高等数学第八章多元函数积分学

1、 一一 二重积分的概念及简单性质二重积分的概念及简单性质 二二 二重积分的计算二重积分的计算一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、小结四、小结柱体体积柱体体积 = = 底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶. .柱体体积柱体体积 = = ？特点：曲顶特点：曲顶. .),(yxfz d曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体曲顶柱体回忆定积分回忆定积分. 设一元函数设一元函数 y = f (x) 在在a, b可积可积. niiibaxfxxf10)(limd)(则则.d)(,0)(面积在几何上表示曲边梯形时当baxxfxf如图如图0

2、xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中其中 i xi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区表小区间间xi, xi+1的长的长, f ( i) xi表示小矩形的面积表示小矩形的面积.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法

3、的方法求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域d, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积高.0yzxz = f (x,y)d如图 一、例(i)用曲线将d分成 n 个小区域 d1, d2, dn , 每个小区域di 都对应着一个小曲顶柱体.如图z = f (x,y)0yzxz = f (x,y)ddidi(ii)由于由于di很小很小, z = f (x,y)连续连续, 小曲

4、顶柱体小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体可近似看作小平顶柱体. ( i , i) di .小平顶柱体的高小平顶柱体的高 = f ( i , i).若记若记 i = di的面积的面积. 则小平顶柱体的体积则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小小曲顶柱体体积曲顶柱体体积 f ( i , i) ( i , i)diz = f (x,y)(iii)因此因此, 大曲顶柱体的体积大曲顶柱体的体积niiiifv1),(分割得越细分割得越细, 则右端的近似值越接近于精则右端的近似值越接近于精确值确值v, 若分割得若分割得无限细无限细, 则右端近似值则右端近似值会无限接近于精确值会无限接近于精确值v.

5、 1lim( ,)niiiif niiiifv1),(lim若若存在存在则则(iv) ,max 1的直径记inid其中其中di的直径是指的直径是指di中相距最远的两点的距离中相距最远的两点的距离.,),(lim 10niiiifv则其中其中 ( i , i) di , i = di 的面积的面积.xydi如图如图xzyod),(yxfz i ),(ii 求曲顶柱体体积的方法：求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、分割、取近似、求和、取极限。求和、取极限。步骤如下：步骤如下：xzyod),(yxfz 1. 分割分割d 任意分成任意分成 n 个小闭区域个小闭区域1 ， ,2 ，,n 其中其中 i 表

6、示表示 第第 i 个小闭区域，也表示它的面个小闭区域，也表示它的面 积。对应的小曲顶柱体体积为积。对应的小曲顶柱体体积为.iv 2. 取近似取近似在在每每个个 i 上上任任取取一一点点 ),(ii ，),(iiifv i . . 3. 求和求和.),(1iiniifv 4. 取极限取极限.),(lim10iiniifv ,max11n i ),(ii 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点 ),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连 续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？ 求平面薄片的质量求平面薄片的质

7、量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniim xyoi ),(ii 定定义义 设设),(yxf是是有有界界闭闭区区域域 d 上上的的有有界界函函数数，将将闭闭区区域域 d 任任意意分分成成 n 个个小小闭闭区区域域1 ，,2 ，,n 其其中中 i 表表示示第第 i 个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的面面积积，在在每每 个个 i 上上任任取取一一点点 ),(ii ，作作乘乘积积 ),(iif i ， ), 2 , 1(n

8、i ，并并作作和和 iiniif ),(1， niiiidfdyxf10 ),( lim ),( dyxf ),(1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中， 对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的. . ( (3 3) ) 当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极 限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在. . 对二重积分定义的对二重积分定义的说明说明：(2) 二二重重积积分分值值仅仅与与),(yxf及及 d 有有关关， 与与积积分分变变量量符符 号号无无关关，即即 dddvufdyxf ),(),(二重积分的几何意义当被积函数大于零时，

