李永乐线性代数冲刺笔记打印版

1、线性代数冲刺笔记120【例题1B= 03a，a2 2AB = E，r(AB 2BA + 3A)=()005(A) 1(B) 2(C)3(D)与a有关【解/A(A 2B)=EA 可逆，且 A-1 = A 2BA(A 2B) = (A 2B) A(A A 1= A 1 A)AB = BA 那么，AB 2BA + 3A = 3A AB = A(3E B)又，A可逆，知r(AB 2BA + 3A) = r(A(3E B) = r(3E B)a有|3E B| = 0,又3E- B有二阶子式不得零，从而r(3E B) = 2.【评注】本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法设矩阵A n阶，B n阶，若AB =

2、BA = E，则称矩阵 A可逆，且B为A的逆矩 阵.由此有A A1= A1 A.【例题2 Amx n， n1，耳2，n是Ax = 0的基础解系，a是Ax = b的一个解.(I) 证明a， a+巾，a+吃，a+ nt线性无关.(II) 证明Ax = b的任意一个解都可以由a， a+巾，a+怯，a+ n线性表出.【分析n，怯 ，nt是Ax= 0的基础解系，那么 n，n2，nt必定线性无关，从而证明a， a+ n， a+耳2，a+ n线性无关可以用定义法。【证(I)(用定义，重组，同乘)设 k0 a + k1 (a+ n)+ k2( a+ n)+ kT( a+ qt)= 0(1)即 (心+ k +

3、k?+ kp a+ k n + k?论+ ky nt =0(2)由 Aa= b， Ani= 0 (i= 1，t)，用 A 左乘(2)，有(k0 + k+k2+ kt)A a + k1A n1 + k2An + ktAt= 0即(k0 + k1 + k2 + kt)b = 0又 b 工 0，有 k+ k?+ ky= 0带入有 ki ni + k2n + kt n = 0,而n, n2,，n是Ax= 0的基础解系，那么 n, n2,，n必定线性无关，从而 ki = k2 = kt= 0,带入(3)有 ko =0.所以 ko= ki = k2=-，= kt = 0a, a+ ni , a+ 耳2,，

4、 a+ n 线性无关.(或用秩)t n, n2,，n线性无关，a是Ax= b的解 a不能由ni, n,，n线性表出.xin + x2n + + xtnt = a无解 r( n, n，nt)工r(n， n,，n, %)t Mn, n,，n) = tr(n，呢，n, % = t +ir( a, a+ ni, a+ n,， a+ n)= t+ I a, a+ ni, a+ n,， a+ n 线性无关.(II)设B是Ax = b的任意一个解，则 B a是Ax= 0的解.从而B a= li ni+ I2 n + lt nt .B= a+ lini +122 + it nB= (i li 12 一 it)

5、a + lin + 军 + it n即 B可由 a, a+ n , a+ 2, ， a+ n表出.【评注】本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的概念：设有向量小组 n, n,，n满足：(1) an = 0(i =i,，t)，即卩 n 是 Ax = 0 的解.(2) Ax = 0的任意一个解都可以由n，n，n表出【例题3 Amx n, r(A)= n, ai, a2,，as是n维列向量.证明：ai, a2,，as线性无关的充分必要条件是 A ai , A%2，A og线性无关.【证必要性(用定义)设 kiA ai + k2A a2 + ks A as= 0，即

6、A (ki ai + k2 ca+ + 耐 as) = 0.由 Amxn, r(A)= nAx= 0只有零解.故 ki ai + k2 a2 + kg as= 0,又 ai, a2,， a线性无关k= ki = k2= kg= 0.从而Aai, Aa2，Aag线性无关.充分性(用秩) 因为 Aai, A a?，Aag= A(a, a,，a)，所以r(Aai, A Ol,，A as) = r(A(ai, a，a)w r( a , a，a)由 A a, A a,，Aas线性无关知 r(A a, Aa2,，A a) = s.而r(a, 竝，as)s,从而 r(ai, 竝， a)= sa, 竝， a线

7、性无关.【例题4】设 A= ai,a2,a3,a, Ax= B 的通解是1 , -2, 1,- 1 T+k1 , 3, 2,0T,B= a, a, a, B+ a,尸a1 3a +5 a3,(I) a1 能否由 a2a3 线性表出(II) a能否由a , a , a线性表出(III) Bx= 丫求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出 所以要从解的结构抽象地求解方程组 .用观察法得到基础解系 注意基础解系是线性无关的 .【证】(I) Ax= B解的结构知r(A) = 3.13由 A = 0a1 3a2 2a3= 0a1 能由 a2a3

