饮酒驾车问题

1、饮酒驾车建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型 团队成员：魏凤佳、邵娟娟、张程团队成员：魏凤佳、邵娟娟、张程题 目 据报导，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当大的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克百毫升）。 大

2、李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？问问 题题1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 1)酒是在很短时间内喝的； 2)酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？参考数据参考数据1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只

3、占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下： 时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774假假 设设1.假设喝啤酒后，啤酒中的酒精全部进入胃肠（含肝脏），然后经过胃肠渗透到体液。2.假设酒精从胃肠向体液的转移速度，与胃肠中的酒精浓度（或含量）成正比。3.假设体液中的酒精消耗（

4、向外排出、分解或吸收）的速度，与体液中的酒精浓度（或含量）成正比。4.对问题一，假设大李在下午6点接受检查，之后由于停车、等待等原因耽误了一定时间t0（这里不妨设t0=0.5小时），即大李第一次检验到第二次喝酒之间间隔为半小时。5.对问题一，假设大李在两次喝酒时都是将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。6.假设酒在很短时间内喝完即将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。7.假设酒在较长一段时间内喝时是匀速喝下去。8.假设体液的密度为1千克/升. 一个人血中酒精含量取决于他的饮酒量、体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。有科普知识知道，酒精是经胃肠（主要是肝脏）的吸收与分解进入体液的，

5、酒精从胃肠（含肝脏）向体液转移情况如图所示： f(t) k12 k21 k11 胃 肠 体液图图1 返回返回 返回返回 符号说明符号说明:k11：酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速率系数;k12：酒精从胃肠进入体液的速率系数；k21：酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数；f(t):酒精进入胃肠的速率；x：胃肠中的酒精含量；y：体液中的酒精含量；a：每瓶酒中的酒精含量；n：饮酒的瓶数；v： 人体体液的体积；t ： 时间；对问题一建立模型及求解对问题一建立模型及求解一：建立模型 根据假设的条件及图1可以看出：x1(t)的变化率由从胃肠进入体液的酒精-k11x1和从胃肠渗透到（除

6、体液外）其它地方的酒精-k12x1组成；y1(t)的变化率是由从胃肠进入体液的酒精k12x1与体液中消耗（向外排出、分解或吸收）的酒精-k21y1组成。所以，可以建立以下微分方程： ykxkyxkxkx12111211121111 (1)返回返回 如图如图 1）大李在中午12点喝一瓶啤酒时，即在t=0时胃肠中的酒精量x1（0）为一瓶酒中的酒精a与饮酒瓶数n的乘积，而此时体液中的酒精量y1(0)为零，所以初始条件为：体液中酒精浓度为：求出n=1时 的值，判断c(6)20是否成立 vttcy)()(1vcy) 6() 6(1 (3)返回返回0)0()0(11yxna (2)2）大李第二次喝酒时胃肠

7、和体液中已经有酒精，所以在第二次喝酒即t=0时胃肠中的酒精量x2(0)为n瓶酒中的酒精质量na与第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量x1（t1)之和，而此时体液中的酒精质量y1(0)为第一次喝酒后残留在体液中的酒精质量y1(t1)。因此大李第二次喝酒的模型如下：根据题意判断 是否成立。vttcanytyytxxykxkyxkxkx)()()()0()()0(21121122212122212211220)14()14(121vctyt 二.对问题一求解 微分方程： （4）是可分离变量的微分方程，（5）是一阶线性非齐次微分方程，通过求解，得出它满足初始条件 ： -（4） -（5）ykxkyxkxk

8、x12111211121111 0)0()0(11yxna上述方程的特解为： ， 令 ， ， ， extkkna)(11211)(211211)(211211121eekkkkyttkkkna ka12kk1211k21exatna1)(1eeyttn 根据题目所给的饮两瓶酒的数据，此时n=2，据高斯-牛顿算法可得： ， ， 利用非线性最小二乘法拟合见图2. 180. 21755. 054468 0 2 4 6 8 10 12 14 16 t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 图图2 将以上数据代入问题一的模型中，可求得大李在中午12点饮一瓶啤酒，即n=1时，到下午6点第一次

9、检查时体液中的酒精含量(即血液中的酒精含量)： ,所以大李通过 第一次检查。 大李第二次喝酒模型的方程解为： , eexttan)1 (12)1 ()1(112eeeeyttttn209616.19)6()6(1vcy 考虑到大李在下午6点接受检查，之后由于停车等待等原因耽误了一定时间，假设大李从第一次检验到第二次喝酒之间间隔05小时，代入数据计算可得第二次检验时，大李血液中酒精含量为：202448(毫克百毫升)。这就解释了大李在第一次喝酒通过检查，第二次喝同样的酒且经过更长的时间检查却被定为饮酒驾车的情况，因为第二次喝酒时有第一次喝酒的残留量。问题二在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内