9、二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值xzyod),(yxfz i ),(ii xzyo),(yxfz di ),(ii 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域d， dddxdyyxfdyxf),(),( dxdyd 故二重积分可写为则面积元素为xyodxdy性质性质当当 k 为常数时，为常数时，.),(),( dddyxfkdyxkf 性质性质 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 ddddyxfd

10、yxfdyxf 性质性质 若若 为为d的面积，的面积，.1 dddd 性质性质若在若在d上上),(),(yxgyxf .),(),( dddyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( dddyxfdyxf )(21ddd 则有则有设设m、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 d 上上的的最最大大 值值和和最最小小值值， 为为 d 的的面面积积，则则 性质性质设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域d上上连连续续， 为为d的的面面 积积，则则在在d上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得 性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） dmdyxfm ),( ),(),(fdyxfd

11、（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）例例 1 1 不作计算，估计不作计算，估计 deidyx )(22的值，其中的值，其中 d是椭圆闭区域：是椭圆闭区域： 12222 byax. . )0(ab . . 在在d上上 2220ayx , , ,12220ayxeee ,222)(adyxede 解解 dedyx)(22 ab.2aeab 区区域域 d的的面面积积 ab , , 因此，因此，由性质由性质6知知即即二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）（积分和式的极限）思考题思考题将二

12、重积分定义与定积分定义进行比较，找出将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处它们的相同之处与不同之处. .定积分与二重积分定积分与二重积分相同之处相同之处：都表示某种和式都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及的极限值，且此值只与被积函数及 积分区域有关积分区域有关不同不同的是的是: : 定积分的积分区域为区间，被积函定积分的积分区域为区间，被积函 数为定义在区间上的一元函数数为定义在区间上的一元函数; ; 二重积分的积分区域为平面区域，二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二被积函数为定义在平面区域上的二 元函数元函数思考题解答思考题解答利

13、用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分先讨论积分区域为：先讨论积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. .)(1x )(2x ,bax型型xyoab)(1xy )(2xy xyoab)(1xy )(2xy x 型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线与区域轴的直线与区域边界相交不多于边界相交不多于两个交点两个交点. .zyxo为为底底，的的值值等等于于以以 ddyxfd ),(21( )( )( )( , ).xxa xf x y dy. 0),( yxf假假定定为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积以曲

14、面以曲面),(yxfz )(2xy )(1xy ),(yxfz )(xaxbaxd x( )dva x dx( , )df x y d bavdv ( )baa x dx21( )( ) ( , )bxaxf x y dydx积分区域为：积分区域为：, bxa ).()(21xyx x型型.),( ),()()(21 dbaxxdxdyyxfdyxf 一般地，一般地，21( )( ) ( , )bxaxdxf x y dy- 先对先对 y 积分，后对积分，后对 x 积分的二次积分积分的二次积分.),( ),()()(21dydxyxfdyxfddcyy 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc

15、 ).()(21yxy y型型xyocd)(1yx )(2yx xyocd)(1yx )(2yx dcyydxyxfdy)( )(21),( - 先对先对 x 积分，后对积分，后对 y 积分的二次积分积分的二次积分1. 若若d既是既是 x型区域型区域, 又是又是 y型区域型区域. 比如比如x0yx0yx0ydcyxyxbaxyxydxyxfdydyyxfdx)()()()(2121),(),(ddyxf),(当用某次序算二重积分不好算时当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次可改换积分次序序, 可能好算可能好算.则既可先对则既可先对 x 积分积分, 又可先对又可先对 y 积分积分.等等等等

16、,此时此时,2.（1）如果积分区域是矩形）如果积分区域是矩形dycbxa,ddyxf),(dcbadyyxfdx),(badcdxyxfdy),(（2）如果被积函数）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)f2(y),且积分区域是矩且积分区域是矩 形区域，形区域，则则.)()(),(21dcbaddyyfdxxfdyxf 设d：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)f2(y)可积，则.)()(),(21dcbaddyyfdxxfdyxfyx0dcabddyxf),(:证ddxdyyfxf)()(21dcbadyyfxfdx)()(21badcdxdyyfxf)()(