8、 线性表出 .20(II) 设 x1 a1x2 a2x3 a3 = a4由(I)知r( a ,a2 , a)v3,而r(a , a, a , a4)= 4,知方程组无解，故a4不能由a , a, aa线性表出12(III) 由 A=B a 2 a2 +a3%4= B ,11那么 B= a3a2a1Ba4 = a3a2a1a12a2a3a4r(B)=4.从而 n r(B)= 2.53因为 a3a2a1 a1 2a2a3 a4= a1 3a25a310所以5 , 3 , 1 , 0 T是Bx= 丫的一个解.20由知a + 3 a. + 2 a3= 0 从而 a3a2a1a1 2a2 a3 a4=

9、0 用观察法 取另一个向量使得它与2 , 3 , 1 , 0 T线性无关,12 、a, a, a, a 2 a + a a= 0,所以 Bx= 丫的通解是115, 3, 1, 0 T + ki2 , 3, 1, 0 T + k2 1, 2, 1, 1 T,其中 ki, k?为任意常数【评注】本题考查了方程组解的结构以及在方程组矩阵未具体给出的时候如何求解方程组的通解.根据题目信息求出系数矩阵的秩后，会用方程组解的理论拼出解得基本形式，要会用观察法得到特解，和线性无关的解向量1 23，并用它表岀其他向量【例题5】A = a1, a,a,a工0满足AB=0.其中B=246 ，求a,ca,a的一个极

10、大线性无关组3 6k【分析】从AB= 0要得想到两方面的信息：(I) r(A) + r(B)w n (II) B的列向量均是 Ax= 0的解.【解】由 AB = 0r(A) + r(B)3.因为 A工 0, B工 0 知 1 r(A) 2, K r(A) 2k工9时，r(B) = 2,从而r(A)= 1，此时极大无关组为 a.由AB= 0得0(k 9) a3= 0k工9，故 a = 0,a3= 0a1.k = 9 时，r(B)= 1，从而 r(A)= 1 或 2.r(A)= 1，则极大无关组为1323a +2 a2 + 3 a3 (%4= 01,2tr(A)= 2，则极大无关组为a2必定线性无

11、关，否则r(A)= 1)【例题6】设A =,r(A)= 2，则A* x= 0的通解是n, r (A)n【分析】若 A 为 n 阶方阵，则 r ( A*)1, r ( A) n 1 ,从而由 r(A) = 2 知 r(A*)= 1,又 |A| = 0，得 A* A= A A* = | A| E= 00, r (A) n 1A的列向量是A* x= 0解.由解的结构知应填 &, T+ k2口，口 T的形式.【解】而由r(A) = 2知r(A*)= 1,所以通解由n r(B) = 3- 1= 2个解向量构成.又| A| = 0,得 A* A= A A* = |A| E= 0 A 的列向量是 A* x=

12、 0 解.即1 , 0, 1 T, 2 , 1, a T , 3, 2, 4 a T又2 , 1 , a T + 3 , 2 , 4 a T= 5 , 4 , 3 T,显然1, 0, 1 T与5 , 4 , 3 T线性无关，故 呵1, 0 , 1 T + k25, 4 , 3 T是 A* x = 0的通解,其中k1 , k2为任意常数.【例题7】设a1 , a, a3是Ax = b的解，r(A) = 3,若a2= 1 ,2 ,3 , 4T,a2+ 2 a= 2 , 3 ,4 ,5 T,_则Ax= b的通解是【解】由r(A)= 3知Ax= 0的通解由n r(B)= 4 3= 1个解向量构成.从而

13、3( a1 +%2) 2( a2 + 2 as)是 Ax= 0 的解，即1 , 0 ,1 , 2 T(a+ 23) (旳+ a)是 Ax= b 的解，即1 , 1 ,1, 1 T从而,1 , 1 , 1 , 1 T+ k 1, 0 ,1 , 2 T是Ax= b的通解,其中k为任意常数.【评注】由非齐次方程组和齐次方程组解的性质知：若a1 , a是Ax= b的解，那么 a1a是Ax= 0的解.而若a , a分别是几个解向量的线性组合时，相减时用最小公倍数的方式选择系数做减法.即若a1 , a分别是2个和3个解向量的线性组合 (即a1= n + n , a=n+ n +n ,这里n也是Ax= b的

