材料力学-扭转

1、第三章 扭 转第三章第三章 扭扭 转转3.1 3.1 扭转的概念扭转的概念丝锥、钣牙丝锥、钣牙汽车的转向操纵杆汽车的转向操纵杆第三章 扭 转受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用用 面垂直于轴线。面垂直于轴线。变形特征：横截面绕轴线转动。变形特征：横截面绕轴线转动。外力偶矩的计算：外力偶矩的计算：设某轮所传递的功率是设某轮所传递的功率是kWP轴的转速是轴的转速是min/ rn第三章 扭 转1)(601000=PW的功率相当于每分钟作功：的功率相当于每分钟作功：kWP外力偶矩外力偶矩 每分钟所作的功：每分钟所作的功：eM)2(2=

2、enMW得得)2() 1 (nMP2=601000enPM5499e r/minkWmNe5499nPM r/minPSmNe0247nPM第三章 扭 转3.2 3.2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图eMT T 扭矩扭矩 Twisting Moment eMT 扭矩扭矩T 的符号规定：的符号规定： 右手螺旋法则把右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与截面的外表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，法线方向一致时，T 为正；反之，为负。为正；反之，为负。nn第三章 扭 转 例：图示传动轴，主动轮例：图示传动轴，主动轮 A 输入功率输入功率 ，从动，从动轮轮 B、C、D 输出功率分别为输出功

3、率分别为 , 轴轴的转速为的转速为 。作轴的扭矩图。作轴的扭矩图。PS50APPS20PS,15DCBPPPr/min300n解：解：mN11703005070240247enPMAAmN468mN351eeeDCBMMM，第三章 扭 转mN351e1BMTmN7022TmN468e3DMT第三章 扭 转mN3511TmN7022TmN4683T第三章 扭 转3.3 3.3 薄壁圆筒的扭转实验薄壁圆筒的扭转实验一、薄壁圆筒的扭转应力分析一、薄壁圆筒的扭转应力分析等厚度的薄壁圆筒等厚度的薄壁圆筒, 平均半径为平均半径为 r, 壁厚为壁厚为受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格，然后加载。受扭前

4、在其表面上用圆周线和纵向线画成方格，然后加载。第三章 扭 转dxdy观察到如下现象：观察到如下现象：(1) 纵向线倾斜了同一微小角度纵向线倾斜了同一微小角度 ；(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变。圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变。 根据以上实验现象，可得结论：根据以上实验现象，可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应力在截面圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。上均匀分布，方向垂直于半径。第三章 扭 转切应力在截面上均匀分布切应力在截面上均匀分布, 方向垂直于半径方向垂直于半径第三章 扭 转TArAdTArAdTr

5、r222 rT 根据精确的理论分析根据精确的理论分析, 当当 时时, 上式的误差不超上式的误差不超过过4.52%，是足够精确的。，是足够精确的。10/r第三章 扭 转dxdy观察到如下现象：观察到如下现象：(1) 纵向线倾斜了同一微小角度纵向线倾斜了同一微小角度 ；(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变。圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变。 根据以上实验现象，可得结论：根据以上实验现象，可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应力在截面圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。上均匀分布，方向垂直于半径。第三章 扭 转二、切应

6、力互等定理二、切应力互等定理yxxyd)d(d)d( 微元体微元体单元体单元体第三章 扭 转切应力互等定理切应力互等定理 : : 在相互垂直的两个平面上，切应力一定成对出在相互垂直的两个平面上，切应力一定成对出现，其现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。第三章 扭 转三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 薄壁圆筒的实验，证实了切应力与切薄壁圆筒的实验，证实了切应力与切应变之间存在着象拉压胡克定律类似的应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系，即当切应力不超过材料的剪切比关系，即当切应力不超过材料的剪切比例极限例极限 时，切应力与切应变成正比。时，切

7、应力与切应变成正比。p G剪切胡克定律剪切胡克定律G 称为材料的称为材料的剪切弹性模量剪切弹性模量第三章 扭 转GE2 1() 剪切弹性模量剪切弹性模量 G材料常数：拉压弹性模量材料常数：拉压弹性模量 E 泊松比泊松比 对于各向同性材料，可以证明：对于各向同性材料，可以证明：E、G、 三个弹性常三个弹性常数之间存在着如下关系数之间存在着如下关系第三章 扭 转3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 变形几何关系变形几何关系从三方面考虑从三方面考虑: 物理关系物理关系 静力学关系静力学关系第三章 扭 转观察到下列现象观察到下列现象: :1. 变形几何关系变形几何关系(1)各圆周线的形状、

