高等数学第十一章习题课一

1、第十一章第十一章 习题课（一）习题课（一）曲线积分部分曲线积分部分 重点掌握：重点掌握：1.第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算 2.第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算 lyyxqxyxpd),(d),( lsyxfd),(3.一、基本内容 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 联联系系dsqpqdypdxll)coscos( 计计算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定三代一定)( dtqp

2、qdypdxl),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)ld区域 d 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )复连通区域 ( 有“洞”区域 )域 d 边界l 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设闭区域设闭区域 d 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 l 围成围成,则有则有, ),(yxp),(yxqldyqxpyxypxqdddd( 格林公式格林公式 )函数函数在在 d 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数, 格林公式格林公式与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在单连通开区域在单连通开区域d上上),(),(yxqyxp具有具有连续的一阶偏

3、导数连续的一阶偏导数, ,则以下四个命题成立则以下四个命题成立. . lqdypdxd与与路路径径无无关关内内在在)1( cdcqdypdx闭闭曲曲线线, 0)2(qdypdxduyxud 使使内存在内存在在在),()3(xqypd ,)4(内内在在等等价价命命题题 基本方法基本方法曲线积分曲线积分第一类第一类 ( 对弧长对弧长 )第二类第二类 ( 对坐标对坐标 )(1) 统一积分变量统一积分变量转化转化定积分定积分用参数方程用参数方程用直角坐标方程用直角坐标方程用极坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限确定积分上下限第一类第一类: 下小上大下小上大第二类第二类: 下始上终下始上终“变量参

4、数化，一小二起下变量参数化，一小二起下” (1) 利用对称性及重心公式简化计算利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式利用格林公式 (注意注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式求曲线积分（空间）（第七节）利用斯托克斯公式求曲线积分（空间）（第七节） ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式利用两类曲线积分的联系公式 . 基本技巧基本技巧 (1) 如果曲线弧如果曲线弧l关于关于y轴对称轴对称,且被积函数关于且被积函数关于x为奇函数为奇函数,则曲线积分为零则曲线积分为零.(2) 如果曲线弧如果曲线弧

5、l关于关于y轴对称轴对称,且被积函数关于且被积函数关于x为偶函数为偶函数,则曲线积分为则曲线积分为一半曲线上的积分的一半曲线上的积分的2倍倍.(3) 如果曲线弧如果曲线弧l关于关于x，y轴均对称轴均对称,且被积函数且被积函数关于关于x为偶函数为偶函数,关于关于y为偶函数，则曲线积分为偶函数，则曲线积分为四分之一曲线的积分的为四分之一曲线的积分的4倍倍.第一类曲线积分的对称性定理：第一类曲线积分的对称性定理：第二类曲线积分第二类曲线积分 lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi闭合闭合非闭非闭闭合闭合 ddxdyypxqi)(非闭非闭补充曲

6、线或用公式补充曲线或用公式利用格林公式求解对坐标的曲线积分利用格林公式求解对坐标的曲线积分（1 1）适宜范围：）适宜范围：当平面曲线当平面曲线l封闭时，直接利用格林公式封闭时，直接利用格林公式.但必须注意使用条件（但必须注意使用条件（l取正向边界，取正向边界，若若l不是封闭的，直接计算又困难，可以添加不是封闭的，直接计算又困难，可以添加、yp xq 在闭区域在闭区域d上连续，上连续， d上可以不是单连通域）上可以不是单连通域）辅助曲线辅助曲线c，使积分曲线封闭，从而利用格林公式，使积分曲线封闭，从而利用格林公式，但须注意将所加曲线积分减去但须注意将所加曲线积分减去)( ccll利用格林公式求解

7、对坐标的曲线积分利用格林公式求解对坐标的曲线积分（2 2）注意：）注意：利用利用格林公式将曲线积分化为二重积分时，应格林公式将曲线积分化为二重积分时，应若若l是是d的负向边界，则利用格林公式前，的负向边界，则利用格林公式前，, ll特别注意两种积分计算的不同：曲线积分可以将特别注意两种积分计算的不同：曲线积分可以将l的的表达式直接代入积分式，而二重积分却不能直接代入表达式直接代入积分式，而二重积分却不能直接代入边界线方程边界线方程.应先作变换应先作变换再对积分再对积分 l用格林公式用格林公式.带奇点的曲线积分的处理方法带奇点的曲线积分的处理方法. .yx说明: 根据定理2 , 若在某区域内,x

8、qyp则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = p dx + q dy在域 d 内的原函数:dyx),(00及动点,),(dyxyyxqxyxpyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxp0d),(0或yyyyxqyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxq0d),(xxxyxp0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;二、二、典型例题典型例题 1.计算 ,d22syxl其中l为圆周.22xayx提示提示: 利用极坐标 ,)22(cos: arldd22rrs原式 =

9、sxald22dcos22aa22a说明说明: 若用参数方程计算,:l)20( txaoyrda)cos1 (2txatyasin2t则tyxsd)()(d22 tad2解解xxyxyyp2)2(2 知知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11a dyyxdxxyxi)()2(422由由例3. 计算计算,d)(d)(22lyxyxyxi其中l 是沿逆时针方向以原点为中心,coyxabl解法解法1 令,22xyqyxp则xq这说明积分与路径无关, 故yxyxyxiabd)(d)(22aaxx d2332a1ypa 为半径的上半圆周

10、.解法2 ,ba它与l所围区域为d,coyxabldyxdd0yxyxyxbad)(d)(22xxaad2d(利用格林公式)思考思考:(2) 若 l 同例2 , 如何计算下述积分:lyxyxyxid)(d) (2222ylyxyxyxid)(d)(2213332a(1) 若l 改为顺时针方向,如何计算下述积分:balyxyxyxid)(d)(22则添加辅助线段思考题解答:lyxyxyxid)(d)(2213(1)ababldyxdd2)32(2aalyxyxyxid)(d) (2222y(2)lyxyxyxd)(d)(22lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxl332a13223 a32a0: t332aicoyxabldp247 6 . 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, ,22yx 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:)dd(3yyxxkwl令33,ykqxkp易证53yxkypxq)0(x),(3yxkff 沿右半平面内任意有