现代信号处理5_滤波器组基础2_2015

1、现代信号处理 (Modern Signal Processing) 2015主要内容 滤波器组的基本概念 滤波器组的种类及有关滤波器 半带滤波器设计 多抽样率系统简介滤波器组的基本概念一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的相加后的输出。分析滤波器组综合滤波器组分析滤波器组的作用将信号按频带分解，分解为低通、一系列带通和高通信号。 按信号能量的分布，或按重要性，给以分别的处理。;4745),(;4543),(;434),(;44),(43210jjjjeHeHeHeHM2),(;22),(210jjeHeHMM 通道滤波器组MMLowpasseHj/,),(0)()/2(M

2、jkjkeHeHM 通道滤波器组 综合滤波器组的作用 去除插值后的镜像；实现真正的插值，重建原信号。 M ：由于每一个子带信号的频带降为原来的1/M，所以抽样频率可降低M倍； M ：恢复原来的抽样频率，使重建后的信号和原信号有相同的抽样频率。 又抽取又插值的作用 达到按信号能量分布给以不同处理的目的，如编码； 抽取后的信号可能要传输很远距离才重建。)()(nxnxPerfect Reconstruction(PR)()(0nncxnxPerfect Reconstruction(PR)滤波器组的几个基本问题 失真问题 混迭失真：抽样频率不满足大于最高频率成分的M倍 幅度及相位失真： 滤波器组的

3、频带在通带内不“平”，而其相频特性不具有线性相位所致 编码,量化，传输所产生的误差 其他问题 每个滤波器是否要一 一设计？ 每一路的滤波是否要逐一计算？ 如何保证PR?最大均匀抽取滤波器组)()(0kMkzWHzHMkjkMeW/21, 1 , 0,)()/2(0MkeHeHMkjjk)(0zH给定低通原型：移位生成：)(,),(),(110zHzHzHM 最大均匀滤波器组均匀滤波器组通过下列方式得到：令1, 2 , 1,)()(20MkenhnhknMjk)()(0kMkzWHzH)()/2(0MkjjkeHeH1, 2 , 1),(Mknhk一般是复序列1, 2 , 1, )(MkeHjk

4、一般不以=0对称频带在0,2内均匀划分如何得到实系数的均匀滤波器组？1.分别设计各个滤波器2.采用余弦调制的方法余弦调制滤波器组Mnjenhnh20)()(0Mnjenhnh20)()(0)2cos()(2)()()(00Mnnhnhnhnh2) 12(cos)(2)(Mnknhnhk正交镜像滤波器组)()(01jjeHeHQuadrature mirror filter bank，QMFB第M带滤波器)()(11MlMllzEzczHothersncneMnh, 00,)()(0M=3第M带滤波器L)(nhx(n)v(n)y(n)如果将一个Mth滤波器接在一个L倍的插值器后，且L=M)()(

5、)()()(11MMlMllMzXzEzczXzHzY)()(ncxMny第M带滤波器-定理若H(z)是一个Mth滤波器，则1M0kkM1)H(zW),(n1,M,0,1,l,l)Mi(nh(n)l)h(Mn(n)eilklM1M0kkMklM1M0knnkMnn1M0k/Mn)k(l2jninnnllW)H(zWM1W)h(n)(zWM1zeM1h(n)zl)Mi(nh(n)z(n)e(z)E klMMkkMlWzWHMzE10)(1)(czWHMzEMkkM100)(1)(1)(10MkkMzWHMc/1令1, 1 , 0),()(),()(0MkzWHzHzHzHkMk110)/2(Mk

6、MkjeHM th滤波器在均匀移位后频率特性的和为常数。另外，M th 滤波器中有不少的零值点，有利于高效计算。110)()()(MlMlMzzzEzH)()(,)()(lMnhneznezElnnll)()(rMnhner)()(zHzrnhr)()(1)(/110/110kMMMkkrMMrkMMMkrrWzHWMzWzGMzEcWzHMzEkMMMk)(1)(/11000r令Mc/1如果1)(/110kMMMkWzH110)/2(MkMkjeH另一证法：半带滤波器)()(21zEzczHl) 12()(1nhneothersncnhne00)2()(0半带滤波器113)(,1)(zzEz

7、zHzzEzzzH1)(,1)(11jzEjzzH)(,1)(11101)(MkkMzWH1)()()(jjeHeH半带滤波器可以是因果的，也可以是非因果的，可以是实的，也可以是复的。1)()(zHzH2M令),()(),()(10zHzHzHzH半带滤波器H0(z)，H1(z)以及H0(z)+H1(z)的幅频特性半带滤波器的特点 通带与阻带的纹波必须相等；2/0 , 1)2/()2/(jjeHeH 除n=0外，h(n)的所有偶序号项全为零。 若H(z)是非因果的、零相位的FIR滤波器，即h(n)=h(-n),h(n)的单边最大长度为2J-1（J为整数），总长度为： N=2(2J-1)+1=4

8、J-1 半带滤波器的h(n)有近一半的值为零，可以有效减少计算量。互补性滤波器100)(MknkczzHMth滤波器是严格互补的，半带滤波器也是严格互补的。但严格互补型滤波器并不一定是Mth滤波器或半带滤波器。严格互补型滤波器有利于信号的准确重建。1.严格互补滤波器10100)()()()()()()(MknkMczzXzHzXzHzXzHzX2.功率互补滤波器(Power complementary, PC)102)(MkjkceH10)()(MkkkczHzH)()(1*zHzH将H(z)的系数取共轭，并用z-1代替z。若H(z)的系数是实的)()(1zHzHk)()(10MlMllzEz