8、大小以及两圆周线间的距离没有变化各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化(2)纵向线仍近似为直线纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度第三章 扭 转平面假设：平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平性平面一样绕轴线旋转了一个角度。面一样绕轴线旋转了一个角度。第三章 扭 转dd xxdd第三章 扭 转根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律, , 当切应力不超过材料的剪切比例极当切应力不超过材料的剪切比例极限时限时 G切应力方向垂直于半径切应力方向垂直于半径2. 物理关系物理关系xGdd3. 静力学关系静力学关系TA

9、AdTAxGAddd第三章 扭 转GxATAddd2AIAd2p令令极惯性矩极惯性矩pddIGTx则则xGddpIGTGpITpmaxmaxITtWTmaxptIW 抗扭截面系数抗扭截面系数第三章 扭 转tmaxpWTIT第三章 扭 转AIAd2p下面求极惯性矩下面求极惯性矩 和抗扭截面系数和抗扭截面系数 ：pItW2/02d2d2/03d2d4224d324dmaxptIW 2pdI163d第三章 扭 转AIAd2p2/2/2d2Dd32)(44dD maxptIW 2pDI)1 (1643D32)1 (44D对于空心圆，内径为对于空心圆，内径为 d，外径为，外径为 D：第三章 扭 转极惯性

10、矩极惯性矩实心圆：实心圆：324pdI 空心圆：空心圆：)1 (3232)(4444pDdDI抗扭截面系数抗扭截面系数实心圆：实心圆：163tdW )1 (1643tDW空心圆：空心圆：第三章 扭 转pddGITxxGITddplxGITdp3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形pIGlT若若T = const，则，则第三章 扭 转3.6 圆轴扭转的强度条件和刚度条件圆轴扭转的强度条件和刚度条件1. 圆周扭转的破坏圆周扭转的破坏塑性材料塑性材料扭转屈服时应力扭转屈服时应力s沿横截面被剪断沿横截面被剪断,脆性材料脆性材料扭转断裂时应力扭转断裂时应力b沿沿450螺旋曲面被拉断螺旋曲面被拉断,第三

11、章 扭 转何谓何谓45 螺旋面？螺旋面？将三角形纸条卷在一圆柱上，将三角形纸条卷在一圆柱上，纸条的斜边在圆柱上形成的曲纸条的斜边在圆柱上形成的曲线就是螺旋线。线就是螺旋线。第三章 扭 转极惯性矩极惯性矩实心圆：实心圆：324pdI 空心圆：空心圆：)1 (3232)(4444pDdDI抗扭截面系数抗扭截面系数实心圆：实心圆：163tdW )1 (1643tDW空心圆：空心圆：第三章 扭 转tmaxpWTIT第三章 扭 转 un2. 扭转许用应力扭转许用应力tmaxWT塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料扭转极限应力扭转极限应力usub3. 圆轴扭转的强度条件：圆轴扭转的强度条件：第三章 扭 转4.

12、圆轴扭转的刚度条件ddpIGTx180pIGTrad m/m第三章 扭 转 例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切应力是原来的面的最大切应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来倍？圆轴的扭转角是原来的的 倍？倍？163tmaxdTWT324pdGlTIGlT816第三章 扭 转 例：内外径分别为例：内外径分别为 和和 的空心圆截面轴，的空心圆截面轴，受扭矩受扭矩 作用作用, 计算横截面上计算横截面上 A点的切应力及横点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。截面上的最大和最小切应力。mm20mm40mkN1T第三章 扭 转解：解：pIT

13、AA)5 . 01 (3204. 0015. 0000144MPa66.63tmaxWT)5 . 01 (1604. 0000143MPa88.84MPa44.422010maxmin第三章 扭 转解：由解：由)8 . 01 (161643231DTDT19. 18 . 0113412DD得得例：一直径为例：一直径为 的实心轴的实心轴, 另一内外径之比另一内外径之比 的空心轴的空心轴, 若两轴横截面上的扭矩相同若两轴横截面上的扭矩相同, 且最大切应力相等。且最大切应力相等。 求两轴外直径之比求两轴外直径之比 。1D8 . 0/22Dd12/ DD第三章 扭 转 例：在强度相同的条件下，用 d

14、/ D = 0.5 的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d 1 ，由，由)5 . 01 (16164331DTdTDd11022 .得得783. 04)5 . 01 (42122dDAA实空0.8节省材料节省材料 21.7%若将若将 d / D = 0.5 改为改为 0.80.81.1920.80.51248.8%第三章 扭 转 例：一厚度为例：一厚度为 、内直径为、内直径为 的空心圆管，的空心圆管，承受扭矩承受扭矩 。试求管中的最大切应力，使用：。试求管中的最大切应力，使用：(1) 薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论；(2) 精确的扭转

