2015年四川省文科数学高考试卷及详细解答

1、2015年四川省文科数学高考试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 .设集合 A=x| - 1vxv2,集合 B=x|1 vx3,则 A U B=()A. x|Tvx3 B. x| - 1x 1 C. x|1 x2D. x|2xb1”是 10g2a log2b0”的()A.充要条件B.充分不必要条件27,过双曲线x2 - 2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B3两点，则|AB|二()A.班B. 2/3C. 6D. 4/38 .某食品保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：C)满足函数关系y=

2、ekx+b (e=2.718 - 为自然对数的底数，k, b为常数).若该食品在0c的保鲜时间是192小时，在22c的保鲜 时间是48小时，则该食品在 33c的保鲜时间是()A . 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时9 .设实数x, y满足，x+2y14 ,则xy的最大值为()Ry 6B.里C. 12D. 16T10 .设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆(x-5) 2+y2=r2 (r0)相切于点M, 且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A . (1, 3)B. (1, 4)C. (2, 3)D, (2, 4)二、填空题：本大题共 5

3、小题，每小题5分，共25分.11 .设i是虚数单位，则复数i -=.112 . lg0.01+log216 的值是.213 .已知 sin a+2cos o=0 ,贝U 2sin acosa- cos a 的值是.14 .在三棱住 ABC-A1B1C1中，/BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为 1的正方形， 俯视图是直角边长为 1的等腰直角三角形，设 M, N, P分别是AB, BC, B1C1的中点，则 三棱锥P-AMN的体积是.15 .已知函数f (x) =2x, g (x) =x2+ax (其中aCR).对于不相等的实数 xK x2,设f Cxi) - f ( K?) S (xJ -

4、 3(算鼻)m=, n=二. 现有如下命题：叼一叼/一2 对于任意不相等的实数 xi、x2,都有m0; 对于任意的a及任意不相等的实数 x1、x2,都有n0； 对于任意的a,存在不相等的实数 x1、x2,使得m=n; 对于任意的a,存在不相等的实数 xi、x2,使得m= - n.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (12 分)设数列an (n=1, 2, 3)的前 n 项和 Sn,满足 Sn=2an- ai,且 ai, a2+1 , a3 成等差数列.(I )求数列an的通项公式；(n )设数列 出

5、的前n项和为Tn,求Tn. an17. (12分)一辆小客车上有 5名座位，其座号为 1, 2, 3, 4, 5,乘客P1 , P2, P3, P4, P5的座位号分别为1, 2, 3, 4, 5.他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着， 就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.(I )若乘客P1坐到了 3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)乘客P1P2P3P4P5座位号 3214

6、532451(n)若乘客P1坐到了 2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率.18. (12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(I )请按字母F, G, H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)(n )判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.(出)证明：直线DFL平面BEG.19. (12 分)已知 A、B、C 为4ABC 的内角，tanA, tanB 是关于方程 x2+/3px- p+1=0 (p 贝) 两个实根.(I )求C的大小(n )若 AB=3 , AC=V&,求 p 的值.在短轴20. (13分)如图，椭圆 E: +-

7、=1 (ab0)的离心率是岑，点P (0, a2 b22cd 上，且 PC?PD= - 1(I )求椭圆E的方程；(n )设O为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆交于 A、B两点.是否存在常数OA?OB+aPA?PB为定值？若存在，求 入的值；若不存在，请说明理由.21. (14 分)已知函数 f (x) = 2xlnx+x 2 2ax+a2,其中 a0.(I )设g (x)是f (x)的导函数，讨论 g (x)的单调性；+ OO)内有(n )证明：存在 aC (0, 1),使得f (x)涮恒成立，且f (x) =0在区间(1, 唯一解.2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、

8、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的.1. （5 分）（2015?四川）设集合 A=x| - 1x 2,集合 B=x|1 vx3,贝U A U B=（）A. x|- 1x3B. x| - 1x 1C. x|1 x2 D. x|2x3考点：并集及其运算.专题：集合.分析：直接利用并集求解法则求解即可.解答：解：集合 A=x| - 1x2,集合 B=x|1 x3,则 A U B=x| - 1x6,解得x=3 ;故选：B.点许:,本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量a= （x, y）与向量b= （m, n）共线，那么 xn=

