2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)

1、2018年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题包括 12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1.设集合?= ?卜 1 ? 1，?= ?|?(?3) 28的最小偶数？那么空白框中的语7.如图所示的程序框图是为了求出满足 句及最后输出的？值分别是（）A.?= ?+ 1 和 6CT? ?+ 1 和 8B.?= ? 2和 6D.?= ?+ 2 和 88.正项等比数列?中，？?为?列的前？项和，若？+ ?= 9?2, 1 1A.，B.31C-4则其公比为（1D-89.某几何体的三视图如图所示（单位：?）则该几何体的体积（单位：?）是（）正视圉

2、 侧视圏王视團A.4 V310.已知？?设函数？（?= ? ln?勺图象在点（1,?（1）处的切线为？则?在?轴上 的截距为（）A.1 - ?B.1C?7 1D.-1 11.已知边长为2的等边三角形？?为?的中点，以？?为折痕，将 ?折起，使 / ?90 ,则过？ ？ ？ ？泗点的球的表面积为（）A.3?B.4?C.5?D.6? ?12.已知双曲线?，- 右=1的左、右焦点分别为?, ?，若？上存在一点？满足?丄？?？且厶？?？?的面积为3,则该双曲线的离心率为（）、填空题（本大题包括4小题,每小题C2D.35分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）? 0设实数? ?满足约束条件4?-

3、? 0，则？?= ?+ 2?勺最大值为 ?+ ? 5已知？ ？取值如表:?01456?1.3?3?5.67.4画散点图可知：?与?线性相关，且求得回归线方程为？?= ?丹，则？?的值为(精确到0.1)?+ 4 ?o ，若?(? 2，则实数？?勺取值范围是 1 已知菱形？?的一条对角线？?长为2，点？?为?上一点，且满足？?=2?,?点？为?的 中点，若 ？?？?= _2，贝V ?=三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第1721题为必 考题，每个试题考生都必须作答 第22、23题为选考题，考生根据要求作答 (一)必 考题：共60分.已知 ?的内角？ ？ ？的对边分别为？

4、？ ？若？?= 2，且2?cos?= ?cos?+ ?cos?(1) 求角?(2) 求厶？?面?积的最大值.树立和践行 绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某网站推出了关于生态文明建 设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80% 现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组15, ?25)，第2组25, ?35),第3组35, ?45),第4组45, ?55),第5组55, ?65,得到的频率分布直方图如 图所示J0.-B00.015J.Q1CJ-ato i5L5

5、JL5 !5 V： TG?(1) 求？的值；(2) 求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数 点后一位)；(3) 现在要从年龄较小的第1, 2组中用分层抽样的方法抽取 5人，再从这5人中随机抽取 3人进行问卷调查，求第 2组中恰好抽到2人的概率.在如图所示的几何体中，四边形？?是正方形，？?久平面? ?分别是线段?的中占 ?= ?= 1H| 八、：求证：?/?面？?求？到平面？?的距离.在平面直角坐标系中，已知圆？的方程为(?- 1)2 + ? = 9,圆？的方程为(?+ 1)2 +? = 1，动圆？?与圆?内切且与圆?外切.(1)求动圆圆心？的轨迹？的方程；(

6、2)已知？?(-2, ?0与？?(2,?0)为平面内的两个定点，过(1, ?0)点的直线？与轨迹？?交于?两点，求四边形？?面积的最大值.已知函数?(?= In? ?(?= ?+ ?.(1) 若？?(?戶？?(?恒成立，求实数？?的取值范围；(2) 若?, ?是函数？?(?= ?(?- ?(?的两个零点，且? ?，求证：？?？ 1 .(二)选考题：共10分请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题记分选修4-4 :坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系？?中？以坐标原点为极点，？轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线?：?= 4cos?(0 ? ?+?恒成立，求？?的取值范围.参考答

7、案与试题解析2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合？和?由此能求出？?门?【解答】 ?= ?卜 1 ? 1,?= ?|?（? 3） 0 = ?|0 ? =?1；?11）= 11?= 55 .4.【答案】C【考点】进行简单的合情推理合情推理的作用【解析】由算筹含义直接求解.【解答】解：由算筹含义得到8771用算筹可表示为丄T丄I故选？5.【答案】A【考点】函数y=Asin (3 x+0的图象变换【解析】根据三角函数的图象平移关系先