10、驾车就会违反上述标准，在以下情况下答：1）酒是在很短时间内喝的 短时间内喝下的模型，已在问题一中得到求解，即向上述两式中代入具体数据得喝三瓶啤酒需12.25小时，半斤白酒需13.6小时内驾车就会违反新标准。)(1eeyttn20)()(1vttcy问题二 :(2) 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 问题二（2）的分析： 对于第二问，x(t)的变化率由从胃肠进入体液的酒精 k12x，从胃肠渗透到(除体液外)其它地方的酒精-k11x以及酒精进入胃肠的速率f(t)组成。y(t)的变化率由从胃肠进入体液的酒精k

11、12x与在体液中消耗(向外排出、分解或吸收)的酒精-k21y组成。在饮酒期间(0tt). 假设酒精进入胃肠的速度是匀速的，则酒精进入胃肠的速率为f(t)=na/t，饮酒后，无酒精进入胃肠，所以f(t)=0，因此，建立微分方程模型如下： 如图如图 因在t=0时胃肠中的酒精质量 x(0)和体液中的酒精质量 y(0)都为零。 故初始条件为 体液(或血液)中酒精的浓度为： 问题二即求满足 f(t)20的时间t范围)(0)0()(,)( )()( 21121211tttttnatfykxktytfxkxktx其中0)0(0)0(yxvtytc)()( 在一个较长时间内喝下的微分方程中，f(t)是个分段函

12、数，所以需要分段求解，我们将其转化为两个微分方程：)6( ,00)0(0)0()( /)( 11121112112111ttyxykxktytnaxkxktx 微分方程组(6)的解为： 微分方程组(7)的解为：)11(),1(11tttteeetnyetanx)7( ,)()0()()0()( )( 121222121222122112tyytxxykxktyxkxktx)()()(,)(1211212tttteektxetyyetyx再代入具体参数值进行计算可得多少时间内驾车违反新规定，列表如下：3瓶啤酒(500ml，5。) 半斤白酒(38。)短时问内喝完1225小时136小时2小时内喝完1

13、328小时1463小时问题三：怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高 ? 问题三分为两种情况：第一种情况是酒在很短的时间内喝的，第二种情况是酒在较长一段时间内喝的。 第一种情况：酒在很短的时间内喝的，要求血液中酒精含量最高的时间，即求体液中酒精含量函数 y(t)的最值点。用极值与最值的关系，因最值存在，且驻点唯一，故可通过求解驻点得到。即求满足y(t)=0的时间t。其中 y(t)满足以下微分方程(1)及初始条件(2)，(3)。初始条件（初始条件（2）（）（3）方程（方程（1） 第一种情况是酒在很短的时间内喝下的，在问题一中已经求得结果：)(tteeny 令y=0，可得 可见无论喝多少酒，体液中

14、酒精的含量达到最高所用的时间均为1.3255小时lnlnt图像3曲线分别表示喝1瓶、2瓶。5瓶啤酒体液中酒精的含量走势图246128141016108967105432109108910789105789106578910465789103465789102346578910123465789100123465789102012346578910420123465789106420123465789108642012346578910108642012346578910121086420123465789141210864201234657891614121086420123465789 问题

15、三问题三 估计血液中酒精含量什么时间估计血液中酒精含量什么时间内最高内最高第一种情况：酒是在很短的时间内喝完的第二种情况：酒是在很长的一段时间内喝完的酒精在人体内的代谢图酒精进入人体后的代谢情况、酒精进入人体后的代谢情况、 f(t) k12 k21 k11 问题四问题四问题三问题三 胃胃肠肠 体体液液 yxtytfxxtxkkkk12121211其中 tttttnatf00初始条件为： x(0)=0，y(0)=0 返回返回模型三求解：酒是在较长的时间内喝的，体液中酒精含量的表达式为分段函数。0tteettnatnatx1tt tynaettna1酒精含量在什么时间内最高？则0 y喝酒的时间ti（i=1,2、8）喝酒所用时间（小时）酒精含量达到最高点时间11.913922.651033.483544.371355.291766.232977.088088.1530t1234567800.20.40.60.81.01.21.41.61.8c图中点组成的图形表示持续喝酒时体液中酒精含量的变化，曲线表示喝完酒后体液中酒精含量的变化问题四：如果天天喝酒，是否还能继续开车设：每天喝酒n瓶，第i次饮酒与第i+1次饮酒的时间间隔为ti？与问题一相似！ 0001112111211121111yxykxky