9、yn.3. （5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视 力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A.抽签法B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法考点：收集数据的方法.专题：应用题；概率与统计.分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理.故选：C.点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题

10、.4. （5 分）（2015?四川）设 a, b 为正实数，则 a b1”是 lOg2a log2b0”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件考点：充要条件.专题：简易逻辑.分析：先求出10g2alog2b0的充要条件，再和 abl比较，从而求出答案.解答：解：若 10g2alog2b0,则 abi,故ab1”是10g2alog2b0”的充要条件，故选：A .点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题.5. （5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为 兀且图象关于原点对称的函数是（）y y=cos （2x+-）B y=sin

11、（2x+）C. y=sin2x+cos2xD . y=sinx+cosx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法.专题：三角函数的图像与性质.分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可. 解答：解：y=cos （2x+1） = - sin2x,是奇函数，函数的周期为：兀，满足题意，所以 A正确y=sin （2x+三）=cos2x,函数是偶函数，周期为：兀，不满足题意，所以 B不正确;y=sin2x+cos2x=卜 / ：Jsin （2x+二）,函数是非奇非偶函数，周期为 兀，所以C不正确; y=sinx+cosx= v /sin （x+春），函数是非奇非偶函数，周期为 2兀,

12、所以D不正确； 故选：A .点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能 力.6. （5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出 s的值为（C.考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k4,计算并输出S的值为二.2解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件 k4, k=3不满足条件 k4, k=4不满足条件 k4, k=5满足条件 k4, S=sin=, 6 2输出s的值为a.2故选：D.点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.27. （5分）（2

13、015?四川）过双曲线x2-g=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|二（）D. 4J3A. 41B, 2/3C. 6s-考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出双曲线的渐近线方程，求出 AB的方程，得到 AB坐标，即可求解|AB|.解答：2解：双曲线x2-工=1的右焦点（2, 0）,渐近线方程为y=V3K,32过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2,3可得 yA=2AJ3, yB= - 2f3,，|AB|二4.故选：D.点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用.8. （5分）（2015?四川）某食

14、品保鲜时间 y （单位：小时）与储藏温度 x （单位：C）满足 函数关系y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k, b为常数）.若该食品在0c的保鲜时 间是192小时，在22c的保鲜时间是48小时，则该食品在 33c的保鲜时间是（）A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时考点：指数函数的实际应用.专题：函数的性质及应用.分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek, eb的值,运用指数塞的运算性质求解e33k+b即可.解答：解：y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k, b为常数）.当 x=0 时，eb=192,当 x=22

15、 时 e22k+b=48,22k I e =192 411k 1 e =2eb=192当 x=33 时，e33k+b= （ek） 33? （eb） = （;） 3X192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解.2 肝 ylQ9. （5分）（2015?四川）设实数x, y满足,工+2y0)相切于点M,且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A . (1, 3)B. (1, 4)C. (2, 3)D. (2, 4)考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系.专题：综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程

16、.分析：先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得 y=W3,所以交点与圆心(5, 0) 的距离为4,即可得出结论.解答：解：设 A (x1, y1), B (x2, y2), M (x0, y0),则斜率存在时，设斜率为 k,则y12=4x1, y22=4x2,利用点差法可得 kyc=2,因为直线与圆相切，所以即M的轨迹是直线x=3 ,代入抛物线方程可得 v二也后所以交点与圆心(5, 0)的距离为4, 所以2vr4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2r0； 对于任意的a及任意不相等的实数 x1、x2,都有n0； 对于任意的a,存在不相等的实数 x1、x2,