8、求出函数的解析式，结合函数解析式之间的关系进行 求解即可.【解答】?将函数?(?= sin(2?+亍)的图象向左平移？个单位，?得到？?= sin2(? + ?)+ - = sin(2?+ 2?+ 3) = cos2?33? ?则2?+ = 2+ 2?,? ?即卩？=+ ?1a， J 当?= 0时，？?=?12，6.【答案】D【考点】函数的图象变化【解析】本题主要考查函数的图象及性质.【解答】解：由函数?(?= 1 + ? + 专易得？?(?为偶函数，则其图象关于？轴对称，排除? ?再由?(?= 1 + ? 0 ?排除?故选?7.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序

9、的功能是利用循环结构计算并输出变量?勺值，模拟程序的运行过程，可得答案.【解答】解：程序框图是为了求出满足 2?- ? 28的最小偶数? 故循环变量的步长为2，?=0时，执行循环体后，?=2时，执行循环体后，?=4时，执行循环体后，?=6时，执行循环体后，?=8时，执行循环体后，?=?=?=?=?=故输出？值为8 ,故选？8.【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】由?+ ? = 9?，得 8?-【解答】设等比数列?列的首项为?,公比为即空白框中的语句为：？?= ?+1，满足继续循环的条件.0,满足继续循环的条件.0,满足继续循环的条件.28，满足继续循环的条件.192 ,2?- 1 =?

10、2?=?=?=2 ；4 ；6 ；?= 8;不满足继续循环的条件；0，求解即可得答案.? ?由?+ ? = 9?,得?+ ?+ ?+ ?= 9?,1 1即 8?- 2?- 1 = 0，解得？?= 或?= - 4 -1/ ?勾为正项等比数列， 二?= -9.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】首先对三视图进行复原，进一步求出几何体的体积. 【解答】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥, 如图所示：1 10?= 4 v3 - 3 ? 2 ? v3=3 v3 .故选：？10.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线的点斜式方程【解析】求得？?(?的导数，可得切线的斜率，切点，由

11、点斜式方程可得切线的方程，令？?= 0，计算可得？在？轴上的截距.【解答】解：函数?(?= ? In?勺导数为? (?)?- 1?可得图象在点(1, ?(1)处的切线斜率为？? 1 ,且?(1)= ?则切线方程为？ ?= (?- 1)(?- 1),令?= 0,可得？?= 1 ,故选?11.【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】由题意，边长为2的等边三角形？?为?的中点，以？?为折痕，将 ?起, 使/?=?90 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为v1 + 1 + 3 = J5,可得外接球表面积.【解答】边长为2的等边三角形？?为?的中点，以？?为折痕，将 ?折起，使/ ?=? 90

12、,将折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为V1 + 1 + 3 = V5,故其外接球的半径为迈，其表面积为5?212.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的定义结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可.【解答】解：/不妨设双曲线右支上存在一点？使？?丄？?？可得 |?- |? = 2? |?2+ |?2= 4?, |?|? = 2?,1 ?的面积为亦?？|? = ? = 3 ,即？字-1 = 3 ,? = ? = 4 , ? = 7则该双曲线的离心率为 ？?= ?=三.? 2故选？二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）【答案

13、】9【考点】简单线性规划【解析】作出不等式对应的平面区域，禾U用线性规划的知识，通过平移即可求？的最大值.【解答】? 0作出实数？ ？满足约束条件4?- ? 0对应的平面区域，?+ ? 51 ?由?= ?+ 2?得？?= - 2?+ 2,平移直线?= - 1?+ 2,由图象可知当直线？?=-?+ 2经过点？时，1 ?直线?= - 2?+ 2的截距最大，此时？最大.由可行域可确定目标函数在 ？?（1,?4处取最大值9【答案】1.7【考点】求解线性回归方程【解析】AA将?= 3.2代入回归方程为？?= ?+ 1可得?= 4.2，则4? = 6.7，即可得出结论.【解答】AA将?= 3.2代入回归方

