力偶M作用后，求系杆作用后，求系杆OA的运动方程。的运动方程。 rrRrvrRvAAA)(解解：图示机构只有一个自由度，图示机构只有一个自由度，所所受约束皆为完整、理想、定常的，可受约束皆为完整、理想、定常的，可取取OA杆转角杆转角 为广义坐标。为广义坐标。M1AAAQTJvJg()WQM 222

14、91()12PQRrg22222222()1 111 1()()2 322 2QQRrPRrRrrgggrWM()229d1 ()d6PQTRrtg0T2291()6PQTRrgM1-18 代入拉氏方程：代入拉氏方程：26(29)()MgPQRr积分，得：21223(29)()Mg tC tCPQRr22)(92(3gtrRQPM故：代入初始条件，t =0 时， 得0 0 , 02100C C2291()06PQRrMgM1-19 例：例：与刚度为与刚度为k 的弹簧相连的滑块的弹簧相连的滑块A，质量为，质量为m1,可在光滑水可在光滑水平面上滑动。滑块平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长上又连一

15、单摆，摆长l ， 摆锤质量为摆锤质量为m2。试列出该系统的运动微分方程。试列出该系统的运动微分方程。解解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x , 为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位置， 逆时针转向为正。M1-20 222222(cos)(sin) 2cosBvxllxlxl系统动能：系统动能：22222212121111(2cos) 2222BTm xm vm xmxlxl222122211()cos22mmxm lm xlM1-21 系统势能系统势能：(以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点)221cos2Vkxm gl拉格

16、朗日函数：拉格朗日函数：22222122211 1cos ()cos222LTVmmxm lm xlkxm glM1-22 21222d()cossindLmmxm lm ltx代入：d()0 (1,2,)dkkLLkNtqq并适当化简得：222212222111()coscos222Lmmxm lm xlkxm gl21222()cossin0mmxm lm lkx122()cos , LLmmxm lkxxx 222222222cos, sinsind()cossindLLm lm xlm xlm glLm lm xlm xlt cos sin0 xlgM1-23 0sin cos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm 系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。0 0)(221glxkxlmxmm 上式为系统在平衡位置上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。附近微幅运动的微分方程。 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 1o，cos 1，sin ，略去二阶以上无穷小量，则，略去二阶以上无穷小量，则M1-24M1-25 变换变换 1. iikkqqrr由由 12(, )(1, 2,)iiNq qqtinrrddiit rr1Niikkkqqtrr两边对时间求导数可得两边对时间求导数可得 kq 两