曲线积分最新课件

1、9-5曲线积分最新19.5曲线积分曲线积分概述：概述：重积分是对定积分从维数上的推广重积分是对定积分从维数上的推广(指被积函数和积分区域指被积函数和积分区域).而曲线积分和曲面积分则是对积分而曲线积分和曲面积分则是对积分区域区域“由平直到弯曲由平直到弯曲”的推广的推广教材仅对曲线积分做了简单介绍教材仅对曲线积分做了简单介绍主要内容分两部分：主要内容分两部分：对弧长的曲线积分，这是第一型曲线积分；对弧长的曲线积分，这是第一型曲线积分；对坐标的曲线积分，这是第二型曲线积分对坐标的曲线积分，这是第二型曲线积分9-5曲线积分最新2一、第一型曲线积分一、第一型曲线积分实例实例: :曲线形构件的质量曲线形

2、构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii C. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值9-5曲线积分最新3舍弃物理意义，我们一般有舍弃物理意义，我们一般有定义定义 设是光滑曲线，设是光滑曲线，),(yxf是上的连续函数，是上的连续函数，在上任插入在上任插入n个点个点BMMMAn,10其中有代表性一段弧长其中有代表性一段弧长,is在小弧段在小弧段is上上任取一点任取一点),(ii作和作和;),(1niiiisf如

3、果当如果当is中的最大者中的最大者0s时和式的极限存在，时和式的极限存在，则此极限称为函数则此极限称为函数),(yxf沿曲线的第一型沿曲线的第一型曲线积分，曲线积分， 记作记作,),(Cdsyxf即即niiiisCsfdsyxf10),(lim),(积分积分弧段弧段被积被积函数函数弧长弧长元素元素积分积分和式和式9-5曲线积分最新4如曲线形构件的质量如曲线形构件的质量.),(CdsyxM几点说明：几点说明：由于积分变元为曲线弧由于积分变元为曲线弧s，故称对弧长的积分；，故称对弧长的积分；当被积函数在上连续时，此曲线积分必存在；当被积函数在上连续时，此曲线积分必存在；可推广到空间曲线，即函数可推

4、广到空间曲线，即函数),(zyxf在在空间曲线上对弧长的积分为空间曲线上对弧长的积分为.),(lim),(10iniiiisCsfdszyxf第一型曲线积分有类似于定积分的一些性质第一型曲线积分有类似于定积分的一些性质.),(),(),(),()1(CCCdsyxgdsyxfdsyxgyxf9-5曲线积分最新5).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfCC.),(),(),()3(21CCCdsyxfdsyxfdsyxf).(21CCC如果曲线是分段光滑或被积函数分段连续时，如果曲线是分段光滑或被积函数分段连续时，一定要用性质（）！一定要用性质（）！第一型曲线积分是与积分弧

5、段的方向无关的，第一型曲线积分是与积分弧段的方向无关的，这是与下面将要介绍的第二型曲线积分的最大不同这是与下面将要介绍的第二型曲线积分的最大不同对空间曲线有类似的性质对空间曲线有类似的性质下面我们看如何计算下面我们看如何计算我们以平面曲线弧为例说明我们以平面曲线弧为例说明9-5曲线积分最新6设平面曲线：设平面曲线：),(),(tytxxyOCAB则由第一册的知识知道则由第一册的知识知道,dtttdydxds2222)( )( 而当曲线上的点从而当曲线上的点从A移动移动B时时,t的变化范围从的变化范围从变到变到，注意必须注意必须!把这些代入，即得把这些代入，即得Cdsyxf),(dtttttf2