17、使得m=n; 对于任意的a,存在不相等的实数 x1、x2,使得m= - n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).考点：命题的真假判断与应用.专题：创新题型；开放型；函数的性质及应用.分析：运用指数函数的单调性，即可判断 ；由二次函数的单调性，即可判断 ；通过函数h (x) =x2+ax - 2x,求出导数判断单调性，即可判断 ；通过函数h (x) =x2+ax+2x,求出导数判断单调性，即可判断 .解答：解：对于，由于21,由指数函数的单调性可得 f (x)在R上递增，即有 m0, 则正确；+ ）递减,对于，由二次函数的单调性可得 g (x)在(-8, -J)递减，在则n0不恒成立, 则错

18、误；对于，由 m=n,可得 f (xi) - f (x2) =g (xi) - g (x2),考查函数 h (x) =x2+ax -2x,h(x) =2x+a - 2xln2 ,当 a-8, hz (x)小于 0, h (x)单调递减，则 错误；对于，由 m= -n,可得 f (xi) - f (x2)= - g(xi)- g(x2),考查函数h (x)=x2+ax+2x,h(x) =2x+a+2xln2,对于任意的 a, h (x)不恒大于0或小于0,则 正确.故答案为：.点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键.三、解答题：本大题

19、共 6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (i2分)(20i5?四川)设数列an (n=i, 2, 3)的前n项和Sn,满足Sn=2an- ai,且 ai, a2+i , a3成等差数列.求数列an的通项公式；设数列 出 的前n项和为Tn,求Tn. an考点： 专题： 分析：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式.等差数列与等比数列.(I )由条件Sn满足Sn=2an- ai,求得数列an为等比数列，且公比q=2;再根据ai, a2+i, a3成等差数列，求得首项的值，可得数列an的通项公式.(n)由于L=，利用等比数列的前n项和公式求得数列上的前n项和Tn.an解

20、答:解：(I )由已知Sn=2an - ai,有an=Sn - Sn i=2an - 2an 1 (n 或)，即 an=2an i (n或)，从而 a2=2ai, a3=2a2=4ai.又因为ai, a2+i, a3成等差数列，即 ai+a3=2 (a2+i)所以 ai+4ai=2 (2ai+i),解得：ai=2.所以，数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故 an=2n.1 a.所以Tn=i121点评:本题主要考查数列的前 n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比 数列白前n项和公式，属于中档题.17. （12分）（2015?四川）一辆小客车上有 5名座位，其座号为1, 2,

21、 3, 4, 5,乘客P1, P2, P3, P4, P5的座位号分别为1, 2, 3, 4, 5.他们按照座位号顺序先后上车，乘客 P1 因身体原因没有坐自己 1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位. 如果自己的座位已有乘客就坐， 就在这5个座位的剩余空位 中选择座位.（I ）若乘客P1坐到了 3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4种坐法.下表给出 其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513241532541（n）若乘客P1坐到了 2号座位:,其他乘客按规则就坐

22、，求乘客P5坐到5号座位的概率.考点：概率的应用.专题：应用题；概率与统计.分析：（I ）根据题意，可以完成表格;（n ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率.解答：解：（I ）余卜两种坐法：P3P4P5乘客P1P2座位号32145324513241532541（n）右来各P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所侣口呢啊坐乐PJ用卜表表乘客P1P2P3P4P5座位号2134523145234152345123541243152435125341十是，所有可能的坐法共8种，设乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为 4,所以P （A）4 1=一=2答

23、：乘客P5坐到5号座位的概率是 三点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键.18. （12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(I )请按字母F, G, H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)(n )判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.(出)证明：直线DF，平面BEG.考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离.分析：(I )直接标出点F, G, H的位置.(II )先证BCHE为平行四边形，可知 BE /平面ACH ,同理可证 BG /平面ACH , 即可

24、证明平面 BEG /平面ACH .(山)连接FH,由DHXEG,又DH LEG, EG FH,可证 EG,平面BFHD ,从而 可证DFEG,同理DFBG,即可证明 DFL平面BEG .解答：解：(I )点F, G, H的位置如图所示.(II )平面BEG /平面ACH ,证明如下： ABCD - EFGH 为正方体，BC / FG, BC=EH ,又 FG/ EH, FG=EH ,BC / EH , BC=EH ,BCHE为平行四边形.BE / CH ,又CH?平面ACH , BE?平面ACH ,BE / 平面 ACH ,同理BG /平面ACH ,又 BE ABG=B , 平面BEG /平面

