动力响应分析

1、 返回首页theory of vibration with applications多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications已知n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程m xk x0 xxxx( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )00000000012012xxxxxxntnt当t=0时，系统的初始位移与初始速度为求系统对初始条件的响应。多自由度系统多自由度系统求解的方法是：求解的方法是：利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成成n n个独立的单自由度形

2、式的运动微分方程；个独立的单自由度形式的运动微分方程；利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；或正则坐标表示的响应；再反变换至原物理坐标求出再反变换至原物理坐标求出n n自由度无阻尼系统对初始条自由度无阻尼系统对初始条件的响应件的响应. .。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。 返回首页theory of vibration with applicationsm xk x0 xa xnn02nnxx 由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为), 3 , 2 , 1(si

3、n)0(cos)0(nitxtxxiiiniininxa xnnxa xnn1a maintnaa mnnt1xa mxnntxa m xxa mxnntnnt( ) ( )0000多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications nnnnnnnnnnxxx2121aaaxax系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法振型叠加法对于半正定系统，有固有频率 i = 0 xn i 0 xxxtn in in i( )( )00系统具有刚体运动振型 nnnnnnnnxxxaaa2211多自由度系统多自由度系统 返回首页theor

4、y of vibration with applications例9 在例1中，设初始条件是 ,求系统的响应。 xx( ), ( )0000000att解：已求出系统的正则振型矩阵和质量矩阵amnmm1024180712006592045300517907256060670335301394100010002.,0)0(mxaxtnn ( )xa mx0nnt00002000100011394. 07256. 06592. 03353. 05179. 07120. 06067. 04530. 02418. 0am6592. 07120. 02418. 0am多自由度系统多自由度系统 返回首页t

5、heory of vibration with applicationstmaxtmaxtmaxnnn332211cos6592. 0cos7120. 0cos2418. 0得到用正则坐标表示的响应 xaaannnnnnxxx112233tatataxxx321321cos0919. 04783. 04345. 0cos0919. 03687. 05069. 0cos1469. 01095. 00585. 0求出系统对初始条件的响应mkmkmk7609. 1,1281. 1,3559. 0321其中多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applic

6、ations例10 三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对转轴的转动惯量均为i，各段轴的扭转刚度系数均为 ，轴重不计。若已知运动的初始条件k0000000tt，解：系统的位置可由三圆盘的转角 确定，123，iiikkkkkkk000000020000123123求系统对初始条件的响应。运动微分方程是求主振型多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applicationsiiikkkkkkk000000020000123123ikkkikkkik222020b0)3)(2422iikikbikik3, 0321写出特征方程得到系统的频率方程解出三

7、个固有频率多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications三个固有频率22222)()(2(adjkikkkikikb求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列将各频率依次代入，即得各阶主振型 aaa( ),123111101121 ikik3, 0321多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications aaa( ),123111101121 ap111102111各阶主振型将三阶主振型为列，依次排列组成主振型矩阵ma mapptpiiii111101121000000111102111

8、300020006ani16231202231求出主质量矩阵求出正则振型，进一步建立正则振型矩阵多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applicationsaa mnnti16222303121nntnni( )( )0000062311010aa求系统初始条件的正则坐标表示tpitptpitptitnnnnnn33333322222211sin6sin)0(sin63sin)0(3)0(多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications 332211nnnnnnaaa求出响应为0000t

9、，若初始条件为求系统的响应0102)0(01inna000)0(01nnatin2cos0102tttttttt3322333322sin1sin32sin12sin1sin326多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications0102)0(01inna由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频率2作谐振动。 ttiinn22cos101cos010213220213261 a000)0(01nnatin2cos0102多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applicati

10、onst psinff mxkxf 设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用它们为同一频率的简谐函数。则系统的运动微分方程为为了求系统对此激振力的响应，现采用主振型分析法和正则振型分析法。利用主坐标变换或正则坐标变换使方程解偶的分析方法，称为正规模态法或实模态分析法。 多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applicationsxa xppm xk xqppppp 利用主坐标变换mxkxf ptt pptptppsinsinqfafaqt pqxkxmipipiipisin in12 3, , ,qa fppt以主坐标表示的受迫振动方程式，它是一

11、组n个独立的单自由度方程，即同单自由度无阻尼受迫振动一样，设其稳态响应是与激振力同频率的简谐函数，即ptbxipipsinin 12 3, , ,多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applicationsipiiiipiiipipqpmqpmkqb)(222in12 3, , ,t pqxkxmipipiipisin t pbxipipsint pt ptpppsindiagsinfaabxfaaaxaxtppppdiag iiiiikmmp11222()返回原物理坐标这就是系统对简谐激振力的稳态响应。上述方法即为主振型分析法。faaqabtp

12、ppdiagdiag 多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applicationsxa xnn xp xqnnn2t pntnnsinqfaqqa fnntmxkxf 将正则坐标变换的关系式由正则振型的正交条件可得到解偶的运动微分方程t pqxpxininiinsin2 in12 3, , ,t pbxininsinnipqpqbiiiniiinin, 3 , 2 , 112222可写成n个独立的方程faqbtnnndiagdiag t pt ptnnnsindiagsinfabxt ptnnnnsindiagfaaxax返回原物理坐标ptsin

13、ff 多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications可以看出，当激振力的频率等于系统固有频率中任何一个时，以上二式的分母都将为零，这时振幅将会无限增大，即系统发生共振。与单自由度系统不同，n自由度系统一般有n个固有频率，因此可能出现n次共振。可以证明，当系统发生共振时，譬如 ，这时第i阶主共振的振幅会变得十分大，称系统发生了第i阶共振，且系统在第i阶共振时的振动形态接近于第i阶主振型。ipnipqpqbiiiniiinin, 3 , 2 , 112222ipiiiipiiipipqpmqpmkqb)(222多自由度系统多自由度系统