6、2)( )( )(),(再次提醒：再次提醒：必须必须！特别地，当曲线由特别地，当曲线由)(xyy 给出时，给出时，Cdsyxf),(badxyxyxf21)(,9-5曲线积分最新7若由若由)(yxx 给出，你能写出计算公式吗？给出，你能写出计算公式吗？推广推广:)().(),(),(:ttztytxC)()()()()(),(),(),(222dtttttttfdszyxfC思考：思考：若空间曲线由若空间曲线由)()(xzzxyy给出，如何计算？给出，如何计算？由由0),(0),(zyxGzyxF给出呢？给出呢？)(2222dzdydxds9-5曲线积分最新8例计算曲线积分例计算曲线积分,Cx

7、yds)20.(sin,cos:ttRytRxC解解dttRtRtRtRI2220)cos()sin(sincosdtttR203cossin.213R例例上从上从(0, 0)(0, 0)到到(1,2)(1,2)的一段的一段. .解解dyyyI220)2(1其中是其中是求求Cydsxy4220232|)41 (34y).122(349-5曲线积分最新9例求例求,)(222Cdszyx其中为圆柱螺线的一段其中为圆柱螺线的一段)20( ,sin,costtztytx解解Cdszyx)(22220222222)(dtdtdzdtdydtdxzyx202222221cossin)sin(cosdttt

8、ttt202)1(2dtt203)31(2tt ).382(239-5曲线积分最新10最后，我们指出最后，我们指出第一型线积分的几何与物理意义第一型线积分的几何与物理意义.),(CdsyxM）当）当),(yx是曲线的线密度时，的质量是曲线的线密度时，的质量）的弧长）的弧长.Cds.),(LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz ）当）当),(yxf表示立于表示立于L上的上的柱面在点柱面在点(x, y)处的高时，处的高时，9-5曲线积分最新11,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22CyCxdsxIdsyI曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(.,CCcCCc

9、dsdsyydsdsxx表示质量线密度表示质量线密度至于空间曲线弧的转动惯量和重心公式，至于空间曲线弧的转动惯量和重心公式，请自己写出或参考教材请自己写出或参考教材9-5曲线积分最新12二、第二型曲线积分二、第二型曲线积分oxyABC1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BACjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW ),(ii是此段弧上任意一点，是此段弧上任意一点，9-5曲线积分最新13求和求和.

10、 ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABC1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 其中其中 是是 n 个小弧段的最大值个小弧段的最大值9-5曲线积分最新14注意到注意到22)()(yxs故当故当0时，有时，有, 0, 0yx. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 所以变力所做的功可记为所以变力所做的功可记为Cni 10lim)

11、,(),(),(),(yxQQyxPPiiii,dyydxxiiCdyyxQdxyxPW),(),(舍弃本例的物理意义，可得第二类曲线积分的定义舍弃本例的物理意义，可得第二类曲线积分的定义见教材见教材 p1899-5曲线积分最新15存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当yxQyxP我们在例子中写出的是第二类曲线积分的我们在例子中写出的是第二类曲线积分的组合形式组合形式CCCdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中.CdsF推广推广C空间有向曲线弧空间有向

12、曲线弧.CRdzQdyPdx9-5曲线积分最新16性质性质）对积分弧段的可加性，即）对积分弧段的可加性，即21CCCQdyPdxQdyPdxQdyPdx其中其中21CCC（注意曲线的方向）（注意曲线的方向）反向积分的变号性）反向积分的变号性BAABQdyPdxQdyPdx这是与第一类曲线积分不同的！这是与第一类曲线积分不同的！另外，如果积分弧段是封闭曲线，我们有环另外，如果积分弧段是封闭曲线，我们有环路积分的记号（通常逆时针方向为正向）路积分的记号（通常逆时针方向为正向）CQdyPdx与方向与方向有关有关!注意并不总等于零！注意并不总等于零！9-5曲线积分最新17第二类曲线积分的计算第二类曲线

