重积分的计算及应用

1、三、重积分的应用三、重积分的应用 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少, 累次积分易算为妙累次积分易算为妙 .图示法图示法列不等式法列不等式法(从内到外从内到外: 面、线、点面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法例例1.1.计算积分计算积分, ,) )( ( ddyx 其中其中d 由由,2

2、2xy 12,4yxyx所围成所围成 .提示提示: :如图所示如图所示xy224246oyx,12ddd 内有定义且在2),(dyxyxfdyxd)(2d)(dyx1d)(dyx连续连续, ,所以所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431d2dd例例2.解解围围成成由由其其中中计计算算2122 xxyxyddyxd, , ,. . dyxd22dxyxxx1212 213)(dxxx.49 . ,1, 21 :xyxxdd 是是 x型。型。oxyxy 22 xxy1 1 xxdyyxdx12221解解: dddyxdd 22例例3. . ) )c co

3、os s( ( . . ）所所围围的的面面积积（取取圆圆外外部部线线和和心心形形是是由由圆圆其其中中计计算算 122aaddyxd在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域 d 可表示为可表示为 ) )c co os s( ( 122aaddoaa2a2 2 ) ). .c co os s( ( 1aa,22 22331)cos1(31 da).2922(3 a例例 4. 计算计算,ddd12zyxxyi所围成所围成. 其中其中 由由1,1,12222yzxzxy分析：若用分析：若用“先二后一先二后一”, 则有则有zxxyyiyddd1d201zxxyyyddd1d210计算较繁计算较繁! 采用

4、采用“三次积分三次积分”较好较好.1zxy1o1:4528 1122yzx2211xzx11xxxid1211zxxd2211yyzxd11221, 1,1222yzxzxy由所围所围, 故可故可 思考思考: 若被积函数为若被积函数为 f ( y ) 时时, 如何计算简便如何计算简便? 表为表为 解解:1zxy1o12 (3). 计算二重积分计算二重积分,d222dyxr其中其中d 为圆周为圆周xryx22所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标利用极坐标cosr原式原式cosdrr0222033d)sin1(32r)34(313rydr xo:dcosr02222dp182练习练

5、习p182 2 (3) ; 7; 8 (1), (3)7. 把积分把积分zyxzyxfddd),(化为三次积分化为三次积分,其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 积分域为积分域为:原式原式220d),(yxzzyxf及平面及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所围成的闭区域所围成的闭区域 .xyzp183zd1zd28 (1) .计算积分计算积分2222rzyxzrzyx2222及,ddd2zyxz其中其中 是是两个球两个球 ( r 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺由于被积函数缺 x , y ,原式原式 =zdyx1ddzzzrzrd

6、)2(2022利用利用“先二后一先二后一” 计算方计算方便便 .zzrd202zdyx2ddzzrrd22zzrzrrd)(2222548059rrzyxo2rp1838 (3).计算三重积分计算三重积分,d)(22vzy其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线xy22所围成的闭区域所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标利用柱坐标sincoszyxx原式原式522xd绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5221 x10020d100320d3250:zxyo5p1835x二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1. 交换

7、积分顺序的方法交换积分顺序的方法2. 利用对称性或重心公式简化计算利用对称性或重心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号例例5.5.改变下列二次积分的积分次序：改变下列二次积分的积分次序：; ),( )1(2121dyyxfdxx . ),( )2(221110dxyxfdyyy 解解 (1) (1) 积分区域为积分区域为 .1, 21 :2xyxd . 41, 2 :yxyd 2121 ),( xdyyxfdx d),( dyxf. ),( 241 ydxyxfdy将将 d 向向 y 轴投影。轴投影。oxy1212xy 4积分区域为积分区域为 . 10 ,11 :22

8、yyxyd .10, 11 :2xyxd将将 d 向向 x 轴投影轴投影,. ),( )2(221110dxyxfdyyy xy11o1 122 yx dxyxfdyyy ),(221110. ),( 21011 xdyyxfdx d),( dyxfxysinxyo2例例6. 1d),(dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyixyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy如图所示如图所示交换下列二次积分的顺序交换下列二次积分的顺序:xyyxfxisin020d),(d1d2d2d),(dyxf解解

9、:xyz解解1d2d 101002dyzyxfdzdxx) ), , ,( (原原式式 10021xxzd : : 101222xxzxd : :时时当当10 y时时当当12 yxz练习练习:. . ) ), ,( ( d d化为二次积分化为二次积分将将 dyxf ; ; , , , , ) )( (围围成成的的闭闭区区域域由由直直线线1111 yxyxy; ; , , ) )( (围围成成的的闭闭区区域域由由抛抛物物线线2212xyxy . . , , , , ) )( (围围成成的的闭闭区区域域由由024322 xxxyxy. . ) )( (224xxyx 闭闭区区域域解解 (1)d 是

10、是 y型。型。将将 d 向向 y 轴投影。轴投影。 . 10,11 :yyxyd dxdyyxf ),(ddxyxfyy ),(11 10 dyoxy121xy 11 xyoxy11 121xy 2xy 求交点：求交点： .1,22xyxy; ; , , ) )( (围围成成的的闭闭区区域域由由抛抛物物线线2212xyxy 于是，于是， .1 ,2222 :22xyxxdd 是是 x型。型。将将 d 向向 x 轴投影。轴投影。得得).21 ,22( )21 ,22(， dxdyyxf ),(ddyyxfxx ),(221 2222 dx2222 oxy1222xxy 24xy 2在极坐标系中，

11、闭区域在极坐标系中，闭区域d 可表示为可表示为. .c co os s22 ,20 d ),( dyxf dddf ) )s si in n , ,c co os s( (. . ) )sinsin , ,coscos( (coscos 2220 dfdoa c co os s2 2 . . , , , , ) )( (围围成成的的闭闭区区域域由由024322 xxxyxyoa coscos2 xy1122xxy xy 2o在极坐标系中，在极坐标系中，d 可表示为可表示为. .coscos 20 ,24 d ),( dyxf dddf ) )s si in n , ,c co os s( (.