17、21.)()(12badcdxxfdyyf比如，比如，.32103210dyexdxdyxedxyy.sin2sin101020rdrrrdrrd若区域如图，若区域如图，3d2d1d在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式用积分公式.),(),(),(),(321 dddddyxfdyxfdyxfdyxf 则必须分割则必须分割. .3. 4.设设d: y1(x) y y2(x), a x b, 为为 x 型区域型区域.其中其中y2(x)为分段函数为分段函数. 如图如图则则baxyxyddyyxfdxdyxf)()(21),(),(由于由于y2(x)是分段函数是分段函数,

18、里里层积分上限无法确定用层积分上限无法确定用哪一个表达式哪一个表达式. 故应将故应将d分成分成d1, d2, 分块积分分块积分.xy0d1d2y = 1(x)y = 2(x)ab例例1 将将dxdyyxf ),(d 化为二次积分。化为二次积分。其中其中 d 由直线由直线4 , 2 , 2 , yyxyxy围成。围成。xyo24624xy 2 xy解解 1： 先画出积分区域先画出积分区域 d 。d 是是 y型。型。24 . 42, 2 :yyxyd于是，于是， dxdyyxf ),(ddxyxfyy ),(2 42 dyxyo24624xy 2 xy解解 2：26.21ddd 于是，于是，dxd

19、yyxfdxdyyxfdxdyyxf ),( ),( ),(21ddd dyyxfx ),(2 42 dx41d2d .2, 42 :1xyxd . 42, 64 :2yxxddyyxfx ),(42 64 dx例例2 计算计算 dxy d 其中其中 d 由直线由直线2 ,1 , xyxy围成。围成。xyo1212xy 1 y2 x解解 先画出积分区域先画出积分区域 d 。d 是是 x型。型。 .1, 21 :xyxd于是，于是， dxy d dyxyx 1 21 dx12xyx122 21 dx321 22xxdx212448 xx.89 于是，于是， dxy d dyxyx 1 21 dx

20、解解 作作d的的图图形形( (见见下下图图) ). .先先对对 y积积分分( (固固定定 x) ), , y的的变变化化范范围围由由 0到到 21x, ,然然后后再再在在 x的的最最大大变变化化范范围围 0 0, ,1 1 内内对对 x积积分分，于于是是得得到到 o y x d 1 1 x dyxxydd21100ddxxxy y2411200111(1)d().22248xxxxx本本题题若若先先对对x积积分分，解解法法类类似似. . 例例3解解积分区域为积分区域为 .10, 10 :xyxdxyo11xy 1 . 10,10 :yyxd xdyyxfdx1010 ),( 于是，于是， d)

21、,( dyxf. ),( 1010 ydxyxfdy解解 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2设设 21dd),(),( dyxfdyxf .20, 10 :21xxyxd .20, 21 :2xyxd则则xyo1211dxy 22d 102112),(yydxyxfdy. 于是，于是，xyo1211dxy 22d设设21ddd . 10,211 :2yyxyd dyxf ),(d 原式原式xyo121d解解求求两两曲曲线线的的交交点点 ),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42

22、102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx ., 10 :2xyxxd解解 画画d的图形的图形( (见下图见下图).).选择先对选择先对 x积分积分, ,这这时时 d的表示式为的表示式为 2122yyxy, , 从而从而dyxxydd22= =21222d2dyyxxyy yyyyyyxyyyd )44(d| )(216234221222 = =356157345127345yyyy. . o y x d 2 y x 2 y x 1 2 ) 1 , 1 ( a ) 2 , 4 ( b 因因为为 dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示 解解因因此此，积积分分时时必必须须考考虑虑