13、积分的计算如果积分弧段由参数方程如果积分弧段由参数方程)(),(:tytxAB给出，其中起点和终点对应的参数分别为给出，其中起点和终点对应的参数分别为,则则ABdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)( )(),()( )(),(注意不必有注意不必有! !这是一个定积分！看来计算第二型曲线积分也这是一个定积分！看来计算第二型曲线积分也是化成定积分计算的是化成定积分计算的9-5曲线积分最新18特别地，当积分弧段的方程为特别地，当积分弧段的方程为)(xfy 时，时，)()(bBaAABdyyxQdxyxP),(),(badxxfxfxQxfxP)( )(,()(,(积分弧段为积分弧段

14、为)(ygx 时如何？时如何？对空间曲线弧有类似的计算公式对空间曲线弧有类似的计算公式9-5曲线积分最新19例计算线积分例计算线积分Cdyyadxya)()2(其中是摆线其中是摆线)cos1(),sin(tayttax自自t到到t的一段的一段Cdyyadxya)()2(解解代入，得代入，得)cos1(),sin(tayttaxtdtadydttadxsin,)cos1(2022cossincos1dtttta2022cossinsindtttta0cossin20tdtt2020222cos1sindtttdt.2a9-5曲线积分最新20例例.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到

15、上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B9-5曲线积分最新21的的定定积积分分，化化为为对对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B9-5曲线积分最新22.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为

16、原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLdxyL 例例3解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 .343a 03a)(cos)cos1 (2 d 9-5曲线积分最新23)0 ,(aA)0 ,( aB , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原原式式. 0 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同，积分结果不同路径不同，积分结果不同.那么何时曲线积分只与起点和终点有关，而与那么何时曲线积分只与起点和终点有关，而与积分的路径

17、无关呢？积分的路径无关呢？如果是这样，我们就可以选取较简单的路径如果是这样，我们就可以选取较简单的路径进行积分，而使计算大大简化进行积分，而使计算大大简化这就是下面将要讨论的问题这就是下面将要讨论的问题9-5曲线积分最新24三、第二类曲线积分与路径无关的条件三、第二类曲线积分与路径无关的条件下面我们从直观的角度讨论线积分与积分路线无关下面我们从直观的角度讨论线积分与积分路线无关的一些结论的一些结论什么叫与路径无关？什么叫与路径无关？如图，是平面上的单如图，是平面上的单连通区域，、是区连通区域，、是区域内两点，域内两点，、是是区域内连接、的任区域内连接、的任意两条有向曲线，若意两条有向曲线，若2

18、1CCQdyPdxQdyPdx恒成立，则称积分在区域内与路径无关，恒成立，则称积分在区域内与路径无关，此时积分值仅依赖始点和终点此时积分值仅依赖始点和终点9-5曲线积分最新25一个重要定理（公式）一个重要定理（公式）定理设函数定理设函数),(),(yxQyxP在闭区域上有连续的在闭区域上有连续的一阶偏导数，而为区域的正向边界，则一阶偏导数，而为区域的正向边界，则DCdxdyyPxQQdyPdx此公式叫做此公式叫做Green公式，其中边界是封闭曲线，公式，其中边界是封闭曲线，它的正向是指沿曲线的正向行进时，区域总在你它的正向是指沿曲线的正向行进时，区域总在你的左侧的左侧Green公式的重要意义在

19、于它沟通了曲线积分与公式的重要意义在于它沟通了曲线积分与二重积分之间的联系，而且在讨论曲线积分与二重积分之间的联系，而且在讨论曲线积分与路线无关的条件时起着不可替代的作用路线无关的条件时起着不可替代的作用进一步的说明：进一步的说明：9-5曲线积分最新26）格林公式不仅对单连通区域是成立的，而且对）格林公式不仅对单连通区域是成立的，而且对多连通区域也成立请注意边界的正向多连通区域也成立请注意边界的正向）格林公式的简单应用，主要有简化线积分的计算，）格林公式的简单应用，主要有简化线积分的计算，简化二重积分的计算及计算平面区域的面积等简化二重积分的计算及计算平面区域的面积等）对格林公式）对格林公式D