12、 . ) )s si in n , ,c co os s( (c co os s 2024dfd. . ) )( (224xxyx 闭闭区区域域xyo d设函数设函数),(yxfd 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时, 仍仍1d在在 d 上上d),(21dyxf在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域d 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分, 则

13、有则有1:,221 yxdd 为圆域如dyxyxdd)(22dyxyxdd)(1dd)(422dyxyx0重积分中对称性的应用重积分中对称性的应用例例8. 计算二重积分计算二重积分, ,d dd d) )( (yxeyxxiyxd222 其中其中:(1) d为圆域为圆域; 122 yx(2) d由直线由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用对称性利用对称性.yox1dyxxidd dd d 202122 yxyxdd dd d) )( ( 1032021 d dd d4yxeyxdyxd dd d 22围成围成 .yxeyxdyxdd122(2) 积分域如图积分域如图:o1yx11d2dxy

14、xy , xy将将d 分为分为,21ddyxxiddd2yxeyxdyxdd22200dd1112xyxx32添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性 , 得得111 xyo例例9. 计算二重积分计算二重积分,dd)sgn() 1 (2yxxyid,dd)22()2(22yxxyyxid122 yx在第一象限部分在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, dd两部分两部分, 则则1dddyxi1112ddxyx322d2dddyx2011ddxyx1011:yxd，其中其中d 为圆域为圆域把与把与d 分成分成1d作辅助线作辅助线xy1o1xy (2) 提示提示: 21, dd两部分两部分

15、1dyxyxddd)(22yxyxddd)2(说明说明: 若不用对称性若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号需分块积分以去掉绝对值符号. xy 作辅助线作辅助线2d将将d 分成分成dyxdd2yxxyyxiddd)22(222) 12(32例例10. 证明证明:, 2d)cossin(122dyx其中其中d 为为.10, 10yx解解: 利用题中利用题中 x , y 位置的对称性位置的对称性, 有有d)cossin(22dyxd)cossin(d)cossin(222221ddxyyxd)cossin(d)cossin(222221ddyyxxd)cossin(22dxxd)sin(242

16、dx,1)sin(,1042212xx又又 d 的面积为的面积为 1 , 故结论成立故结论成立 .yox1d1例例11. 计算计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxi其中其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxiddd2利用对称性利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzddd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zdzyxyxyxdddsin52220zoxy2例例12 设设 由锥面由锥面22yxz和球面和球面4222zyx所围成所围成 , 计算计算.d)(vzyxi2提示提示:4利用对称性利用对称性vzyxd)(222vzxz

17、yyxzyxid)(222222用球坐标用球坐标 rr d420dsin4020d221564例例13. 计算二重积分计算二重积分,dd)35(dyxyx其中其中d 是由曲是由曲044222yxyx所围成的平面域所围成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:9adyxxidd5923) 1(5adyxydd3积分区域积分区域线线质心坐标质心坐标2,1yxdyxxaxdd1dyxyaydd1ayax35axamyxamaxxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d证明证明: :提示提示: 左端积分区域如图左端积分区域如图,doyxxy a交换

18、积分顺序即可证得交换积分顺序即可证得.p182 4.练习题练习题 p182 1; p182 4, 11r11. 在均匀的半径为在均匀的半径为r的圆形薄片的直径上的圆形薄片的直径上 , 要接上一要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个使整个的另一边长度应为多少的另一边长度应为多少?22xryboryx提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.,0y由对称性知由对称性知dyxydd022ddxrbrryyx2332brr 由此解得由此解得rb32问接上去的均匀矩形薄片问接上去的均匀矩形薄片即有即有d薄片的重心恰好落在圆心上薄片的重心恰好落在圆

19、心上 ,?b三、重积分的应用三、重积分的应用1. 几何方面几何方面面积面积 ( 平面域或曲面域平面域或曲面域 ) , 体积体积 , 形心形心质量质量, 转动惯量转动惯量, 质心质心, 引力引力 证明某些结论等证明某些结论等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面例例4.4. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为r 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.xyzrro解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222ryx利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为yxxrvddd822220dxryxxrrd)(8

20、0223316r222rzx22xrz 00:),(22rxxrydyxxxrrd8022222ryx222rzxd利用利用“先二后一先二后一”计计算算.zyxvdddzdcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxdz例例15. 试计算椭球体试计算椭球体1222222czbyax的体积的体积 v.解解解解 zyxzyx3422222求交线：求交线：xyzo将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得 . 3 :22 yxd . 1, 322zyxox3 或或 . ., , : : 3020 d dxdydzzi .413 xyzo 23242030 zdz

21、dd. .2243 z即即过过 (, )d 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得 .43,30,20 :22 rzrr ),( r . ., , : : 3020 d dzddz . ., ,sinsin, ,coscoszzyx , , dzdddv 例例17.17.，上连续在设,)(baxf证明证明babaxxfabxxfd)()(d)(22证证: :左端左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfddd)()(222baab利用yxyfxfddd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(2byabxad:= 右端右端ydyfba)(2例例18.,)0(, 0)0(,)(存在设ffcuf，求)(1lim40tftt)(tf解解: 在球坐标系下在球坐标系下trrrftf02020d)(d