14、解)时，那么 3 a1 2 a也是Ax去除.因为 A(k1 n + k2 n + k3 n) = k1A n + k2A n + k2A n = (k1 + k2+ k3) b,所以Ak1 k2(k1 n + k2 n+ k3 n)= b k3即k1k? k3也可以用减法，设n, n,n是Ax= b的解，又已知 b =刚n+ k2 n+ kr n ,B= k1 n+ k2 n + + ks r nr ,那么p1 B是Ax= b的解.即由s和s r个解向量构成的111 1【例题8】设a=1 a【解】3阶矩阵只有1只有2个线性无关的特征向量.求A的特征值与特征向量111111疋一A| =1a1=0

15、a1=久入一a)( ? 4) = 0313132个线性无关的特征向量，则特征值必有重根(1)若 a= 0,则21 =2= 0.对0E-A x=0，有111101101010，从而a1 = 1，0, 1 T，k1 a1，其中k1为任意常数.313000对4E-A x=0，有3111411410114，从而鬼=5 , 4， 11 T, k2 a2,其中k2为任意常数311000(2)若 a= 4,则2 =2= 4.对0E-A x=0，有111101101010，从而a3= 1 , 0, 1 T, k3 a3,其中k3为任意常数.313000对4E-A x=0，有3111411410114，从而a

16、= 1, 4, 1 T, k4a4,其中k4为任意常数.311000【例题9】设A是3阶矩阵，且aTB=-2(I)证明0是A的特征值.(II) 证明a+ B, a- 3是A的特征向量(III) 求二次型xtAx的正负惯性指数.、 1【证】(I) -aT 3= 3Ta=.2 3 a, 3 a是秩为1的矩阵.从而 r(A)= r(a 阡 3 T) r( a r( 3 T) = 2 3.即|A|= 00 是 A 的特征值.(II) A( a+ 3)= ( a 3+ 3 毎(3)= a 3 a+ 3 T a+ a 0 3+ 3 T 31 13= a+ (3+ a+ (3= ( a+ (3),2 221

17、 、又(a+ 3)工0,否则a+ 3= 0a= 3aT 3=俨a= 1工 (a, 3是3维单位列向量)23从而a+ 3是A的属于特征值的特征向量.211冋样有A( cc 3) = (a 3),且(a 3)工0，从而a 3是A的属于特征值一一的特征向量223 1(III)由、(II)知A的特征值是：0,，一，又AT= A (否则A不是二次型的矩阵)p = 1, q = 122【例题10】设A是3阶矩阵,a, a2, a3是3维线性无关的列向量,a 是 Ax= 0 的解，a%2= a1 +2 a?, A 阳=a 3 2+ 2 阳.求A的特征值，特征向量(II)判断A是否和A相似【分析】由 A %2

18、= %1 + 2 a?, A a3a1 3 a? + 2 a3， a 是 Ax = 0 的解，得到A a, a,阳0,a1 + 2 aa1 3%2 + 2 a = a1 , 2,3 003 .记 b= 03 ，若a, C2, 3可逆，则必有 A= a1, 02,a3B a1, 2, a3，现在冋题是a1,a, a3可不可逆呢题目中又给出了a1,a2, a3线性无关，故三阶矩阵a1, a2, a3必可逆，所以A和B相似.所以求A的特征值和特征向量就转为求B的特征值与特征向量.记A的特征向量为Z则B的特征向量为P1 z,所以知道了 P 1z就可以求出z而问A是否和A相似，由于已经求出了 A的特征值

19、，特征向量，则可以从相似对角化的充分必要条件给予推断.也可以根据相似的传递性，由于上一步中已经得到了A和B相似，故若有B和A相似，则有A是否和A相似.0 11【解】(I) Aa1, %2, a3 = 0, a1 + 2 驱，1 3 驱+ 2 a3= a, %2, %3 0 23 .0 02因为a，a, a线性无关，故仏仆a?, ”3可逆，从而011a, a 3 1Aa1, a %3 = b= 023 ，即 a和 b相似.0 02由B的特征值为0, 2, 2 ( B为上三角矩阵，或者用定义，由| AE- B| = 2)2= 0入=0, 2, 2.)知A的特征值为0, 2, 2.由已知，k1 a1