15、理论。精确的扭转理论。mm30mkN180Tmm230内径内径mm230d本题中：本题中：外径外径mm290D平均半径平均半径mm130r壁厚壁厚mm30第三章 扭 转解：解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得2max2 rT)1 (1643maxDT(2) 利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得43329023011629. 010180MPa2 .6203. 013. 021018023MPa5 .56相对误差相对误差%16. 92 .625 .562 .62误差为误差为何较大何较大？第三章 扭 转解：解：mN76.29122506054995499en

16、PM 例：一空心轴例：一空心轴 ，转速，转速 ，功，功率率 ，许用切应力，许用切应力 ，求轴的外直径，求轴的外直径 D和内直径和内直径 d 。8 . 0/Ddinr/m250nMPa 04 kW60P64343emax1040)8 . 01 (1676.2912)1 (16DDM由由mm1 .79D得得,.d 633 mm第三章 扭 转 例：水平面上的直角拐，例：水平面上的直角拐，AB 段为圆轴段为圆轴, 直径为直径为 d，在，在端点端点 C 受铅垂力受铅垂力 F 作用，材料的剪切弹性模量为作用，材料的剪切弹性模量为 G，不计，不计BC 段变形。求段变形。求 C 点的铅垂位移。点的铅垂位移。解

17、：解：aABCVaIGlaFp4232dGlFa第三章 扭 转解：解：) 1 (pIGlT)2(tmaxWTtpmaxWIGl2109005. 01080180669 233.m 例：已知一直径例：已知一直径 的钢制圆轴在扭转角为的钢制圆轴在扭转角为 时，轴内最大切应力等于时，轴内最大切应力等于 , 。求该轴长。求该轴长度。度。mm50dMPa90GPa80G6)2() 1 (得得第三章 扭 转 例：橡胶棒的直径例：橡胶棒的直径 ，受扭后，原来表面上的，受扭后，原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由圆周线和纵向线间夹角由 变为变为 。如杆长。如杆长试求两端截面间的扭转角试求两端截面间的扭转角; 如

18、果材料的如果材料的 , 试求杆试求杆横截面上最大切应力和杆端的外力偶矩横截面上最大切应力和杆端的外力偶矩 。mm40deMmm,300lMPa7 . 2G8890第三章 扭 转解：由解：由ld2dl2230024030得得max G18027 . 2MPa25094. 0tmaxeWM1604. 01025094. 036mN18. 1pT lGI第三章 扭 转解：由强度条件解：由强度条件63tmax1030160005dWT 例：传动轴传递外力偶矩例：传动轴传递外力偶矩 , 试选择轴的直径试选择轴的直径 d。mkN5eM,GPa80,/m5 . 0Gmm7 .94d得得5 . 0180321

19、080000549d由刚度条件由刚度条件mm4 .92d得得mm7 .94d取取,MPa30第三章 扭 转 例：两端固定的圆例：两端固定的圆截面等直杆截面等直杆AB, 在截面在截面C 受外力偶矩受外力偶矩 作用作用,试求杆两端的支座反力试求杆两端的支座反力偶矩。偶矩。eM解：静力平衡方程解：静力平衡方程)1(eMMMBAABACCB 0变形协调条件变形协调条件)2(0ppIGbMIGaMBA即即联立求解联立求解 (1) 和和 (2)，得，得ABbaMMMMabab第三章 扭 转 例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为 l , 钢管钢管与钢轴材料相同与钢

20、轴材料相同, 先在实心圆轴两端加外力偶矩先在实心圆轴两端加外力偶矩 , 使轴使轴受扭后受扭后, 在两端把管与轴焊起来在两端把管与轴焊起来, 去掉外力偶矩。求此外管去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大切应力。与内轴的最大切应力。eM第三章 扭 转解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为 Tp内eIGlM外p内pIGlTIGlT第三章 扭 转3.6 非圆截面杆扭转的概念 圆截面杆扭转时的应力和变形公式，均建立在平面假设的基础上。 对于非圆截面杆，受扭时横截面不再保持为平面，杆对于非圆截面杆，受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。翘曲。 因此，圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均因此，圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。不适用。第三章 扭 转第三章 扭 转非圆截面杆在扭转时有两种情形:1. 自由扭转或纯扭转自由扭转或纯扭转 在扭转过程中，杆的各横截面的翘曲不受任何约束，任在扭