14、程为？?= ?+ 可得?= 4.2，则4?= 6.7，解得?= 1.675 ,即精确到0.1后？?的值为1.7 .【答案】-2, ?0U1,?+ 【考点】分段函数的应用【解析】讨论? 0，由指数不等式的解法，即可得到所求范围.【解答】当?2,可得-2 ? 0, 2?2，解得? 1 ,故？的范围是-2, ?0 U 1,?+ R）.【答案】-7【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标表示平面向量，求出? ?的坐标，即可计算？?？?的值.【解答】根据题意，建立平面直角坐标系如图所示；设？?(-?,?0),贝y ?(0,?-1) , ?(?瓷0), ?(0,

15、?1);T 1 T21?= 2? ?是?的三等分点，- ?(- 3 ?3?，又？?？?= -2 ， (?1)?(- 2?，4 = -|? + 4 = -2 ,解得?= v5，应取？?=;又点？为?的中点， ？?弓,弓),t t3v5 1 3v51. ?= (- W ?1)?(禺)=-v5 X+ 1 X 2 = -7 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答 第22、23题为选考题，考生根据要求作答 (一)必 考题：共60分.【答案】/ 2?cos?= ?cos?+ ?cos?可得：2sin?cos?= sin?cos? sin?c

16、os?= sin?,/ sin?工 0 ,1 ? cos?= 2,?= 3.?- ?= 2, ?= 3， 由余弦定理可得？?？+?- 4 ,由基本不等式可得 ？?？+ ?- 4 2?-? 4，可得：？?4，当且仅当？?= ?时,=成立， 从而?=? 2 ?sin?2 X 4 X-2 = v3.故厶？?面积的最大值为 V3.【考点】余弦定理【解析】(1) 由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin ?cos?= sin?,结合 sin?工0,可求cos?的值，进而可求？?的值.(2) 由余弦定理，基本不等式可得：？?庚4，进而利用三角形面积公式即可得解?面?积的最大值.【解答】 2

17、?cos?= ?cos?+ ?cos?可得：2sin?cos?= sin?cos? sin?cos?= sin?,/ sin?工 0 ,1 ?cos?= 2,?= 3-?- * 2, ?= 3，由余弦定理可得？?？+?- 4 ,由基本不等式可得 ？?？+ ?- 4 2? 4，可得：？?4，当且仅当？?= ?时, =成立，1i73-从而? ? 2 ?sin?2 x 4 x= v3 -故厶？?面积的最大值为 V3.【答案】解：由 10 x (0.010 + 0.015 + ?+ 0.030 + 0.010) = 1 , 得?= 0.035 .平均数为：20 x 0.1 + 30 x 0.15+40

18、 x 0.35 + 50 x 0.3 + 60 x 0.1 = 41.5 岁； 设中位数为？则 10 x 0.010 + 10 x 0.015+(?- 35) x 0.035 = 0.5 , ?g 42.1 岁.第1 , 2 , 3组的人数分别为20人，30人， 从第1, 2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1, 2组抽取的人数分别为2人，3人， 分别记为?, ?, ? , ? , ?.设从5人中随机抽取3人，为：(? ? (? ? (? ?(? ? (? ? (? ?112113123)(? ? (? ?|? (? ? It. J I J - / l,J, W t. J J W / (?,

19、?,共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率？?=舟=3.105【考点】频数与频率列举法计算基本事件数及事件发生的概率 众数、中位数、平均数分层抽样方法【解析】(1 )由频率分布直方图能求出？(2) 由频率分布直方图能求出平均数和中位数.(3) 第1 , 2 , 3组的人数分别为20人，30人，从第1, 2组中用分层抽样的方法抽取 5 人，则第1 , 2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为? , ? , ?, ? , ?.由此利 用列举法能求出结果.【解答】解：(1)由 10 x (0.010 + 0.015 + ?+ 0.030 + 0.010) = 1 , 得?= 0.035 .平均