20、是A的属于特征值0的特征向量，其中k1为不等于零的任意常数.1对于B的属于特征值2的特征向量，有Z = 1 , 2,0卩=朗，程，32= a+ 2 %2,k2a + 2%2是A的属于特征值2的0特征向量，其中k?为不等于零的任意常数.(II)由(I)知A只有2个线性无关的特征向量，故 A不和A相似.【评注】这是特征值与特征向量的另一种考法，由A 02= a + 2 a, A a= a- 3a+ 2 a要想到相似的信息这里缺少Aai,如果有A a的话，就可以构成分块矩阵的乘法，从而可以 得到相似的信息，而这里题目中又给出了a是Ax = 0的解，所以可以做分块矩阵的乘法,011有 A a , a2

21、,a 0,a1 + 2a2,a1 3 a2+ 2 a = a1,a,a 023 .002011记B=023，若a, a, a可逆，则必有A= a,a,aB a1, a,0a-1，现在问题02线性无关，故三是a1,a,a可不可逆呢题目中又给出了a, a,a【例题 11】设 A2 + 2A= 0, r(A)= r.(I) 证明A和A相似.性无关的特征向量.A 3 = 0 (i= 1,2,n r)特征值0有n- r个线性无关的特征向量(II) 求| A + 3耳.【分析】由用+ 2 ?= 02= 0,- 2.即A的特征值是，但是各有几个是不知道的，还需要具体分析【证】(I)(用秩)r(A) = rA

22、 = a1, a，a中有r个向量线性无关.由A2=- 2AA a，a?,，衍=一 2 al,a?,，衍al,%2，an是A的属于特征值一 2的特征向量一 2有r个线(II)由知| A+ 3E| = 3 n-r【评注】若矩阵A满足f(A), f(A)为A的多项式，那么 A的特征值由f( 2)给出，但是各有几个0【例题12】已知A是3阶矩阵，各行元素之和为 2,且AB=0,012其中B=113,若 3= 2 , 3, 4t ,求 An3125【解】因为A各行元素之和为2,所以11A 1= 212是A的特征值，110 1由 AB=0 ,有A1= 01, A1 11 11 是对应的特征向量，记ai=

23、11111011=0 1,记 a2 =1,a=12212即A的特征值是2, 0, 0,且0有2个线性无关的特征向量设 x1 a1X2a2 +处理4个3维向量必相关X1 = 5, x2 = 5, X3 = 3,112413l-li-l I qii-l I 1-lii i I t-id i i|-i-i I I i-i-i Iii-g-i I l|-i Hfll-I I I I t-ll-l I l-li-i I l-r l i i-i-4 i I i-li-l l-liig-l l-lild I I l-i-fl II-3= 5 a1 5 a2 3 a3A p= 5Aa1 5A%2 3A%3=

24、10 a|nAn 3= An1A= 10 An 1 a1 =10入1n31 a =5 2na= 552n .2n41222【例题13】已知A=000,B=11a 相似,000000求可逆矩阵P使P 1AP= B.【解】因为A和B相似,所以r(A)=r(B)a= 2.1 23又|疋一A| =(1)= 0= 0 ,0 , 1.对入=0，有0E A x= 0,1230a= 2, 1 , 0T, 2= 3, 0, 1T0对入=1 有E A x= 0,02313= 1, 0 , 0T令 P1 = ai , a2， a3,有 P 1lAPl=012242424由|疋一B| =112=12=01 2=*（入

25、1）= 0000000入=0, 0, 1.对入=0，有OE A x= 0,22411211200031= 1 , 1 , 0T, 3= 2, 0, 1T000000入=1,有E A x= 0,12412412200233= 2 , 1, 0T.0010010令 P2 =【P1, (32,滋,有 P12BP2=0【例题14】已知a= 1 , k, 2T是二次型1由 P 11AP1= P12BP2P2P-1一11AP1 p12= B,记 P= P1 pM2,2311212333则 P= P1 P 12=100101 =122为所求010010001xtAx= ax12 + ax22+ kx32 2

26、 x1x3 2 x2x3矩阵A的特征向量.用坐标变换化二次行为标准型, 并写岀所用的坐标变换【解】二次型的矩阵为a01a=0a111 k设A a=入a,有a0111a21 (1)0a1k1 kak21k(2)11k2213k21(3)k(1) (2) 2k 2= 0 k= 1，带入(3)有 入1 = 2，带入(1)有 a= 0.01由|入E A| = 01 11= K 1 2)(入+ 1)= 0入=0, 2, 1.1对 K= 0，有0E A x= 0,00 111100 1001o2 =【1，1，0T.11 1000对K=1 有E A x= 0，10 1112 11 201 1011 01 1a3= 1， 1， 1T.11 2011 00 0因为正定矩阵不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，得Y11Y= 11 .V31