9、zH)()()(zHzHzG给定一转移函数H(z)，其多相表示为再令 ，当且仅当G(z)是一Mth滤波器时，)(,),(10zEzEM 是功率互补的。定理证明：1, 1 , 0),()(MkzWHzHkMk1, 1 , 0),()(101MkzEWzzHMlMlklMk )(110)()1(1)(110)()()(0000001)()()(zMMMMzMzMzEzEzEzzzHzHzHEhWW是M阶DFT矩阵，czz)()(EE)()()()()()()()(zzMzzzzzzEEEWWEhhIWWMDFT矩阵)1)(1(22)1(2)1(2)1(224222)1(22221111111MMM

10、jMMjMMjMMjMjMjMMjMjMjeeeeeeeeeWXWX )(DFTIWWM(1) 若E(z)是功率互补的，则)()(cMczzhh102)()()(czHzzMkkhhH0(z)，H1(z)，, HM-1(z)是功率互补的)()()(zHzHzG)()()()()(zHzHzWHzWHzWGkkkMkMkM10102)()(czHzWGMkMkkkM(2) 若G(z)是Mth滤波器10102)()(czHzWGMkMkkkM)()()()()(zHzHzWHzWHzWGkkkMkMkM)()(cMczzhh)()()(11zzzhWE)()()(11zzzhWEcMzzzzzzz

11、)()()()()()()(1111hhhWWhEEE(z)功率互补定理总结czz)()(EEMczz)()(hhG(z)是Mth滤波器G(z)是Mth滤波器czz)()(EEMczz)()(hh该定理指出，由一Mth滤波器可得到一组功率互补的滤波器。同理，由一半带滤波器也可得到两通道功率互补滤波器，这就为设计准确重建滤波器组提供了理论依据。例如，若M = 2czHzHzHzH)()()()(1100 x(n)H0H1x1(n)x0u1(n)G1G0)(nx0)(nx1)(nxczHzHzHzH)()()()(1100)()(0zHzH)()()(121zHzWHzH)()()(zHzHzGc

12、zGzG)()(如果希望设计出符合功率互补的滤波器H0(z)，可以先设计一个半带滤波器，然后对G(z)作谱分解，即可得到H(z)。几个符号的说明)(TzH令H(z)是一个矩阵，H的各个元素都是z的多项式)(HzH)(*zH)()(T*zzHHH(z)的转置H(z)的共轭矩阵H(z)的各元素的系数取共轭H(z)各元素系数取共轭，用z-1代替z，取转置。半带滤波器的设计1.窗函数法otherseHjd02/1)(nnenhnjd)2/sin(21)(2/2/0)2()4()2(, 2/1)0(khhhhdddd)()12()(nwJnhnhdw(n)是所选用的窗函数，h(n)是所设计的半带滤波器，

13、h(n)的长度是N=4J-1。2.利用Lagrange插值法JnnnJnJkJnhJkJn, 2 , 1,) 12()!1()!(5 . 0) 1() 12(211求出h(1),h(3),h(5),h(2J-1)，并令h(0)=0.5)(12(5 . 0)(12112nJnnzznhzH3.利用单带滤波器来设计半带滤波器设计任务：设计一半带滤波器H(z)，技术要求：p, s,N=4J-1设计过程：l 先设计一单带滤波器G(z)，所谓“单带”是令G(z)的通带频率为2p，阻带频率为，只有一个通带，没有阻带。l 技术要求：p=2 p, s=, N=4J-1, N=(N+1)/2。l 用切比雪夫最佳

14、逼近设计一个高性能的G(z)。l g(n) 的长度为2J，始终为偶数，然后对g(n)做2倍的插值，并令插值后序列的中心点为0.5.)(21)(2/)1(2NzzGzHothersJ,nng.Nnnh024420)2/(50)21(21)(H(z)是一半带滤波器，通带截止频率在p, 其通带和阻带的纹波分别是G(z)的一半。在数字网络中，在一条线上传输多路信号的常用方法有时分复用，假如在一条线路上传输4路数字信号，TDM的方案4444)(4nx)(3nx)(2nx)(1nx1z1z1z)(ny发射端4)(4nx)(3nx)(2nx)(1nx1z1z1z)(ny444接收端多抽样率的应用2)(1je

15、X2)(2jeX2)(3jeX2)(4jeX2)(41jeX2)(42jeX2)(43jeX2)(44jeX2)(jeY4444)(4nx)(3nx)(2nx)(1nx)(ny发射端)(4zG)(3zG)(2zG)(1zG语音和图像的子带编码两通道滤波器组理想重构条件)()()(),()()(1000zHzXzXzHzXzX)()()()( 5 . 0)()()(2/102/12/102/12/102/100zHzXzHzXzXzXzV)()()()( 2/1)()()(2/112/12/112/12/112/110zHzXzHzXzXzXzV)()()()()()(21)()(2/12/12/112/112/102/1010zXzXzHzHzHzHzVzV)()()()()(1100zGzUzGzUzX)()(),()(211200zVzUzVzU)()()()()(212010zVzVzGzGzX)()()()()()()()()(110010zXzXzHzHzHzHzGzGzX)()()()()(21)()()()()(21)(11001100zXzGzHzGzHzXzGzHzGzHzX)()()(