25、ACH .(m)连接FH, ABCD - EFGH 为正方体，DH EG ,又 EG?平面 EFGH , DH LEG ,又 EG, FH, EG AFH=O,EG,平面 BFHD ,又DF?平面BFHD , DFXEG,同理DFBG,又 EG ABG=G ,DF，平面 BEG .点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题.19. (12分)(2015?四川)已知A、B、C为4ABC的内角，tanA, tanB是关于方程x2+/&px-p+1=0 (pCR)两个实根.(I )求C的大小(n )若 AB=3 ,

26、 AC=V&,求 p 的值.考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数.分析:专题：函数的性质及应用；解三角形.(I )由判别式=3p2+4p-4泡 可得p- 2,或p卷 由韦达定理，有tanA+tanB= J1Jp，tanAtanB=1 - p,由两角和的正切函数公式可求tanC= - tan (A+B) =/j,结合C的范围即可求C的值.(n)由正弦定理可求 sinB=ACM=/ 解得b a,由两角和的正切函数公式可 AB 2求 tanA=tan75 ,从而可求 p= -= (tanA+tanB)的值.解答:解：(1)由已知，方程 x2+d3px - p+1=0 的判别式：= (-Jp)

27、2-4 ( - p+1) =3p2+4p一4可，所以pb0)的离心率是埠，点P (0,1)在短轴CD上，且PC?PD= - 1(I )求椭圆E的方程；(n )设O为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数使得OA?OB+aPA?PB为定值？若存在，求 入的值；若不存在，请说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：开放型；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:b=V2,进而可得结论;(I)通过e、曲?而=-1,计算即得a=2、2(n )分情况对直线 AB斜率的存在性进行讨论： 当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当除1时位?5

28、E+近丽=-3;当直线AB的斜率不存在时，dA?OB+汜A?PB=-3.解答：解：(I )根据题意，可得 C (0, - b), D (0, b),又P (0,1),且 F?FD=T,2.,解得 a=2, b=/2,椭圆E的方程为:T+T=1 ；(n )结论：存在常数 狂1,使得OA?OB+2A?PB为定值-3.理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论： 当直线AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为y=kx+1 , A (x1, y1), B (x2, y2),联立2T+二】,消去 y 并整理得：(1+2k2) x2+4kx - 2=0 ,Ly=kx+1 = (4k) 2+8 (1+2k2)

29、0,Xl+x2=一142k2,X1x2=一2l+2k2从而 OA?OB+ 犀A?PB|=xix2+y1y2+ 4x1x2+ (y1 - 1) (y2- 1)2、=(1+入)(1+k ) x1x2+k (x1+x2)+1(- 2 2- 4)上。(- 2 A - 1)1+21=2当在1时,入2=- 3,此时OA?OB+ 萩痛=-3为定值； 当直线AB的斜率不存在时，直线 AB即为直线CD, 此时OA?OB+ 萩相双而+正而=2 1= 3；故存在常数 F1,使得OA?OB+ |PA?FB为定值-3.点评：本题考查椭圆的标准方程、 直线方程等基础知识， 考查推理论证能力、 运算求解能力， 考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的 积累，属于难题.21. (14 分)(2015?四川)已知函数 f (x) = - 2xlnx+x 22ax+a2,其中 a0.(I )设g (x)是f (x)的导函数，讨论 g (x)的单调性；(n )证明：存在 aC (0, 1),使得f (x)涮恒成立，且f (x) =0在区间(1, +8)内有 唯一解.考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.专题：开放型；导数的综合应用.分析：(I)函数 f (x) = 2xlnx+x22ax+a2,其中 a0.可得：x0. g (x) =f (x) =2(