14、返回首页theory of vibration with applications例11 在图示的三自由度弹簧质量系统中，物块质量均为m，且，0)(,3sin)(,sin)(;2,322114321tfptftft pftfkkkkkk试求系统的稳态响应。解：设取广义坐标x1、 x2、 x3 如图所示。mxkxf( )t系统的运动微分方程为多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applicationst pftfsin)(11mxkxf( )t由线性系统的叠加原理，先分别计算系统在f1(t)和f2(t)单独作用下的响应，然后再将两部分叠加起来，最后

15、得到系统对激励 f (t)的响应。03sinsin)(,30202,21t pft pftkkkkkkkmmmfkmt pftf3sin)(220)(3tf多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applicationsmkmkmk8020. 3,4448. 2,7531. 0232221anm1058780736903283074030328105914032630590907375.nnnqxx23222100 现在求出系统的固有频率和正则振型矩阵利用正则坐标变换得到以正则坐标表示的运动微分方程多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of

16、 vibration with applications将qn分成两种情况(用下标1，2分别表示f1(t)、f2(t)单独作用的情况)。t pfmt pfptfmt pftnntnn3sin5914. 03281. 07403. 013sin00)(sin3283. 07369. 05878. 01sin00)(222111aqaq2211piixqniinii 12 3, ,t pmft pmfnnnn3sin5914. 03281. 07403. 0)(diag)(sin3283. 07369. 05878. 0)(diag)(32221222223121111111qxqx22231pi

17、i多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications由于激振力是不同频率的， f2(t)的频率是f1(t)的三倍，因此系统的总响应不再是简谐的，而是周期性的。xa xnn t pmft pmf3sin4362. 01937. 02416. 03498. 01076. 05480. 01942. 02418. 04351. 0sin2421. 04354. 01918. 01942. 02417. 04351. 01078. 05430. 03455. 02322212322212322212213121113121113121111xx

18、xxx( )( )12多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications在线性振动理论中，一般采用线性阻尼的假设，认为振动中的阻尼和速度的一次方成正比。在多自由度系统中，运动微分方程式中的阻尼矩阵一般是n阶方阵。有mxcxkxfc cccccccccnnnnnn111212122212c是阻尼矩阵，与刚度影响系数和柔度影响系数类似，阻尼矩阵中的元素cij称阻尼影响系数。它的意义是使系统仅在第j个坐标上产生单位速度而相应于在第i个坐标上所需施加的力。 多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with ap

19、plicationsca capptp利用主坐标分析法，用主振型矩阵ap试对阻尼矩阵c进行对角化cp一般不是对角阵cmkabcamk amkpptpppabab()c ambkambkambknn11221. 将阻尼矩阵假设为比例阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合a、b是正的常数称为主阻尼矩阵多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications2)(babantnniakmac22221nnbababac2iinbacin12 3, , ,若用正则振型矩阵变换22iiiinbaciiiba22振型比例阻尼系数或模态比例阻尼系数

20、振型阻尼比或模态阻尼比多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications2. 由实验测定各阶振型阻尼比对于实际系统，阻尼矩阵中各个元素往往有待于实验确定。有时更方便的办法是，通过实验确定各个振型阻尼比。这样，在列写系统的运动微分方程式时，先不考虑阻尼，等经过正则坐标变换后，再在以正则表示运动微分方程式中引入阻尼比，直接写出有阻尼存在时的正则坐标表示的运动微分方程式。实践证明，这一方法具有很大的实用价值。它一般试用于小阻尼系统，即 的情形2 . 0 i多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with ap

21、plications当振动系统的计算模型已经确定，可根据计算模型写出阻尼矩阵c，然后经过正则坐标变换，即求出ca canntn3. 忽略矩阵cp中的全部非对角元素若cn不是对角阵，则可这样处理，即考虑到工程上大多数振动系统中的阻尼都比较小，可将cn中的非对角元素改为零，只保留对角元素进行分析计算。这样做的结果往往也能得到较好的近似解。多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications当多自由度振动系统中的阻尼矩阵是比例阻尼时，利用正则坐标变换解偶。即 xcxp xqnnnnn2t pqxpxpxininiiniiinsin22 in 1

22、2 3, , ,faqtnniiinc2t pntnnsinqfaq)sin(iinint pbx222221iiiiininpqb稳态响应为212taniiiiiipxa xnn xaaannnninnnnxxx112由正则坐标变换关系式得到系统的稳态响应这种方法称有阻尼系统的响应的振型叠加法多自由度系统多自由度系统其中 ,各阶振型阻尼比为 ,试求系统的响应。 返回首页theory of vibration with applicationst pftftftfsin)()()(321mkp25. 101. 0321例12 图所示有阻尼的弹簧质量振动系统，如k1= k2= k3= k ; m

23、1= m2= m3= m，各质量上作用有激振力mxkxft pfkkkkkkkmmmsin111,0202,fkm解：1 由简化模型列写无阻尼受迫振动方程多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applicationsmxkxf解：1、2 求固有频率和正则振型由频率方程02mkmkmkmk802. 1,247. 1,445. 0321mkb222222)()(2(adjkmkkkmkmkb由特征矩阵的伴随矩阵的第一列多自由度系统多自由度系统 返回首页theory of vibration with applications a1044508021000.t a2124705551000 .t a3180222471000.tanm1032807370591059103280737073705910328.求出主振型和正振型矩阵xa xnnt pqxpxininiinsin2 3 , 2 , 1 i3 进行坐标变换多自由度系统