20、数为：20 x 0.1 + 30 x 0.15+40 x 0.35 + 50 x 0.3 + 60 x 0.1 = 41.5 岁；设中位数为？则 10 x 0.010 + 10 x 0.015+(?- 35) x 0.035 = 0.5,42.1 岁.第1 , 2 , 3组的人数分别为20人，30人, 从第1, 2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1, 2组抽取的人数分别为2人，3人， 分别记为?，?，?，?，?.设从5人中随机抽取3人，为：(? ? (? ? ? (? ?12 11 2 21 2 3 1(? ? (? ? (? ?9?(? ? (? ? (? ? It. J I J - /

21、l,J, W / t. J - J W / (?, ?物,共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率？?=黑=3 .105【答案】(1)证明：取?中 点?,连接? ?, ?分别是?,? ?中 点，1 ?/?= - ?2?为?中点，？?为正方形,1?/?= ?/?= ?四边形？?为平行四边形，?/?平面 ?平面?/?面 ?解：/ ?/?面 ?到平面？?的距离等于？到平面？?距离,?-平面?2_?= ?= 1，在?= v2 , ?_平面?_?,?_ ? ?= ?_平 面?_ ?则?= v3, ?+ ?= ? ; ?为直角三角形,1 ? ? 2 x 1 x V-v2T，?-?= ?-?设？到平面？

22、?的距离为？，11 1 11 则 3?2?1 ?辺=-?1 ?2 ?-?1 ?解得？=上， ？?到平面？?距离为 上.44【考点】点、线、面间的距离计算直线与平面平行的判定【解析】（1）取?中点？?，连接? ?推导出四边形？?为平行四边形，由此能证明 ?/平面?（2）由？?平面？?？得？到平面？?的距离等于？到平面？?的距离，由？办?= ?*-?能求出？到平面？距离.【解答】证明：取?中点？，连接？?？ ？?？?, ?分别是？?,？?中点，1 ?/?= - ?2?为?中点，？?为正方形,1?/?= ?2 ?/?= ? 四边形？?为平行四边形, ?/?平面?平面?平面?解：/ ?/?面 ?到平面

23、?距离等于？到平面？?的距离, ?_平面?2_?= ?= 1，在? v2?-平面?_?_ ? ?= ?_平面?_ ?则?= v3 ? ?+ ?= ? ?为直角三角形,? ? 2 X 1?_?= ?-?设？到平面？?的?距离为1 1 _ 1 1 1 则 3?2?1 ?忑=3?1 ?2 ?2?1 ?解得?=?到平面？?距离为j【答案】设动圆？喲半径为？由题意知|? = 3- ? |? = 1 + ?从而有|?+ |? = 4，故轨迹？为以?，?为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(-2, ?0),? ?从而轨迹？?方程为-+-= 1(? -2).? ?设？方程为？?= ?$ 1，联立T+ T= 1?

24、= ?$ 1消去？得(3?2 + 4)? + 6? 9 = 0，设点？?(?) ? ?(?,? ?有? + ?=-6?3?2+4,?=-93?2 +4，有 |?= V1+ ?12 V 1+?23?2+412(1+? 2)3?2+4，3 1点？?(-2, ?0到直线了的距离为 济，点？?(2,?0到直线了的距离为 厂济24 V1+?23?2+4从而四边形？?的面积?= 2 X需J X召 24?241令？?= V1+ ?2,? 1，有？?=議可二 溟？由函数?= 3?孑?在1,?+ 8单调递增124?24有3?孑? 4，故？?=两石=莎箱W 6，四边形？?面积的最大值为6.【考点】椭圆的定义【解析

25、】(1) 根据椭圆的定义以及圆和圆的位置关系可得，? ?(2) 设-方程为？?= ? 1，联立T+ T = 1，利用韦达定理以及弦长公式和点到直?= ? 1线的距离公式，即可求出四边形的面积，再根据函数的单调性即可求出.【解答】设动圆？?勺半径为？由题意知|?|? = 3- ? |? = 1 + ?从而有|?+ |? = 4，故轨迹-为以? ?为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点 (-2, ?0),2 2从而轨迹？?方程为+亏=1(?工-2).? ?设?方程为？?= ?$ 1，联立7+ T= 1?= ? 1消去？得(3?2 + 4)? + 6? 9 = 0，设点？?(?) ? ?(?,? ?有?

