212解一元二次方程第4课时

1、课前检测(1)3x(2x+1)=4x+2(2)(x-4)2=(5-2x)2(3)3x(2x-1)=4x-2(4)(4-x)2=(5-2x)2九年级上册九年级上册21.2解一元二次方程（第解一元二次方程（第4课时）课时） 学习目标：学习目标： 了解一元二次方程的根与系数关了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用系，能进行简单应用 学习重点：学习重点：一元二次方程根与系数的关系的探一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用究及简单应用课件说课件说明明（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0解解下列方程并完成填空：下列方程并完成填空：方程两根两根和x1+

2、x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-22123一元二次方程的一元二次方程的根与根与系数的关系：系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2= abac（韦达定理）（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0韦达（韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。并对方程论做了

3、改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们了方程根与系数之间的关

4、系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为论称为“韦达定理韦达定理”）。）。 韦达在欧洲被尊称为韦达在欧洲被尊称为“代数学之代数学之父父”。 一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：的求根公式： x=aacbb242(b2-4ac 0)一元二次方程根与系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422x1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=x1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac归纳：归纳：一元二次方程的两个根一元二次方程的两个根 x1，x2 和

5、系数和系数 a，b，c 有如有如下关系：下关系：12cx xa12bxxa 2小组合作，类比探究小组合作，类比探究例例1 1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：、不解方程，求方程两根的和与两根的积： 23 1 0 xx 224 1 0 xx 我能行我能行1212 xx21xx411412，xx，xx的两个根为方程设014221则：则：21xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214 xx 2、 求值求值22310 xx 例例3 3、不解方程，求一元二次方程、不解方程，求一元二次方程两个根的平方和；倒数和。两个根的平方和；倒数和。12,x x设方程的两根是设方程的两根是，

6、那么，那么解：解： 我能行我能行32560 xkxk例例2 2、已知方程、已知方程求它的另一个根及求它的另一个根及的一个根是的一个根是2 2的值。的值。还可以把还可以把 代入方程的两边，求出代入方程的两边，求出2x k 我能行我能行21、当、当k为何值时，方程为何值时，方程x2-2(k-1)x+k2=0的两根差为的两根差为2。2、设、设x1，x2是方程是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且的两个实数根，且x12+x22=4，求，求k的值。的值。解：由方程有两个实数根，得0242) 1(4kk即-8k+4021 k由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 x

7、12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去。 k=0另外几种常见的求另外几种常见的求值值2111. 1xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx例例根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根方程两个根 x1，x2 的和与积：的和与积：（1） x 2 - 6x - 15 = 0（2）3x 2 + 7x -

8、 9 = 0（3）5x - 1 = 4x 2 3运用性质，巩固练习运用性质，巩固练习x1 + x2 = 6x1 x2 = -15x1 + x2 =x1 x2 = -3x1 + x2 =x1 x2 =735414练习练习不解方程，求下列方程两个根的和与积：不解方程，求下列方程两个根的和与积：（1） x 2 - 3x = 15（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x （3） 5x 2 - 1 = 4x 2 + x （4） 2x 2 - x + 2 = 3x + 1 x1 + x2 = 3x1 x2 = -15x1 + x2 =x1 x2 =x1 +x2 = 1x1 x2 = -14313x1 +

9、x2 = 2x1 x2 =123运用性质，巩固练习运用性质，巩固练习（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？）一元二次方程根与系数的关系是什么？（2）我们是如何得到一元二次方程根与系数关系）我们是如何得到一元二次方程根与系数关系的？的？4小结知识，梳理方法小结知识，梳理方法5 5、已知方程的两个实数根、已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值。的值。 解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 x x1 1+x+x2 2=-k=-k， x x1 1x x2 2=k+2=k+2 又又 x x1 12+ x x2 2 2 = 4 = 4 即即( (x x1 1+ x x2 2)2 -2-2x x1 1x x2 2=4 =4 k k2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 k k2 2-2k-8=0 -