23、次次序序。 dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e . 10,0:yyxd 例例9.9. 求求.sin110ydxxxdy解：解：由于由于1sinydxxx是是“积不出积不出”的，怎么办？的，怎么办？要改换积分次序要改换积分次序. 先画积分区域先画积分区域d的图形的图形.由积分表达式知，由积分表达式知，d： y x 1, 0 y 1画曲线画曲线 x=y 和和 x=1，直线，直线y=0, y=1.如图：如图：故故 原式原式 =ddxdyxxsinxdyxxdx010sin10sinxdxxx10sindxx1cos1cos1

24、0 xyx0dy = x由例由例8，例，例9知，选择适当的积分顺序，知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。改换积分顺序试一试。1.1.,)(2围成和由其中求xyxyddyxdxy0y=xy=x2x解解: : 先画区域先画区域d的图形的图形.法法1. 先对先对y积分积分.102)()(xxddyyxdxdyxdxyxyxx210221dxxxx104322123203101416310543xxxxy0y=xy=x211法法2. 先对 x 积分

25、.y10)()(yyddxyxdydxdyyx10221dyyxxyy102232321dyyyy203635241103252yyy 2. 2. .0, 2,2第一象限的区域围成的和由其中求yxyxydxydxdyd解解: : 先画d的图形.先对 x 积分. 102yydxydxdyxydxdyxy0y=x+2y=x2112所以, 原式 = 102yyxydxdy102221dyxyyy102)2(21dyyyy247问问, 若先对若先对 y 积分积分, 情形怎样情形怎样?xy0y=x+2y=x21123. 改换.),(2140的积分顺序xxdyyxfdx解：写出d的表达式，. 40,21:

26、xxyxd画 d 的图形改为先对x再对y的积分xxdyyxfdx2140),(yydxyxfdy2202),(yx0dxy21xy 24一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分二、小结二、小结. drdrd ddxdyyxf),(一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分面积元素面积元素. drdrdxdy 或或i i ii iirrr aodirr .)sin,cos( drdrdrrf . )sin ,cos()()(21 drrrrfd drdrdrrf )sin ,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图

27、, ).()(21 rado )(2 r)(1 r ddxdyyxf),(d：区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r )(2 r)(1 raodd. )sin ,cos()()(21 drrrrfd drdrdrrf )sin ,cos( ddxdyyxf),(d：. )sin ,cos()(0 drrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 r)( r aod d： ddxdyyxf),( drdrdrrf )sin ,cos(. )sin ,cos()(020 drrrrfd极坐标系下区域的极坐标系下区域的面积面积.

28、drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 r,20 da)( ro ddxdyyxf),( drdrdrrf )sin ,cos(例例1 将将 d ),( dyxf化为在极坐标系下的二次积分。化为在极坐标系下的二次积分。1）xyo22422 yxxyo4xyx422 4）d2）xyo222 422 yxdxyo222 2 422 yx3）dd1）xyo22422 yx解解d在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域d 可表示为可表示为. 20 r,20 ao22 r d ),( dyxf ddrdrrrf )sin ,cos(. )

29、sin ,cos(2020 drrrrfd 2）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域d 可表示为可表示为. 20 r,0 xyo222 422 yxd2）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域d 可表示为可表示为. 20 r,0 d ),( dyxf ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(200 drrrrfd ao22 r3）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域d 可表示为可表示为. 20 r,20 xyo222 2 422 yxd d ),( dyxf. )sin ,cos(2020 drrrrfd ao22 r3）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域

30、d 可表示为可表示为. 20 r,20 d ddrdrrrf )sin ,cos(4）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域d 可表示为可表示为.cos40 r,22 xyo4xyx422 dao2 cos4 r4）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域d 可表示为可表示为.cos40 r,22 d ),( dyxf ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(cos4022 drrrrfd2 2 例例 2 2 写写出出积积分分 ddxdyyxf),( 的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式， 其其中中 ,11| ),(2xyxyxd 10 x. . 1 yx122 y