26、+ ?=3?2 +4，?=-93?2 +4，有 |?= E?2 為窈12(1+? 2)3?2 +431点？?(-2, ?0到直线了的距离为 齐祚，点？?(2,?0到直线了的距离为 厂存,从而四边形？?的面积?= 1 X需孚丄24 V 1+?23?2+424?241令?1，有?=炳有=冠，由函数?= 3?孑?在1,?+ R单调递增124?24有3?孑? 4，故？?=詡7?=莎gw 6，四边形？?面积的最大值为6.【答案】令?(?= ?(? ?(?= In?- ? ?(? 0),/ 1有?(?)= ?-1-?,当？? 1 时，?(?) 0,当0 ? 0,所以?(?在(1,?+ 8)上单调递减，在(

27、0, ?1上单调递增,?(?在?= 1处取得最大值，为-1 - ?,若?(?w ?(?恒成立，则-1 - ? w 0 即? -1 .由(1)可知，若函数?(?= ?(?- ?(?有两个零点, 则? -1 , 0 ? 1 ?1要证? 1,只需证? ?),由？?(?1? = ?(? = 0, ?= In? - ?,1 1 1 1即证 In ?- ? - ?= In ? - ?+?- In? 01令?(?)= - ?+ ?- 21?( ? 0，有？(?在(0, ?1)上单调递增，?(?) ?(1) = 0 ,所以? 1.【考点】利用导数研究函数的最值【解析】(1)令?(?= ?(?- ?(?)求出函

28、数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的 单调区间，得到关于？?的不等式，解出即可；(2)问题转化为证？ ?(?)即可.【解答】令?(?= ?(?) ?(?=In?- ? ?(? 0),亠 / 11-?有？?(?)=?-1 =石,当？? 1 时，?(?) o,当 0 ? 0 ,所以?(?在(1,?+ 8)上单调递减，在(0, ?1上单调递增，?(?在?= 1处取得最大值，为-1 - ?,若？?(?务?(?恒成立，则-1 - ? -1 .由( 1)可知，若函数?(?= ?(?) ?(?有两个零点，则? -1 , 0 ? 1 ?1要证? 1,只需证？ ?),由？?(?1? = ?(? = 0,

29、?= In? - ?,1 1 1 1即证 In ?-亓-?= In ?-石 + ? - In? 01令?(?)= - ?+ ?- 21?G ? 0，有？(?在(0, ?1)上单调递增，?(?) ?(1) = 0 ,所以? 1.(二)选考题：共10分请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题记分选修4-4 :坐标系与参数方程选讲.【答案】?(1) T 曲线？:？?= 4cos?(0 ? 2), ?玄？?cos?= (3)2 、 ?cos?= 33联立?= 4cos?，cos?= 3，? ? 0 ? ? ?= 6 ?= 2 ?与 ?交点的极坐标为 (2 v3,?)(其他形式请酌

30、情给分)?(2)设？(?務?)？(?,?且?= 4cos?, ? 0,?)由已知?= 2?,?得? = 5?3 ? = ? 3 ?= 4cos?3?点？?勺极坐标方程为？?= 6cos?0, 2)【考点】圆的极坐标方程【解析】(i)联立；4?=s?，能求出?与?交点的极坐标.T 2 f(n )设？?(?瓷?,)?(?0)且? = 4C0S?，由？?= 2?能求出点？?勺极坐标方程.【解答】?(1) / 曲线？?:？?= 4cos?(0 ? 2), ?: ?cos?= (3)cos?= ：2，z 、 ?cos?= 3联立?= 4cos?，? ?0 ? 03(1)当?= -2 时,?(?= |2?|+ |2?+ 3| + ?= 1, - 2 ? 03-4? - 5, ? - 24?+ 1 01解得 0 ?-；3当-2 ? 0,1 3恒成立-4? - 5 33当?3 解得-2 ? - 2-21此不等式的解集为卜2, 233 + ?，(- - ? 0)(2)当？ (-