20、CdxdyyPxQQdyPdx取取,xQyP则有则有DCdxdyxdydxy2)(CDDxdydxydxdyS)(21如果取如果取, 0 xQPCDxdyS若取若取, 0,QyPCDdxyS)(这是用线积这是用线积分计算平面分计算平面区域面积的区域面积的一组公式一组公式9-5曲线积分最新27xyoAB例计算例计算Cxdyydx其中其中是如图示从到的半径为是如图示从到的半径为的一段圆弧的一段圆弧解这可以直接用线积分的方法解这可以直接用线积分的方法求解，也可以使用格林公式求解，也可以使用格林公式 考虑由曲线考虑由曲线AOBAOBL围成的区域围成的区域则由于则由于1,xQyPxQyP据格林公式据格林

21、公式DLdxdyyPxQQdyPdx0AOBAOBLxdyydx9-5曲线积分最新28但但, 0OBxdyydx, 0AOxdyydx故故. 0Cxdyydx直接计算直接计算20:,sin,cos:ttRytRxC20)sin(cos)cos(sintRtdRtRtdRxdyydxC20222)cossin(dtttR2022costdtR202|2sin21tR. 0 xyoAB9-5曲线积分最新29例例 2 2 计计算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域.解解 令令2, 0yxeQP ,11xy

22、oABD则则 2yeyPxQ ,应用格林公式应用格林公式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e为为什什么？么？这是在讲二重积分这是在讲二重积分时的一个例子时的一个例子9-5曲线积分最新30例求椭圆例求椭圆12222byax围成的面积围成的面积解解椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为)20( ,sin,costtbytax由格林公式，得由格林公式，得CDDxdydxdyS20)sin(costbtda202cos tdtab20)2cos1(21dttab.ab其中为椭圆所围区域其中为椭圆所围区域9-5曲线积分最新31与路径无关的条件

23、与路径无关的条件假定假定、是是单连通区域单连通区域内内从点到的任意两条路径，从点到的任意两条路径，若线积分若线积分ABQdyPdx与积分路径无关，则有与积分路径无关，则有21CCQdyPdxQdyPdx或或021CCQdyPdxQdyPdx为什么？为什么？由格林公式，即知由格林公式，即知01DdxdyyPxQ为何？为何？由两路径的任意性，知由两路径的任意性，知yPxQ在内恒成立在内恒成立9-5曲线积分最新32从而我们得到：从而我们得到：ABQdyPdx与积分路径无关的充要条件是与积分路径无关的充要条件是yPxQ在内恒有在内恒有再次由格林公式，如果是区域内的任意闭曲线再次由格林公式，如果是区域内

24、的任意闭曲线则有则有0CQdyPdxyPxQ我们从另一角度来看另外一个条件我们从另一角度来看另外一个条件既然与积分路径无关，那么如果我们固定起点既然与积分路径无关，那么如果我们固定起点),(00yxA另一点另一点),(yxB是区域内任一点，则线积分是区域内任一点，则线积分ABQdyPdx应是应是),(yxB的函数，不妨设为的函数，不妨设为),(yxu9-5曲线积分最新33即即),(),(),(00yxuQdyPdxQdyPdxyxByxAAB这样，我们就有全微分这样，我们就有全微分QdyPdxdu从而，有从而，有在区域内曲线积分与路径无关的充要条件为：在区域内曲线积分与路径无关的充要条件为：存

25、在可微函数存在可微函数),(yxu使表达式使表达式QdyPdxdu在区域内成立在区域内成立9-5曲线积分最新34因此，在因此，在 “和在和在单连通区域单连通区域内有连续的一内有连续的一阶偏导数阶偏导数”的条件下，以下四个命题是等价的：的条件下，以下四个命题是等价的： LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxUD ，使，使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在这是几个常见的等价命题，它们给我们讨论这是几个常见的等价命题，它们给我们讨论线积分带来极大方便线积分带来极大方便我们总可以选取比较简单的积分路线我们总可以选取比较简单的积