31、x解解在在极极坐坐标标系系下下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r, , 直直线线方方程程为为 cossin1 r, , ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd drdrdrrf )sin,cos(例例 3 3 计计算算dxdyedyx 22，其其中中 d 是是由由中中心心在在原原点点， 半半径径为为a的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域. . 解解在在极极坐坐标标系系下下 d：ar 0， 20 . dxdyedyx 22 arrdred0202 ).1(2ae aoaar sincosryrx drdredr 2 arrded02

32、20)(212 20 0 221dear例例4.4. 求求,122ddxdyyx其中其中d：x2+y2 1解：解：一般一般, 若若d的表达式中含有的表达式中含有x2+y2时，可考虑用时，可考虑用极坐标积分。极坐标积分。0 xyx2+y2 1令令x=rcos , y=rsin , 则则x2+y2 1的极坐标方程为的极坐标方程为r = 1.由由(2)d*: 0 r 1, 0 2 ddxdyyx22110222220sincos1rdrrrd102201rdrrd )(12121022rdr10232)1 (32r32另由几何意义：另由几何意义：32)(21122单位球体积ddyx解解32 sin4

33、 r sin2 rdxdyyxd)(22 yyx422 yyx222 03 xy sincosryrx rdrdrd 26 3 61 03 yx sin4 r sin2 rdxdyyxd)(22 36sin4sin22 rdrrd).834(15 rdrdrd 2 36sin4sin244 dr 364 sin60 d 362 22cos1 15 d6 3 sin4 r sin2 r例例 6 6 将将二二重重积积分分dyxfd),(化化为为极极坐坐标标系系下下的的累累次次积积分分，其其中中d: :22yx yrx,2 0. . 解解 画画出出d的的图图形形( (见见下下图图) ), , d可可

34、表表示示为为 02, ,0 rcos2r, , y x o d cos 2 r r r 2 于于是是得得到到 dyxfd),(cos2020d)sin,cos(drrrrrf. . 例例 7 7 计计算算dyxxdd2, ,其其中中d是是两两圆圆122 yx和和422 yx之之间间的的环环形形区区域域. . 解解 作作d的图形的图形( (见下图见下图),),选用极坐标， 它可表示选用极坐标， 它可表示为为 1r2, ,02 于是于是 dyxxdd2213202221220ddcosdcosdrrrrr = =20213415dd22cos1rr. . 2 y x 1 o 二重积分在极坐标下的计

35、算公式二重积分在极坐标下的计算公式二、小结二、小结 ddrdrdrrfdyxf )sin,cos(),(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 5 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分1, 1),(,) 1 (2222yxyxyxddxdyyxyxid22)sin(cos1sincos122022rdrrrddxdyyxyxid222)(),(,)2(22ayxyxddxdyeidyx,)3(22ddyxid：由：由 所围成区域（第一象限部分）所围成区域（第一象限部分） 0, 222yxy

36、yx622024022drrddyxid)1 (2222020)(aardyxerdreddxdyei42),(,)4(2222yxxyxddxdyyxid)32(316cos202222022022drrddrrddxdyyxidxyyxyxddxdyxyarctgid0 , 41),(,)5(2222140643cossinrdrrrarctgddxdyxyarctgid222(6),( ,)dixy dxdydx yxya2004cossin12daixy dxdydrrrdra二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积xzyod),(yxfz .),( ddyxfv 例

37、例1 计算由曲面计算由曲面2241yxz 及及 xoy 面所围的立体面所围的立体体积。体积。xyzo1121xyzo1121解解设立体在设立体在第一卦限上第一卦限上的体积为的体积为 v1。由立体的对称性，所求立由立体的对称性，所求立体体积体体积 v = 4v1 。121xyo241xy d立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为,4122yxz .410,210:2xyxd121xyo241xy d立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为,4122yxz 它的底为它的底为于是，于是， dyxvd )41(221 dyyxdxx 241022210 )41( 2104103223)41( dxyyxx 2104103223)41( dxyyxx 210232)41(32dxxtxsin21 令令x